2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.5.1 二項式定理學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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1.5.1 二項式定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題. 知識點 二項式定理 思考1 我們在初中學(xué)習(xí)了(a+b)2=a2+2ab+b2,試用多項式的乘法推導(dǎo)(a+b)3,(a+b)4的展開式. 思考2 上述兩個等式的右側(cè)有何特點? 思考3 能用類比方法寫出(a+b)n(n∈N*)的展開式嗎? 梳理 二項式定理及其概念 (1)二項式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)叫做二項式定理,________________叫做(a+b)n的二項展開式,它一共有________項. (2)二項展開式的通項 ____________叫做二項展開式的第r+1項(也稱通項),用Tr+1表示,即Tr+1=____________. (3)二項式系數(shù) ________________________________________________________________________叫做第r+1項的二項式系數(shù). 類型一 二項式定理的正用、逆用 引申探究 將本例(1)改為求(2x-)5的展開式.例1 (1)求(3+)4的展開式. (2)化簡:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC. 反思與感悟 (1)(a+b)n的二項展開式有n+1項,是和的形式,各項的冪指數(shù)規(guī)律是:①各項的次數(shù)和等于n.②字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由0逐項加1直到n. (2)逆用二項式定理可以化簡多項式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點,向二項展開式的形式靠攏. 跟蹤訓(xùn)練1 化簡(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 類型二 二項展開式的通項 例2 已知二項式(3-)10. (1)求展開式第4項的二項式系數(shù); (2)求展開式第4項的系數(shù); (3)求第4項. 反思與感悟 (1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(r∈{0,1,2,…,n}),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念. (2)第r+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為C.例如,在(1+2x)7的展開式中,第四項是T4=C17-3(2x)3,其二項式系數(shù)是C=35,而第四項的系數(shù)是C23=280. 跟蹤訓(xùn)練2 已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162. (1)求n的值; (2)求展開式中含x3的項,并指出該項的二項式系數(shù). 例3 已知在n的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求n; (2)求含x2的項的系數(shù); (3)求展開式中所有的有理項. 反思與感悟 (1)求二項展開式的特定項的常見題型 ①求第r項,Tr=Can-r+1br-1;②求含xr的項(或xpyq的項);③求常數(shù)項;④求有理項. (2)求二項展開式的特定項的常用方法 ①對于常數(shù)項,隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項). ②對于有理項,一般是先寫出通項公式,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解. ③對于二項展開式中的整式項,其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項一致. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)若9的展開式中x3的系數(shù)是-84,則a=________. (2)已知n為等差數(shù)列-4,-2,0,…的第六項,則(x+)n的二項展開式的常數(shù)項是________. 1.(x+2)8的展開式中x6的系數(shù)是________. 2.二項式(x+)12的展開式中的常數(shù)項是第________項. 3.已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30,則a=________. 4.化簡:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1=________. 5.求(+)4的展開式. 1.求二項展開式的特定項應(yīng)注意的問題 通項公式的主要作用是求展開式中的特殊項,常見的題型有:①求第r項;②求含xr(或xpyq)的項;③求常數(shù)項;④求有理項.其中求有理項時一般根據(jù)通項公式所得到的項,其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解.另外,若通項中含有根式,一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以減少計算中的錯誤. 2.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別 二項式系數(shù)C與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等,二項式系數(shù)一定為正,而項的系數(shù)有時可以為負(fù). 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點 思考1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 思考2 (a+b)3的展開式有4項,每項的次數(shù)是3;(a+b)4的展開式有5項,每一項的次數(shù)為4. 思考3 能,(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn (n∈N*). 梳理 (1)右邊的多項式 n+1 (2)Can-rbr Can-rbr (3)C(r=0,1,2,…,n) 題型探究 例1 (1)解 方法一 (3+)4= (3)4+C(3)3()+C(3)2()2+C(3)()3+C()4 =81x2+108x+54++. 方法二 (3+)4=()4=(1+3x)4=[1+C3x+C(3x)2+C(3x)3+C(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. (2)解 原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 引申探究 解 方法一 (2x-)5=C(2x)5- C(2x)4+C(2x)3()2- C(2x)2()3+C(2x)()4- C()5=32x5-80x2+-+-. 方法二 (2x-)5=[(2x3-1)]5=-(1-2x3)5=-[1-C(2x3)+C(2x3)2-C(2x3)3+C(2x3)4- C(2x3)5]=-+-+-80x2+32x5. 跟蹤訓(xùn)練1 解 原式=C(2x+1)5-C(2x+1)4+C(2x+1)3-C(2x+1)2+C(2x+1)-C(2x+1)0=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 例2 解 (3-)10的展開式的通項是 Tr+1=C(3)10-r(-)r =C310-r(-)r(r=0,1,2,…,10). (1)展開式的第4項(r=3)的二項式系數(shù)為C=120. (2)展開式的第4項的系數(shù)為 C37(-)3=-77 760. (3)展開式的第4項為T4=T3+1 =-77 760. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)因為T3=C()n-22=4C, T2=C()n-1=-2C, 依題意,得4C+2C=162,所以2C+C=81, 所以n2=81,n=9. (2)設(shè)第r+1項含x3項,則Tr+1=C()9-rr=(-2)rC,所以=3,r=1, 所以第二項為含x3的項,T2=-2Cx3=-18x3. 二項式系數(shù)為C=9. 例3 解 通項公式為 Tr+1=C (-3)r=C(-3)r. (1)∵第6項為常數(shù)項, ∴當(dāng)r=5時,有=0,即n=10. (2)令=2,得r=(n-6)=2, ∴所求的系數(shù)為C(-3)2=405. (3)由題意,得令 =t(t∈Z), 則10-2r=3t,即r=5-t. ∵r∈Z, ∴t應(yīng)為偶數(shù). 令t=2,0,-2,即r=2,5,8. ∴第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為405x2,-61 236,295 245x-2. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)1 解析 展開式的通項為Tr+1=Cx9-r(-a)rr=C(-a)rx9-2r(0≤r≤9,r∈N).當(dāng)9-2r=3時,解得r=3,代入得x3的系數(shù),根據(jù)題意得C(-a)3=-84,解得a=1. (2)160 解析 由題意得n=6,∴Tr+1=2rCx6-2r,令6-2r=0得r=3,∴常數(shù)項為C23=160. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.112 2.9 3.-6 4.x5 5.解 (+)4=C()4+C()3+C()2()2+C()3+ C()4=x2+4x+6++.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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