(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題九 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系講義 理(重點(diǎn)生含解析).doc
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專題九 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 直線與平面所成的角、正方體的截面面積的最值T12 求異面直線所成的角T9 面面垂直的證明T19(1) 面面垂直的證明T18(1) 線面垂直的證明T20(1) 2017 面面垂直的證明T18(1) 求異面直線所成的角T10 圓錐、空間線線角的求解T16 線面平行的證明T19(1) 面面垂直的證明T19(1) 2016 求異面直線所成的角T11 空間中線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)T14 線面平行的證明T19(1) 面面垂直的證明T18(1) 翻折問題、線面垂直的證明T19(1) 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年5考,且以選擇題的形式考查線線角、線面角以及空間幾何體的截面問題,位置關(guān)系的證明均出現(xiàn)在解答題中,且連續(xù)3年均考查了面面垂直的證明.預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)在解答題的第(1)問中考查位置關(guān)系的證明,在小題中考查空間位置關(guān)系的判斷或異面直線問題,難度適中 卷Ⅱ3年6考,且每年均有1小1大,涉及空間位置關(guān)系的判定、求異面直線所成的角、線面平行或垂直的證明、翻折問題,難度中等.預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)在解答題的第(1)問中考查線面位置關(guān)系的證明,以選擇題或填空題的形式考查異面直線所成角的求法,難度適中 卷Ⅲ3年4考,涉及線面平行的證明、面面垂直的證明以及線線角的求法,難度適中.預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)在解答題的第(1)問中考查面面垂直問題,在選擇題或填空題中考查線線角的求法 橫向把握重點(diǎn) 1.高考對此部分的命題較為穩(wěn)定,一般為“一小一大”或“一大”,即一道選擇題(或填空題)+一道解答題或只考一道解答題. 2.選擇題一般在第9~11題的位置,填空題一般在第14題的位置,多考查線面位置關(guān)系的判斷及空間角的求解,難度較?。? 3.解答題多出現(xiàn)在第18或19題的第一問的位置,考查空間中平行或垂直關(guān)系的證明,難度中等. 空間位置關(guān)系的判定與線線角、線面角 [題組全練] 1.在如圖所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱B1B,AD的中點(diǎn),則直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.異面 解析:選A 如圖,取AD1的中點(diǎn)O,連接OE,OF,則OF平行且等于BE, ∴四邊形BFOE是平行四邊形, ∴BF∥OE, ∵BF?平面AD1E,OE?平面AD1E, ∴BF∥平面AD1E. 2.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題: ①若m?α,n∥α,則m∥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ; ③若α∩β=n,m∥n,m∥α,則m∥β; ④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:選B ①,m∥n或m,n異面,故①錯(cuò)誤;易知②正確;③,m∥β或m?β,故③錯(cuò)誤;④,α∥β或α與β相交,故④錯(cuò)誤. 3.(2018全國卷Ⅱ)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為( ) A. B. C. D. 解析:選C 如圖,連接BE,因?yàn)锳B∥CD,所以AE與CD所成的角為∠EAB.在Rt△ABE中,設(shè)AB=2,則BE=,則tan ∠EAB==,所以異面直線AE與CD所成角的正切值為. 4.(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45,若△SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為________. 解析:如圖,∵SA與底面成45角, ∴△SAO為等腰直角三角形. 設(shè)OA=r, 則SO=r,SA=SB=r. 在△SAB中,cos ∠ASB=, ∴sin ∠ASB=, ∴S△SAB=SASBsin ∠ASB =(r)2=5, 解得r=2, ∴SA=r=4,即母線長l=4, ∴S圓錐側(cè)=πrl=π24=40π. 答案:40π [系統(tǒng)方法] 1.判定空間位置關(guān)系的方法 (1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷. (2)借助空間幾何模型,如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行判斷. 2.當(dāng)線線角、線面角出現(xiàn)在客觀題中時(shí),多用定義法求解.若出現(xiàn)在解答題中多用向量法求解. 空間平行、垂直關(guān)系的證明 [由題知法] (2018石家莊摸底) 如圖,在多面體ABCDPE中,四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F(xiàn)是CE的中點(diǎn). (1)求證:BF∥平面ADP; (2)已知O是BD的中點(diǎn),求證:BD⊥平面AOF. [證明] (1)取PD的中點(diǎn)為G,連接FG,AG, ∵F是CE的中點(diǎn), ∴FG是梯形CDPE的中位線, ∵CD=3PE, ∴FG=2PE,F(xiàn)G∥CD, ∵CD∥AB,AB=2PE,∴AB∥FG,AB=FG, 即四邊形ABFG是平行四邊形,∴BF∥AG, 又BF?