新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示講

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1、 第02節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預(yù)測 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 1.理解平面向量的基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題。 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。 3．掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運算。 20xx?浙江文22; 單獨考查平面向量基本定理、坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算的題目較少，主要是以工具的形式進(jìn)行考查. 3.備考重點： (1) 理解坐標(biāo)表示是基礎(chǔ)，掌握坐標(biāo)運算的方法是關(guān)鍵； (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時，注意運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

2、想，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算解題. 【知識清單】 1．平面向量基本定理及其應(yīng)用 平面向量基本定理 如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 對點練習(xí)： 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________． 【答案】　 2．平面向量的坐標(biāo)運算 1. 平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐標(biāo)表示 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位

3、向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，因此把叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)． (2)若，則． 3．平面向量的坐標(biāo)運算 (1)若，則； (2)若，則． (3)設(shè)，則，. 對點練習(xí)： 【20xx湖南郴州一測】中，，，則（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 試題分析：,故選D. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 向量共線的充要條

4、件的坐標(biāo)表示 若，則?. 對點練習(xí)： 【20xx廣西名校摸底】已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象按向量平移而得到的，又，則 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考點深度剖析】 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)． 【重點難點突破】 考點1 平面向量基本定理及其應(yīng)用 【20xx·杭州測試】 如圖，以向量＝a，＝b為

5、鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 【答案】＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 【解析】∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b. 【領(lǐng)悟技法】 1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運算和數(shù)乘運算． 2.特別注意基底的不唯一性： 只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的． 【觸類旁通】 【變式一】如圖，已知＝，用，表示，則等于(　　) A.－

6、 B.＋ C.－＋ D.－－ 【答案】C 【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，選C. 考點2 平面向量的坐標(biāo)運算 【2-1】已知向量，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【2-2】已知向量，且，則等于（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 因,,故,所以,故,故應(yīng)選D. 【領(lǐng)悟技法】 注意向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的區(qū)別： 要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，

7、盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息． 【觸類旁通】 【變式一】已知向量，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因為，所以=，故選A. 【變式二】【20xx河北武邑三調(diào)】在矩形中，，則實數(shù)（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】，故選D. 考點3 平面向量共線的坐標(biāo)

8、表示 【3-1】向量且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【3-2】設(shè)向量=，=，則“”是“//”的( ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，解得.所以“”是“”的充分而不必要條件. 【領(lǐng)悟技法】 1.向量共線的充要條件有兩種： （1）?. （2）若，則?. 當(dāng)涉及到向量或點的坐

9、標(biāo)問題時，應(yīng)用（2）解題較為方便. 2.兩向量相等的充要條件，它們的對應(yīng)坐標(biāo)相等. 【觸類旁通】 【變式一】已知向量，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由，可知，解得，故選A. 【變式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），則向量的模的最小值是（ ） A．3 B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】 考點4 平面向量共線的應(yīng)用 【4-1】設(shè)，，，，為坐標(biāo)原點，若、、三點共線，則的最小值是（ ） A．2

10、 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 ，，若、、三點共線，，由向量共線定理得，，故． 【4-2】如圖，在△中, ,是上的一點,若,則實數(shù)的值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【課本回眸】 向量共線的充要條件有兩種： （1）?. （2）若，則?. 【領(lǐng)悟技法】 當(dāng)涉及到向量或點的坐標(biāo)問題時，應(yīng)用向量共線的充要條件（2）解題較為方便. 【觸類旁通】 【變式一】設(shè)兩個向量，其中．若，則的最小值為______． 【

11、答案】 【解析】 值為值為. 【變式二】【20xx山西大學(xué)附中二?！吭谥苯翘菪畏謩e為的中點， 點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示）．若，其中， 則的取值范圍是___________． 【答案】 ，，. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量 ． 易錯分析：不能結(jié)合圖形特征，靈活建立直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，將問題轉(zhuǎn)化成三角問題求解． 正確解析：以為原點，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方形的邊長為， 則? ? 設(shè) ?.又向量

12、由題意得 ∴當(dāng)時，同時，時，取最小值為. 溫馨提醒：涉及幾何圖形問題，要注意分析圖形特征，利用已有的垂直關(guān)系，建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，利用向量共線的充要條件，應(yīng)用函數(shù)方程思想解題. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化

13、，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果. 【典例】【20xx·湖南模擬】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 【答案】2. 【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1,0)，B. 設(shè)∠AOC＝α， 則C(cosα，sinα)， 又α∈，所以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2.