(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題十一 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(普通生含解析).doc
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重點增分專題十一 圓錐曲線的方程與性質(zhì) [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運算T8 雙曲線的幾何性質(zhì)T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)T12 直線與拋物線的位置關(guān)系T16 2017 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長公式、基本不等式的應(yīng)用T10 雙曲線的幾何性質(zhì)T9 雙曲線的漸近線及標(biāo)準(zhǔn)方程T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T15 2016 雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程T5 雙曲線的定義、離心率問題T11 直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率T11 拋物線與圓的綜合問題T10 (1)圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容.以選擇題、填空題的形式考查,常出現(xiàn)在第4~12或15~16題的位置,著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程,難度中等. (2)圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查,常作為壓軸題出現(xiàn)在第19~20題的位置,一般難度較大. 保分考點練后講評 1.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓+=1的兩個焦點,點P在橢圓上,若線段PF1的中點在y軸上,則的值為( ) A. B. C. D. 解析:選D 如圖,設(shè)線段PF1的中點為M,因為O是F1F2的中點,所以O(shè)M∥PF2,可得PF2⊥x軸,|PF2|==,|PF1|=2a-|PF2|=,所以=. 2.已知雙曲線的虛軸長為4,離心率e=,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若過F1的直線與雙曲線的左支交于A,B兩點,且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項,則|AB|等于( ) A.8 B.4 C.2 D.8 解析:選A 由題意可知2b=4,e==,于是a=2.∵2|AB|=|AF2|+|BF2|, ∴|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=4a=8. 3.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=2|BF|=6,則p=________. 解析:設(shè)直線AB的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,4x1x2=p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過A作AC⊥l,垂足為C,過B作BD⊥l,垂足為D,因為|AF|=2|BF|=6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|=|AC|=x1+=6,|BF|=|BD|=x2+=3,所以x1-x2=3,x1+x2=9-p,所以(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x1x2=p2,即18p-72=0,解得p=4. 答案:4 [解題方略] 圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)拋物線:|MF|=d(d為M點到準(zhǔn)線的距離). [注意] 應(yīng)用圓錐曲線定義解題時,易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 保分考點練后講評 [大穩(wěn)定] 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為4,漸近線方程為2xy=0,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:選A 易知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點在x軸上,所以由漸近線方程為2xy=0,得=2,因為雙曲線的焦距為4,所以c=2.結(jié)合c2=a2+b2,可得a=2,b=4,所以雙曲線的方程為-=1. 2.若橢圓的中心為坐標(biāo)原點,短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到橢圓上的點的距離的最小值為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析:設(shè)長半軸長為a,短半軸長為b,半焦距為c, 由已知得又a2=b2+c2,∴ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+=1. 答案:+=1或+=1 3.若拋物線y2=2px(p>0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________. 解析:因為拋物線y2=2px(p>0)上一點到拋物線對稱軸的距離為6, 若設(shè)該點為P,則P(x0,6). 因為P到拋物線焦點F的距離為10, 根據(jù)拋物線的定義得x0+=10.① 因為P在拋物線上,所以36=2px0.② 由①②解得p=2,x0=9或p=18,x0=1, 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x或y2=36x. 答案:y2=4x或y2=36x [解題方略] 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路 定型 就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 計算 即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0) [小創(chuàng)新] 1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點B是虛軸的一個端點,線段BF與雙曲線C的右支交于點A,若=2,且||=4,則雙曲線C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:選D 不妨設(shè)B(0,b),由=2,F(xiàn)(c,0),可得A,代入雙曲線C的方程可得-=1, ∴=.① 又||==4,c2=a2+b2, ∴a2+2b2=16.② 由①②可得,a2=4,b2=6, ∴雙曲線C的方程為-=1. 2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸;反之,平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點.若拋物線y2=4x的焦點為F,一平行于x軸的光線從點M(3,1)射出,經(jīng)過拋物線上的點A反射后,再經(jīng)拋物線上的另一點B射出,則直線AB的斜率為( ) A. B.- C. D.- 解析:選B 將y=1代入y2=4x,可得x=,即A.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,直線AB過焦點F(1,0),所以直線AB的斜率k==-. 3.