平面ADP,AG?平面ADP, ∴BF∥平面ADP. (2)延長AO交CD于M,連接BM,F(xiàn)M, ∵BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O為BD的中點(diǎn), ∴四邊形ABMD是正方形,則BD⊥AM,MD=2PE. ∴MD綊FG.∴四邊形DMFG為平行四邊形. ∴FM∥PD, ∵PD⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD, ∴FM⊥BD, ∵AM∩FM=M,∴BD⊥平面AMF, 即BD⊥平面AOF. [類題通法] 1.垂直、平行關(guān)系中的轉(zhuǎn)化與化歸思想 (1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 2.垂直、平行關(guān)系的常用證明方法 方法 證明 線線 平行 ①利用平行公理,即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行; ②利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換; ③利用三角形的中位線定理證線線平行; ④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換 證明 線線 垂直 ①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì); ②勾股定理; ③線面垂直的性質(zhì):即要證兩線垂直,只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可,l⊥α,a?α?l⊥a [應(yīng)用通關(guān)] 1.如圖,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,點(diǎn)E在A1D上. (1)證明:AA1⊥平面ABCD; (2)當(dāng)為何值時(shí),A1B∥平面EAC,并求出此時(shí)直線A1B與平面EAC之間的距離. 解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,∠ABC=60,所以AB=AD=AC=2. 在△AA1B中,由AA+AB2=A1B2,得AA1⊥AB, 同理可知AA1⊥AD. 又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD. (2)當(dāng)=1時(shí),A1B∥平面EAC. 證明如下:連接BD交AC于點(diǎn)O,則O為BD的中點(diǎn), 連接OE,因?yàn)椋?, 所以點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn), 所以O(shè)E∥A1B,又A1B?平面EAC,EO?平面EAC, 所以A1B∥平面EAC. 所以直線A1B與平面EAC之間的距離等于點(diǎn)A1到平面EAC的距離,因?yàn)镋為A1D的中點(diǎn),所以可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到平面EAC的距離, 設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF,則EF∥AA1, 所以EF⊥平面ACD,且EF=1, 可求得S△ACD=,所以VEACD=1=. 易知AE=,AC=2,CE=2,所以S△EAC=, 又因?yàn)閂DAEC=VEACD, 所以S△EACd=(d表示點(diǎn)D到平面EAC的距離),解得d=, 所以直線A1B與平面EAC之間的距離為. 2.(2018長春模擬)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=BB1,AB1∩A1B=E,D為AC上的點(diǎn),B1C∥平面A1BD. (1)求證:BD⊥平面A1ACC1; (2)若AB=1,且ACAD=1,求三棱錐ABCB1的體積. 解:(1)證明:連接ED, ∵平面AB1C∩平面A1BD=ED,B1C∥平面A1BD,B1C?平面AB1C,∴B1C∥ED. ∵E為AB1的中點(diǎn), ∴D為AC的中點(diǎn), ∵AB=BC,∴BD⊥AC. ∵A1A⊥平面ABC,BD?平面ABC,∴A1A⊥BD. ∵A1A,AC是平面A1ACC1內(nèi)的兩條相交直線, ∴BD⊥平面A1ACC1. (2)由AB=1,得BC=BB1=1, 由(1)知AD=AC,又ACAD=1,∴AC2=2, ∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC, ∴S△ABC=ABBC=, ∴VABCB1=VB1ABC=S△ABCBB1=1=. 與平行、垂直有關(guān)的折疊、探索性問題 [由題知法] (2019屆高三武漢調(diào)研)如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)證明:BE⊥平面D1AE; (2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. [解] (1)證明:∵四邊形ABCD為矩形且AD=DE=EC=BC=2,∴AE=BE=2. 又AB=4,∴AE2+BE2=AB2, ∴∠AEB=90,即BE⊥AE. 又平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,BE?平面ABCE,∴BE⊥平面D1AE. (2)=,理由如下: 取D1E的中點(diǎn)L,連接FL,AL, ∴FL∥EC,F(xiàn)L=EC=1. 又EC∥AB,∴FL∥AB,且FL=AB, ∴M,F(xiàn),L,A四點(diǎn)共面. 若MF∥平面AD1E,則MF∥AL. ∴四邊形AMFL為平行四邊形, ∴AM=FL=AB,即=. [類題通法] 1.