2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題10 求函數(shù)的單調區(qū)間.doc

專題10 求函數(shù)的單調區(qū)間【熱點聚焦與擴展】從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題(4)考查數(shù)形結合思想的應用單調性是函數(shù)的一個重要性質，對函數(shù)作圖起到決定性的作用，而導數(shù)是分析函數(shù)單調區(qū)間的一個便利工具.高考對單調性的考查有小題，但多出現(xiàn)在大題中，涉及單調性應用的題目較多.1、函數(shù)的單調性：在內可導函數(shù)，在任意子區(qū)間內都不恒等于0.在上為增函數(shù)在上為減函數(shù)2、導數(shù)與單調區(qū)間的聯(lián)系（1）函數(shù)在可導，那么在上單調遞增.此結論可以這樣理解：對于遞增的函數(shù)，其圖像有三種類型： ，無論是哪種圖形，其上面任意一點的切線斜率均大于零.等號成立的情況：一是單調區(qū)間分界點導數(shù)有可能為零，例如：的單調遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調區(qū)間內但導數(shù)值等于零的點，典型的一個例子為在處的導數(shù)為0，但是位于單調區(qū)間內.（2）函數(shù)在可導，則在上單調遞減（3）前面我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調性可以決定其導數(shù)的符號，那么由的符號能否推出在的單調性呢？如果不是常值函數(shù)，那么便可由導數(shù)的符號對應推出函數(shù)的單調性.（這也是求函數(shù)單調區(qū)間的理論基礎）3、利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域（2）求出的導函數(shù)（3）令（或），求出的解集，即為的單調增（或減）區(qū)間（4）列出表格4、求單調區(qū)間的一些技巧（1）強調先求定義域，一方面定義域對單調區(qū)間有限制作用（單調區(qū)間為定義域的子集）.另一方面通過定義域對取值的限制，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調區(qū)間的求解（2）在求單調區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負的因式，以簡化不等式（3）一般可令，這樣解出的解集就是單調增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數(shù)部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補集即可(簡化求解的步驟）（4）若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數(shù)，若的解集為，那么說明沒有一個點切線斜率大于零，那么是定義域上的減函數(shù)（5）導數(shù)只是求單調區(qū)間的一個有力工具，并不是唯一方法，以前學過的一些單調性判斷方法也依然好用，例如：增+增增，減+減減，增減，復合函數(shù)單調性同增異減等.如果能夠通過結論直接判斷，那么就無需用導數(shù)來判定.5、求單調區(qū)間的一些注意事項（1）單調區(qū)間可以用開區(qū)間來進行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內.例如函數(shù)的單調減區(qū)間為，若寫成就出錯了（0不在定義域內）.（2）如果增（或減）區(qū)間有多個，那么在書寫時用逗號隔開，一定不要用并集的符號.有些同學覺得不等式的解集是多個部分時用“”連接，那么區(qū)間也一樣，這個觀點是錯誤的.并集是指將兩個集合的元素合并到一起成為一個集合，用在單調區(qū)間上會出現(xiàn)問題.依然以為例，如果寫成，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個變量，滿足單調減的條件.由性質可知，如果在兩個區(qū)間里各取一個，是不滿足單調減的性質的.【經典例題】例1.函數(shù)的單調增區(qū)間為_.【答案】【解析】由題函數(shù)的定義域為 ，又，可解得 例2. 【2017課標1】已知函數(shù)=ex(exa)a2x（1）討論的單調性；【答案】（1）當，在單調遞增；當，在單調遞減，在單調遞增；當，在單調遞減，在單調遞增【解析】試題分析：（1）分，分別討論函數(shù)的單調性當時，；當時，故在單調遞減，在單調遞增 例3【2018屆內蒙古包頭市高三第一次模擬】已知函數(shù).（1）若，求的單調區(qū)間；【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增.【解析】試題分析：（1）由，求得函數(shù)及，求解和，進而得到函數(shù)的單調區(qū)間.試題解析：（1）若，.當時，；當時，.故在上單調遞減，在上單調遞增.例4【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；【答案】（1）在上單調遞減，在，上單調遞增.【解析】試題分析：（1）討論函數(shù)單調性主要研究導函數(shù)大于零和小于零的不等式解集，根據(jù)題意 ，根據(jù)a的不同取值逐一討論導函數(shù)符號即可.解析：（1） ，當時，在上單調遞增.當時，故當或時，在上單調遞增.例5【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數(shù).（1）討論的單調性；【答案】（1）見解析.【解析】試題分析：（1） ，分 ，和 時討論 的單調區(qū)間.試題解析：（1） 當 時， ， 在 上單調遞減.當 時，令 ，得 ，令 ，得 的單調遞減區(qū)間為 ，單調遞增區(qū)間為 ，當 時，令 ，得 ，令 ，得 的單調遞減區(qū)間為 ，單調遞增區(qū)間為例6【2018屆江西省高三六校聯(lián)考】已知函數(shù)（1）令，試討論的單調性；【答案】(1) 當時， 單調遞減，無增區(qū)間；當時， (2) 【解析】試題分析：（1）由，對函數(shù)求導，研究導函數(shù)的正負得到單調性即可；（2）由條件可知對恒成立，變量分離，令，求這個函數(shù)的最值即可.