如圖,記橢圓+=1,+=1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C,P是曲線C上的任意一點,給出下列四個命題: ①P到F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四點的距離之和為定值; ②曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x均對稱; ③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36; ④曲線C的總長度不大于6π. 其中正確命題的序號為________. 解析:對于①,若點P在橢圓+=1上,則P到F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值,到E1(0,-4),E2(0,4)兩點的距離之和不為定值,故①錯;對于②,聯(lián)立兩個橢圓的方程得y2=x2,結(jié)合橢圓的對稱性知,曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x均對稱,故②正確;對于③,曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部,所以其面積必小于36,故③正確;對于④,曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓,所以曲線C的總長度必大于圓的周長6π,故④錯.所以正確命題的序號為②③. 答案:②③ 增分考點深度精研 [析母題] [典例] (1)(2018全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120,則C的離心率為( ) A. B. C. D. (2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為,△AOB的面積為2,則p=( ) A.2 B.1 C.2 D.3 (3)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2(e為雙曲線離心率)的值為________. [解析] (1)如圖,作PB⊥x軸于點B.由題意可設(shè)|F1F2|=|PF2|=2,則c=1.由∠F1F2P=120,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2,tan ∠PAB===,解得a=4,所以e==. (2)不妨設(shè)A點在B點上方,由雙曲線的離心率為,得1+=e2=5,解得=2,所以雙曲線的兩條漸近線方程為y=x=2x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,則交點的坐標(biāo)為A,B,所以|AB|=2p.由△AOB的面積為2,得|AB|=2,即2p=2,解得p=2,故選A. (3)如圖所示,因為|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|=|AF2|+|BF2|, 所以|BF2|=2a,|BF1|=4a. 所以|AF1|=2a, |AF2|=2a-2a. 因為|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2, 所以(2c)2=(2a)2+(2a-2a)2, 所以e2=5-2. [答案] (1)D (2)A (3)5-2 [練子題] 1.本例(3)若變?yōu)椋阂阎獧E圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與橢圓交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2=________. 解析:設(shè)|F1F2|=2c,|AF1|=m, 因為△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形, 所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a, 所以4a=2m+m,即m=2(2-)a. 所以|AF2|=2a-m=(2-2)a. 因為|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以4(2-)2a2+4(-1)2a2=4c2, 所以e2=9-6. 答案:9-6 2.本例(3)若變?yōu)椋篎1,F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點,點A在雙曲線上,且△AF2F1為等腰直角三角形,則雙曲線的離心率為______. 解析:注意到|F2A|≠|(zhì)F1A|, 不妨設(shè)|F2A|>|F1A|. 因為△AF2F1為等腰直角三角形, 則|F2A|∶|F1F2|∶|F1A|=∶1∶1. 所以e====+1. 答案:+1 3.本例(3)中,若雙曲線上存在一點P,使得=,求雙曲線離心率的取值 范圍. 解:如圖所示, 由 得|PF1|=, 且|PF2|=. 又由|PF1|≥a+c,可得≥a+c,即e2-2e-1≤0, 解得1-≤e≤+1,又因為e>1,所以雙曲線離心率的取值范圍為(1,+1]. [解題方略] 1.橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值. 2.雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法:把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零,分解因式可得. (2)用法:①可得或的值. ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程. [多練強化] 1.(2018全國卷Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析:選A ∵e===, ∴a2+b2=3a2,∴b=a. ∴漸近線方程為y=x. 2.(2018阜陽模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,則該橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:選B ∵F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>0,b>0)的左、右兩個焦點, ∴F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),c2=a2-b2. 設(shè)點P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x+c,y)(x-c,y)=0,化簡得x2+y2=c2. 聯(lián)立方程組整理得,x2=(2c2-a2)≥0,解得e≥. 又0<e<1,∴≤e<1. 3.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:選B 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(負值舍去). ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4. 4.(2018惠州調(diào)研)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M,若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi),則雙曲線離心率的取值范圍是________. 解析:如圖,不妨設(shè)F1(0,c),F(xiàn)2(0,-c),則過點F1與漸近線y=x平行的直線為y=x+c,聯(lián)立 解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2+y2=c2內(nèi),故2+2- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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