求解平面圖形折疊問題的關(guān)鍵和方法 關(guān)鍵 分清翻折前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些改變,哪些不變,抓住翻折前后不變的量,尤其是垂直關(guān)系,充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口 方法 把平面圖形翻折后,經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐等幾何體,從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決 2.探索性問題求解的途徑和方法 (1)對命題條件探索的三種途徑: ①先猜后證,即先觀察,嘗試給出條件再證明; ②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明充分性; ③將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,探索出命題成立的條件. (2)對命題結(jié)論的探索方法: 從條件出發(fā),探索出要求的結(jié)論是什么,對于探索結(jié)論是否存在,求解時(shí)常假設(shè)結(jié)論存在,再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論. [應(yīng)用通關(guān)] 1.(2019屆高三西安八校聯(lián)考)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90,AB∥CD,AD=CD=AB=2,E為AC的中點(diǎn),將△ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD與平面ABC垂直,得到如圖2所示的三棱錐DABC. (1)求證:BC⊥平面ACD; (2)點(diǎn)F在棱CD上,且滿足AD∥平面BEF,求幾何體FBCE的體積. 解:(1)證明:∵AC==2, ∠BAC=∠ACD=45,AB=4, ∴在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 45=8,∴AB2=AC2+BC2=16, ∴AC⊥BC, ∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC, ∴BC⊥平面ACD. (2)∵AD∥平面BEF,AD?平面ACD,平面ACD∩平面BEF=EF,∴AD∥EF, ∵E為AC的中點(diǎn), ∴EF為△ACD的中位線, 由(1)知,VFBCE=VBCEF=S△CEFBC. ∵S△CEF=S△ACD=22=, ∴VFBCE=2=. 2.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=30,PD⊥平面ABCD,AD=2,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),且=m,點(diǎn)F為PD中點(diǎn). (1)若m=,證明:AF∥平面PEC; (2)是否存在一個(gè)常數(shù)m,使得平面PED⊥平面PAB,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由. 解:(1)證明:作FM∥CD,交PC于點(diǎn)M,連接EM, 因?yàn)辄c(diǎn)F為PD的中點(diǎn),所以FM=CD. 因?yàn)閙=,所以AE=AB=FM, 又FM∥CD∥AE, 所以四邊形AEMF為平行四邊形,所以AF∥EM, 因?yàn)锳F?平面PEC,EM?平面PEC, 所以AF∥平面PEC. (2)存在一個(gè)常數(shù)m=,使得平面PED⊥平面PAB,理由如下: 要使平面PED⊥平面PAB,只需AB⊥DE, 因?yàn)锳B=AD=2,∠DAB=30, 所以AE=ADcos 30=. 因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以PD⊥A B. 又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE, 因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PDE⊥平面PAB, 所以m==. 重難增分 空間幾何體的截面問題 [典例細(xì)解] (2018全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ) A. B. C. D. [解析] 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面AB1D1與棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方體的其余棱都分別與A1A,A1B1,A1D1平行,故正方體ABCDA1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等.如圖所示,取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大,此截面面積為S正六邊形EFGHMN=6sin 60=.故選A. [答案] A [啟思維] 本題考查了空間幾何體的截面問題以及直線與平面所成角的概念,本題體現(xiàn)的“動(dòng)態(tài)幾何”問題有一定的探究性,采用極端原理、考慮特殊位置、特殊情況、運(yùn)用“大膽猜想,小心求證”的方法,往往能將問題快速、有效地解決. 如圖,ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=,過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=________. [解析] ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面PMNQ=PQ,平面A1B1C1D1∩平面PMNQ=MN,∴MN∥PQ. ∵M(jìn),N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn), ∴MN∥A1C1∥AC.∴PQ∥AC. 又AP=a,∴CQ=,從而DP=DQ=a. ∴PQ= = =a. [答案] a [啟思維] 本題考查了平面與平面平行的性質(zhì),是立體幾何中面面平行的基本題型,但對定理的靈活應(yīng)用要求較高. [增分集訓(xùn)] 1.