解析：綜上：當時， 單調遞減，無增區(qū)間；當時， 【名師點睛】導數(shù)問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調性和極值以及最值，最終轉化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值） .例7【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】已知函數(shù)（1）當=0時，求實數(shù)的m值及曲線在點（1， ）處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性【答案】（1）m=1,y=1（2）見解析【解析】試題分析：（1）求出,由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論的取值范圍，分別求得單調區(qū)間.當m0時，由，得，或，當m2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（，+）增區(qū)間為（，）；當m=2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+）沒有增區(qū)間當2m0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（，+），增區(qū)間為（，）綜上可知：當m0時，函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間為（0，），增區(qū)間為（，+）；當m2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（，+）增區(qū)間為（，）；當m=2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+）沒有增區(qū)間；當2m0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（，+），增區(qū)間為（，）例8【2016北京理數(shù)】設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調區(qū)間.【答案】（），；（2）的單調遞增區(qū)間為.【解析】（1）因為，所以.依題設，即故是在區(qū)間上的最小值，從而.綜上可知，故的單調遞增區(qū)間為.例9【2018屆北京市西城區(qū)156中學高三上期中】已知函數(shù)（）當時，求函數(shù)的極值點（）求函數(shù)的單調區(qū)間【答案】（1）極大值點為，極小值點為；（2）見解析【解析】試題分析：（1）當時，求導數(shù)后根據(jù)導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調性，然后可得極值點（2）由題意得，然后根據(jù)的符號進行分類討論，結合導函數(shù)的符號得到單調區(qū)間試題解析：的極大值點為，極小值點為（）由題意得，令，則，當時，在上的單調遞增區(qū)間是當時，令，則或，令，則，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是當時，令，則或，【名師點睛】（1）求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：確定函數(shù)yf(x)的定義域；求導數(shù)；解不等式f(x)0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；解不等式f(x)0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間（2）求函數(shù)單調區(qū)間的注意事項：涉及含參數(shù)的單調性或單調區(qū)間的問題，一定要弄清參數(shù)對導數(shù)在某一區(qū)間內的符號是否有影響若有影響，則必須分類討論例10已知函數(shù).(1)若函數(shù)過點，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的單調性.【答案】（1）；（2）當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.【解析】試題分析：（1）代入點，求得，求出的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到切線方程；（2）求出的導數(shù)，對討論，當時，當時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間.試題解析：（1）函數(shù)過點，則有，即，【名師點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導數(shù)即為在該點處切線的斜率，導數(shù)與函數(shù)單調性的關系以及分類討論的思想，屬于中檔題；由，得函數(shù)單調遞增，得函數(shù)單調遞減，在該題中，含有參數(shù)的函數(shù)，主要是根據(jù)導函數(shù)的零點與定義域的關系進行分類討論.【精選精練】1【2018屆高考二輪訓練】已知函數(shù)f(x)x25x2ln x，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是()A. 和(1，) B. (0,1)和(2，)C. 