2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題20 數(shù)列求和 理.doc
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專題20 數(shù)列求和 一、 考綱要求: 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法. 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn): (1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an =bncn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. 2.錯(cuò)位相減法求和的適用范圍 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和. 3.錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng) ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式. ②在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 三、高考考題題例分析: 例1.(2018天津卷) 設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*), (i)求Tn; (ii)證明=﹣2(n∈N*). 【答案】(Ⅰ),bn=n; (Ⅱ)(i)Tn=2n+1-n-2 【解析】:(Ⅰ)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1=1,a3=a2+2,可得q2﹣q﹣2=0. ∵q>0,可得q=2. 故. 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,由a4=b3+b5,得b1+3d=4, 由a5=b4+2b6,得3b1+13d=16, ∴b1=d=1. 故bn=n; 例2.(2018江蘇卷)已知集合A={x|x=2n﹣1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn>12an+1成立的n的最小值為 ?。? 【答案】27 【解析】:利用列舉法可得: S26=,a27=43,?12a27=516,不符合題意. S27==546,28=45?1228=540,符合題意, 故答案為:27. 例3.【2017課標(biāo)1,理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1, 1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來 的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么 該款軟件的激活碼是 A.440 B.330 C.220 D.110 【答案】A 例4.【2015高考新課標(biāo)2,理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,,則________. 【答案】 【解析】:由已知得,兩邊同時(shí)除以,得,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則,所以. 例5.【2015高考山東,理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. (I)求的通項(xiàng)公式; (II)若數(shù)列滿足,求的前n項(xiàng)和. 【答案】(I); (II). (II)因?yàn)?,所以 當(dāng) 時(shí), 所以 當(dāng) 時(shí), 所以 兩式相減,得 經(jīng)檢驗(yàn), 時(shí)也適合, 綜上可得: 例6.(2017全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an=. (2) Sn= 例7.(2017山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) an=2n. (2) Tn=5-. 【解析】: (1)設(shè){an}的公比為q, 由題意知a1(1+q)=6,aq=a1q2, 又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1=2,q=2, 所以an=2n. (2)由題意知S2n+1==(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以bn=2n+1. 令cn=,則cn=. 因此Tn=c1+c2+…+cn =+++…++, 又Tn=+++…++, 兩式相減得 Tn=+-, 所以Tn=5-. 例8.(2016北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an=2n-1(n=1,2,3,…). (2) n2+. (2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =+=n2+. 數(shù)列求和練習(xí) 一、選擇題 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S5=25,則S7= ( ) A.41 B.48 C.49 D.56 【答案】C 2.?dāng)?shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為 ( ) A.1+2n B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 【答案】C 【解析】:由題意得an=1+2n-1, 所以Sn=n+=n+2n-1. 3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為 ( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 【答案】D 【解析】:根據(jù)題意有S100=-1+3-5+7-9+11-…-197+199=250=100,故選D. 4.?dāng)?shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項(xiàng)和Sn的值等于 ( ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- 【答案】A 【解析】:該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)+, 則Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ =n2+1-. 5.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于 ( ) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】:∵an==-, ∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=. 6.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,前n項(xiàng)和為9,則n等于 ( ) A.9 B.99 C.10 D.100 【答案】B 7.已知數(shù)列{an}中,an=-4n+5,等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q=an-an-1(n≥2)且b1=a2,則|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|= ( ) A.1-4n B.4n-1 C. D. 【答案】B 【解析】:由已知得b1=a2=-3,q=-4, ∴bn=(-3)(-4)n-1, ∴|bn|=34n-1, 即{|bn|}是以3為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列. ∴|b1|+|b2|+…+|bn|==4n-1. 8.在數(shù)列{an}中,an+1-an=2,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S10=50,則數(shù)列{an+an+1}的前10項(xiàng)和為 ( ) A.100 B.110 C.120 D.130 【答案】C 【解析】:{an+an+1}的前10項(xiàng)和為a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+102=120.故選C. 9.[數(shù)學(xué)文化]中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請問第二天走了 ( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 【答案】B 【解析】:由題意,知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,則=378,解得a1=192,則a2=96,即第二天走了96里.故選B. 10.已知數(shù)列5,6,1,-5,…,該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于 ( ) A.5 B.6 C.7 D.16 【答案】C 11.已知函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=,n∈N*,記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 019= ( ) A.-1 B.-1 C.-1 D.+1 【答案】C 【解析】:由f(4)=2得4a=2,解得a=,則f(x)=x. ∴an===-, S2 019=a1+a2+a3+…+a2 019=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1. 12.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-1對稱,且f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a50)=f(a51),則{an}的前100項(xiàng)的和為 ( ) A.-200 B.-100 C.0 D.-50 【答案】B 【解析】:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-1對稱,又函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100==50(a50+a51)=-100,故選B. 二、填空題 13.設(shè)數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn,且an=sin,n∈N*,則S2 018=__________. 【答案】1 【解析】: an=sin,n∈N*,顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0. S2 018=S4504+a2 017+a2 018=0+1+0=1. 14.計(jì)算:32-1+42-2+52-3+…+(n+2)2-n=__________. 【答案】4- 15.(2017全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=________. 【答案】 【解析】:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則 由得 ∴Sn=n1+1=, ==2. ∴ =+++…+ =2 =2=. 16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn=__________. 【答案】n2n(n∈N*) 三、解答題 17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=n2+2n,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an=2n+1 (2) 【解析】: (1)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1, a1=S1=3也滿足an=2n+1, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1. (2)由(1)知=, 則Tn= ==-=. 18.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 【答案】(1) an=1+(n-1)2=2n-1 (2) T2n=-2n. 19.已知等差數(shù)列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10項(xiàng)和S10=100. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an=2n-1 (2) 【解析】:(1)由已知得 解得 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2(n-1)=2n-1. (2)bn= =, 所以Tn= ==. 20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1(n∈N*). (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)若cn=2an(bn-1)(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) bn=2n+1 (2) Tn=(n-1)2n+2+4. 21.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*). (1)求m的值; (2)若數(shù)列{bn}滿足=log2bn(n∈N*),求數(shù)列{(an+6)bn}的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) m=5 (2) Tn=(n-1)2n-1+(n∈N*). 【解析】: (1)由已知得am=Sm-Sm-1=4, 且am+1+am+2=Sm+2-Sm=14, 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 則2am+3d=14, ∴d=2. 由Sm=0,得ma1+2=0, 即a1=1-m, ∴am=a1+(m-1)2=m-1=4, ∴m=5. (2)由(1)知a1=-4,d=2, ∴an=2n-6, ∴n-3=log2bn,得bn=2n-3. ∴(an+6)bn=2n2n-3=n2n-2. 設(shè)數(shù)列{(an+6)bn}的前n項(xiàng)和為Tn, ∴Tn=12-1+220+…+(n-1)2n-3+n2n-2,?、? 2Tn=120+221+…+(n-1)2n-2+n2n-1,?、? ①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n2n-1 =-n2n-1 =2n-1--n2n-1, ∴Tn=(n-1)2n-1+(n∈N*). 22.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(2n-1)an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) an=3n. (2) Tn=(n-1)3n+1+3. (2)法一:由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)3n, ∴Tn=13+332+533+…+(2n-1)3n,① 3Tn=132+333+534+…+(2n-1)3n+1,② ①-②得-2Tn=13+232+233+…+23n-(2n-1)3n+1=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1 =3+2-(2n-1)3n+1 =-6-(2n-2)3n+1. ∴Tn=(n-1)3n+1+3.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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