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是________(填序號(hào)). ①當(dāng)0<CQ<時(shí),S為四邊形; ②當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形; ③當(dāng)CQ=時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=; ④當(dāng)<CQ<1時(shí),S為六邊形; ⑤當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為. 解析:過A作AM∥PQ交DD1或A1D1于M. 當(dāng)0<CQ<時(shí),M在DD1上,連接MQ,則截面為AMQP,故①正確; 當(dāng)CQ=時(shí),M與D1重合,截面為AD1QP,顯然為等腰梯形,故②正確; 當(dāng)CQ=時(shí),M在A1D1上,且D1M=. 過M作MR∥AP交C1D1于R, 則△MD1R∽△PBA,從而D1R=, 即C1R=,故③正確; 當(dāng)<CQ<1時(shí),截面與A1D1交于M,與C1D1交于R,則截面為AMRQP為五邊形,故④錯(cuò)誤; 當(dāng)CQ=1時(shí),M為A1D1的中點(diǎn),截面AMC1P為菱形,而AC1=,PM=,故面積為=,故⑤正確. 答案:①②③⑤ 2.(2015全國卷Ⅱ)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由); (2)求直線AF與平面α所成角的正弦值. 解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH==6, 所以AH=10. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(xiàn)(0,4,8), =(10,0,0), =(0,-6,8). 設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量, 則即 所以可取n=(0,4,3). 又=(-10,4,8), 所以|cos〈n,〉|==. 所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為. [專題跟蹤檢測](對應(yīng)配套卷P186) 一、全練保分考法——保大分 1.下面四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),則能得出AB∥平面MNP的圖形是( ) A.③④ B.①② C.②③ D.①④ 解析:選D 對于題圖①,假設(shè)上底面與A相對的頂點(diǎn)為C,則平面ABC∥平面MNP.又AB?平面ABC,故AB∥平面MNP.對于題圖④,因?yàn)锳B∥NP,所以由線面平行的判定定理可知AB∥平面MNP.題圖②③均不滿足題意. 2.設(shè)m,n是不同的直線,α,β,γ是不同的平面,有以下四個(gè)命題: ①?β∥γ;②?m⊥β; ③?α⊥β;④?m∥α,其中正確的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 解析:選B 若α∥β,α∥γ,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可證得β∥γ,故①正確;若m∥α,α⊥β,則m∥β或m與β相交或m在平面β內(nèi),故②不正確;∵m∥β,∴β內(nèi)有一直線l與m平行.而m⊥α,則l⊥α,根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β,故③正確;若m∥n,n?α,則m?α或m∥α,故④不正確. 3.用a,b,c表示空間中三條不同的直線,γ表示平面,給出下列命題: ①若a⊥b,b⊥c,則a∥c;②若a∥b,a∥c,則b∥c; ③若a∥γ,b∥γ,則a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b. 其中真命題的序號(hào)是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 解析:選D 若a⊥b,b⊥c,則a∥c或a與c相交或a與c異面,所以①是假命題;由平行于同一直線的兩條直線平行,可知②是真命題;若a∥γ,b∥γ,則a∥b或a與b相交或a與b異面,所以③是假命題;若兩條直線垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直線平行,所以④是真命題. 4.在正四面體PABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),則下面四個(gè)結(jié)論不成立的是( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDE⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析:選C 如圖.由題意知DF∥BC,由此可得BC∥平面PDF,故A正確;若PO⊥平面ABC,垂足為O,則O在AE上,則DF⊥PO.又DF⊥AE,PO∩AE=O,故DF⊥平面PAE,故B正確;由DF⊥平面PAE,可得平面PAE⊥平面ABC,故D正確.選C. 5.如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形, AB=2BC,E是CD上一點(diǎn).若AE⊥平面PBD,則的值為( ) A. B. C.3 D.4 解析:選C ∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AE.當(dāng)AE⊥BD時(shí),AE⊥平面PBD,此時(shí)△ABD∽△DAE,則=.∵AB=2BC,∴DE=AB=CD,∴=3. 6.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則下列命題正確的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 解析:選D 由題意知,在四邊形ABCD中,CD⊥B D.在三棱錐ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,兩平面的交線為BD,∴CD⊥平面ABD,因此有AB⊥C D.