和(2，) D. (1,2)【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，易求得函數(shù)的定義域是，則，令，解得，所以函數(shù)的單調增區(qū)間是和，故選C.2函數(shù)yx42x25的單調遞減區(qū)間為()A. (，1和0,1 B. 1,0和1，)C. 1,1 D. (，1和1，)【答案】A【解析】 由 可得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為和，故選A.3【2018屆湖北省天門、仙桃、潛江高三上學期期末】已知函數(shù)，則其單調增區(qū)間是（ ）A. （0，1 B. 0，1 C. （0，+） D. （1，+）【答案】D【解析】，定義域為令解得故函數(shù)單調增區(qū)間是故選.5【2018屆高考二輪訓練】已知m是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xm)，若f(1)1，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是 ()A. B. C. ，(0，) D. (0，)【答案】C6.【2018屆北京市京源學校高三十月月考】已知函數(shù),其導函數(shù)為的部分值如下表所示:根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題:（）實數(shù)的值為 ; 取得極大值點是 ;（）求實數(shù)的值;（）求的單調區(qū)間.【答案】（）;；（） ；（）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為和(.【解析】試題分析：（）由極值的定義，通過表格可求解；（）在表格中取兩組數(shù)據(jù)代入解析式即可；（）利用導數(shù)求出的單調區(qū)間.試題解析：（） ;7.已知函數(shù)f(x)=x3ax8的單調遞減區(qū)間為(5，5)，求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間【答案】(，5)和(5，)【解析】試題分析：求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調減區(qū)間是 ，可得是方程 的根，從而求出的值，然后令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間.試題解析：f(x)3x2a.(5，5)是函數(shù)yf(x)的單調遞減區(qū)間，則5，5是方程3x2a0的根，a75.此時f(x)3x275， 令f(x)>0，則3x275>0，解得x>5或x<5，函數(shù)yf(x)的單調遞增區(qū)間為(，5)和(5，)8【2018屆浙江省嘉興市高三上學期期末】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）（）若是的極值點，求實數(shù)的值；（）求的單調遞增區(qū)間【答案】(1) (2)見解析當時， ， 的單調遞增區(qū)間是；當時， ， 的單調遞增區(qū)間是.9【2018屆遼寧師范大學附屬中學高三上學期期末】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）討論的單調性.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）先求出，根據(jù)導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)在處的切線方程為，列方程可求實數(shù)的值；（2）分四種情況： ，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.試題解析：（1）， ，（2），當時， ， ，函數(shù)遞減；時， ，函數(shù)遞增；當時， ， ， ， ，函數(shù)遞增；， ， ，函數(shù)遞減；10已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）的單調遞減區(qū)間.【答案】（1）；（2）和.【解析】試題分析: (1)第(1)問, 先求導，再求出切線的斜率和切點坐標，最后寫出直線的點斜式方程 . (2)第(2)問,直接利用導數(shù)求函數(shù)的單調遞減區(qū)間.試題解析:， ， ，所以切點為（0，-2），切線方程為，一般方程為；（2），令，解得或，的單調遞減區(qū)間為和.11已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4()求a，b的值；()討論f(x)的單調性【答案】(1)a4，b4;(2)見解析.【解析】試題分析：（）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0）處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（）利用導數(shù)的正負，可得f（x）的單調性 當x(，2)(ln 2，)時，f(x)0；當x(2，ln 2)時，f(x)0 故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調遞增，在(2，ln 2)上單調遞減【名師點睛】確定單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內的一切實根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個區(qū)間內的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內的單調性12.設函數(shù)，（）當時，求曲線在點處的切線方程（）求函數(shù)單調區(qū)間和極值點【答案】（1）；（2）當時，的單調增區(qū)間為，無極值，當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間為，極大值為，極小值為【解析】試題分析：（1）當時，,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，結合函數(shù)的單調性，可得函數(shù)的極值點.試題解析：（）當時，曲線在點處的切線方程為，即（）由得，當時，在上是單調遞增，無極值，無極值，當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間為，極大值為，極小值為【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.