又∵AB⊥AD,AD∩DC=D,∴AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC. 7.如圖是正方體的平面展開圖,則在這個(gè)正方體中:①直線BM與ED平行;②直線CN與BE是異面直線;③直線CN與BM成60角;④直線DM與BN是異面直線. 以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________. 解析:由題意得到正方體的直觀圖如圖所示,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得,直線BM與ED是異面直線,故①不正確;直線CN與BE平行,故②不正確;連接AN,則AN∥BM,所以直線CN與BM所成的角就是∠ANC,且∠ANC=60,故③正確;直線DM與BN是異面直線,故④正確.所以正確命題的序號(hào)是③④. 答案:③④ 8.已知直線a,b,平面α,且滿足a⊥α,b∥α,有下列四個(gè)命題: ①對任意直線c?α,有c⊥a; ②存在直線c?α,使c⊥b且c⊥a; ③對滿足a?β的任意平面β,有β∥α; ④存在平面β⊥α,使b⊥β. 其中正確的命題有________.(填序號(hào)) 解析:因?yàn)閍⊥α,所以a垂直于α內(nèi)任一直線,所以①正確;由b∥α得α內(nèi)存在一直線l與b平行,在α內(nèi)作直線m⊥l,則m⊥b,m⊥a,再將m平移得到直線c,使c?α即可,所以②正確;由面面垂直的判定定理可得③不正確;若b⊥β,則由b∥α得α內(nèi)存在一條直線l與b平行,必有l(wèi)⊥β,即有α⊥β,而b⊥β的平面β有無數(shù)個(gè),所以④正確.答案:①②④ 9.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長為2,AC=BC=1,∠ACB=90,D是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長為________. 解析:設(shè)B1F=x,因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF. 由已知可以得A1B1=, 設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,則DE=h. 又2=h, 得h=,DE=. 在Rt△DB1E中,B1E= =. 由面積相等得 =x,解得x=. 即線段B1F的長為. 答案: 10.(2019屆高三重慶六校聯(lián)考)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn). (1)求證:AF∥平面PEC; (2)求點(diǎn)F到平面PEC的距離. 解:(1)證明:設(shè)PC的中點(diǎn)為Q,連接EQ,F(xiàn)Q, 由題意,得FQ∥DC且FQ=CD, AE∥CD且AE=CD, 故AE∥FQ且AE=FQ, 所以四邊形AEQF為平行四邊形, 所以AF∥EQ,又EQ?平面PEC,AF?平面PEC, 所以AF∥平面PEC. (2)由(1),知點(diǎn)F到平面PEC的距離等于點(diǎn)A到平面PEC的距離,設(shè)為D. 連接AC,由題給條件易求得 EC=,PE=,PC=2,AC=2, 又Q為PC的中點(diǎn),則EQ=, 故S△PEC=2=, S△AEC=1=, 由VAPEC=VPAEC,得d=2, 解得d=,即點(diǎn)F到平面PEC的距離為. 11.(2018柳州模擬)如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥側(cè)面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60. (1)求證:BC1⊥平面ABC; (2)E是棱CC1上的一點(diǎn),若三棱錐EABC的體積為,求線段CE的長. 解:(1)證明:∵AB⊥平面BB1C1C, BC1?平面BB1C1C, ∴AB⊥BC1, 在△CBC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=60, 由余弦定理得 BC=BC2+CC-2BCCC1cos∠BCC1=12+22-212cos 60=3,∴BC1=, ∴BC2+BC=CC,∴BC⊥BC1, 又AB?平面ABC,BC?平面ABC,BC∩AB=B, ∴BC1⊥平面ABC. (2)∵AB⊥平面BB1C1C, ∴VEABC=VAEBC=S△BCEAB=1CEsin 601=,∴CE=1. 12.如圖,四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90,AB=AD=DE=CD=2,M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn). (1)試確定點(diǎn)M的位置,使AC∥平面MDF,并說明理由; (2)在(1)的條件下,求平面MDF將幾何體ADEBCF分成的上、下兩部分的體積之比. 解:(1)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí),AC∥平面MDF. 理由如下: 連接CE,交DF于點(diǎn)N,連接MN, 因?yàn)镸,N分別是AE,CE的中點(diǎn), 所以MN∥AC, 又MN?平面MDF,AC?平面MDF, 所以AC∥平面MDF. (2)將幾何體ADEBCF補(bǔ)成三棱柱ADEB1CF,由題意可得ED⊥CD,AD⊥CD, 又AD∩ED=D, 所以CD⊥平面ADE. 又平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,ED⊥CD, 所以ED⊥平面ABCD,則ED⊥AD. 故三棱柱ADEB1CF的體積為 VADEB1CF=S△ADECD=224=8, 則幾何體ADEBCF的體積VADEBCF=VADEB1CF-VFBB1C=8-222=. 三棱錐FDEM的體積VFDEM=VMDEF=241=, 故平面MDF將幾何體ADEBCF分成的上、下兩部分的體積之比為∶=1∶4. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1.在三棱錐PABC中,PB=6,AC=3,G為△PAC的重心,過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面,使截面平行于直線PB和AC,則截面被三棱錐截得的圖形的周長為( ) A.8 B.6 C.10 D.9 解析:選A 如圖,過點(diǎn)G作EF∥AC分別交AP,CP于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M,過E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N,可得EN∥FM,即E,F(xiàn),M,N四點(diǎn)共面,連接MN,則平面EFMN即為所求的截面.可得MN∥AC∥EF,EN∥FM∥PB,而G為△PAC的重心,所以==,因?yàn)锳C=3,所以EF=MN=2,同理可得EN=FM=2,所以EFMN的周長為8. 2.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱D1C1,B1C1的中點(diǎn),過E,F(xiàn)作一平面α,使得平面α∥平面AB1D1,則平面α截正方體的表面所得平面圖形為( ) A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形 解析:選D 如圖,分別取BB1,AB,AD,DD1的中點(diǎn)G,H,M,N,連接FG,GH,MH,MN,EN.∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱D1C1,B1C1的中點(diǎn),∴EF∥MH∥B1D1,MN∥FG∥AD1,GH∥EN∥AB1.∵M(jìn)H∩GH=H,AB1∩B1D1=B1,∴平面EFGHMN∥平面AB1D1. ∵過E,F(xiàn)作一平面α,使得平面α∥平面AB1D1, ∴平面α截正方體的表面所得平面圖形為六邊形. 3.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻折的過程中,下面四個(gè)命題不正確的是( ) A.BM是定值 B.點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng) C.存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C D.存在某個(gè)位置,使MB∥平面A1DE 解析:選C 如圖,取CD的中點(diǎn)F,連接MF,BF,則MF∥DA1,BF∥DE,∴平面MBF∥平面A1DE,∴MB∥平面A1DE,故D正確;∵∠A1DE=∠MFB,MF=A1D為定值,F(xiàn)B=DE為定值,由余弦定理,得MB2=MF2+FB2-2MFFBcos ∠MFB,∴MB是定值,故A正確;∵點(diǎn)B是定點(diǎn),∴點(diǎn)M在以B為球心,MB為半徑的球面上,故B正確;∵A1C在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直,∴存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C不正確,故選C. 4.如圖,在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,CC1,DD1的中點(diǎn),過點(diǎn)G作平面D1EF的平行截面,則正方體被截面截得的較小部分的幾何體的體積為( ) A.6 B.3 C. D. 解析:選D 如圖,連接GC,則GC∥D1F,延長D1F交DC的延長線于M,連接EM,作CN∥EM交AD于N,連接GN,則平面GCN為平行于平面D1EF的截面,正方體被截面截得的較小部分的幾何體為DGCN,由題給條件得DG=,CD=CM=3,由tan∠DCN=tan∠DME=,得DN=CDtan∠DCN=3=2,所以VDGCN=VGCDN=32=. 5.如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動(dòng)點(diǎn),過直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.對于任意的點(diǎn)Q,都有AP∥QR B.對于任意的點(diǎn)Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形 C.存在點(diǎn)Q,使得△ARP為等腰直角三角形 D.存在點(diǎn)Q,使得直線BC∥平面APQR 解析:選C 由AB∥CD,AA1∥DD1,得平面ABB1A1∥平面CDD1C1.∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,∴AP∥QR,故A選項(xiàng)正確;∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行.∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,∴PQ與AR不平行,∴四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B選項(xiàng)正確;如圖,延長CD至M,使得DM=CD,則四邊形ABCM是矩形,∴BC∥AM.當(dāng)R,Q,M三點(diǎn)共線時(shí),AM?平面APQR,∴BC∥平面APQR,故D選項(xiàng)正確.選C. 6.如圖,棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.DC1⊥D1P B.平面D1A1P⊥平面A1AP C.∠APD1的最大值為90 D.AP+PD1的最小值為 解析:選C 由題意知A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1.又∵A1D1∩A1B=A1,∴DC1⊥平面A1BCD1.∵D1P?平面A1BCD1,∴DC1⊥D1P,故A選項(xiàng)正確;∵平面D1A1P即為平面A1BCD1,平面A1AP即為平面A1ABB1,且D1A1⊥平面A1ABB1,∴平面A1BCD1⊥平面A1ABB1,即平面D1A1P⊥平面A1AP,故B選項(xiàng)正確.當(dāng)0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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