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1、
1
2、 1
課時提升作業(yè)(二十六)
一、選擇題
1.(20xx·寶雞模擬)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于 ( )
(A)-12a+32b (B)12a-32b
(C)-32a-12b (D)-32a+12b
2.(20xx·蚌埠模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(12,1+sinθ)
3、,若a∥b,則銳角θ等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
3.(20xx·撫州模擬)原點O是正六邊形ABCDEF的中心,OA→=(-1,-3),
OB→=(1,-3),則OC→等于( )
(A)(2,0) (B)(-2,0)
(C)(0,-23) (D)(0,3)
4.若α,β是一組基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底α,β下的坐標,現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標為(-2,2),則a在另一組基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標為 ( )
(A)(
4、2,0) (B)(0,-2)
(C)(-2,0) (D)(0,2)
5.如圖所示,已知AB→=2BC→,OA→=a,OB→=b,OC→=c,則下列等式中成立的是 ( )
(A)c=32b-12a
(B)c=2b-a
(C)c=2a-b
(D)c=32a-12b
6.(20xx·西安模擬)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(m+1,m-2),若點A,B,C能構成三角形,則實數(shù)m應滿足的條件是( )
(A)m≠-2 (B)m≠12 (C)m≠1 (D)m≠-1
7.已
5、知非零向量e1,e2,a,b滿足a=2e1-e2,b=ke1+e2.給出以下結論:
①若e1與e2不共線,a與b共線,則k=-2;
②若e1與e2不共線,a與b共線,則k=2;
③存在實數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線;
④不存在實數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線.
其中正確結論的個數(shù)是 ( )
(A)1個 (B)2個
(C)3個 (D)4個
8.(能力挑戰(zhàn)題)平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足OC→=αOA→+βOB→
6、,其中α,β∈R且α+β=1,則點C的軌跡方程為 ( )
(A)(x-1)2+(y-2)2=5
(B)3x+2y-11=0
(C)2x-y=0
(D)x+2y-5=0
9.(20xx·黃石模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,動點P在△BCD內運動(含邊界),設AP→=αAD→+βAB→,則α+β的最大值是 ( )
(A)34 (B)43 (C)32 (D)23
10.已知a=(sinα-cosα,20xx),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,則tan2α-1cos2α的值為( )
(A
7、)-20xx (B)-12 014 (C)20xx (D)12 014
二、填空題
11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起點為A(1,2),終點B在坐標軸上,則點B的坐標為 .
12.如圖,在□ABCD中,AB→=a,AD→=b,AN→=3NC→,M是BC的中點,則MN→= (用a,b表示).
13.在平面直角坐標系xOy中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,則x= .
14.(20xx·合肥模擬)給出以下四個命題:
①四邊形ABCD是菱形的充要條件是AB→=DC→,且|AB→|=|AD→
8、|;
②點G是△ABC的重心,則GA→+GB→+CG→=0;
③若AB→=3e1,CD→=-5e1,且|AD→|=|BC→|,則四邊形ABCD是等腰梯形;
④若|AB→|=8,|AC→|=5,則3≤|BC→|≤13.
其中所有正確命題的序號為 .
三、解答題
15.平面內給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列問題:
(1)求3a+b-2c.
(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k.
答案解析
1.【解析】選B.設c=λa+μb,
∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-
9、1),
∴-1=λ+μ,2=λ-μ,∴λ=12,μ=-32,
∴c=12a-32b.
2.【解析】選B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1×12=0,
∴sinθ=±22,
又θ為銳角,∴θ=45°.
3.【解析】選A.∵在正六邊形ABCDEF中,OABC為平行四邊形,∴OB→=OA→+OC→,
∴OC→=OB→-OA→=(2,0).
4.【解析】選D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),
設a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
則由-λ+μ=2,λ+2μ=4,解得λ=0,μ=2.
∴a=0m+2n
10、,
∴a在基底m,n下的坐標為(0,2).
5.【解析】選A.由AB→=2BC→得AO→+OB→=2(BO→+OC→),所以2OC→=-OA→+3OB→,即c=32b-12a.
6.【思路點撥】運用反證法,從三點可以共線考慮,然后取所得范圍的補集.
【解析】選C.若點A,B,C不能構成三角形,則只能共線.
∵AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
AC→=OC→-OA→=(m+1,m-2)-(1,-3)
=(m,m+1).
假設A,B,C三點共線,
則1×(m+1)-2m=0,即m=1.
∴若A,B,C三點能構成三角形,則m≠1.
7.【解析】選
11、B.(1)若a與b共線,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1與e2不共線,
∴λk=2,λ=-1,解得k=-2.故①正確,②不正確.
(2)若e1與e2共線,則e2=λe1,有
∵e1,e2,a,b為非零向量,∴λ≠2且λ≠-k,
∴12-λa=1k+λb,即a=2-λk+λb,這時a與b共線,
∴不存在實數(shù)k滿足題意.故③不正確,④正確.
綜上,正確的結論為①④.
8.【思路點撥】求軌跡方程的問題時可求哪個點的軌跡設哪個點的坐標,故設C(x,y),根據(jù)向量的運算法則及向量相等的關系,列出關于α,β,x,y的關系式,消去α,β即可得解.
【解析】選D.設C(x,
12、y),則OC→=(x,y),OA→=(3,1),OB→=(-1,3).由OC→=αOA→+βOB→,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
于是x=3α-β,?、賧=α+3β,②α+β=1.③
由③得β=1-α代入①②,消去β得x=4α-1,y=3-2α,
再消去α得x+2y=5,
即x+2y-5=0.
【一題多解】由平面向量共線定理,得當OC→=αOA→+βOB→,α+β=1時,A,B,C三點共線.
因此,點C的軌跡為直線AB,
由兩點式求直線方程得y-13-1=x-3-1-3,
即x+2y-5=0.
9.【思路點撥】建立平面直角坐標系,設P
13、(x,y),求出α+β與x,y的關系,運用線性規(guī)劃求解.
【解析】選B.以A為原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,則D(0,1),B(3,0),C(1,1),設P(x,y).
∴AP→=(x,y),AD→=(0,1),AB→=(3,0).
∵AP→=αAD→+βAB→,
即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),
∴x=3β,y=α,∴α=y,β=x3,
∴α+β=x3+y.
由線性規(guī)劃知識知在點C(1,1)處x3+y取得最大值43.
10.【思路點撥】根據(jù)向量的共線求出tanα,再利用三角變換公式求值.
【解析】選C.由a∥b得sinα-cosαsi
14、nα+cosα=20xx,即tanα-1tanα+1=20xx,解得tanα=-2 0152 013.
tan2α-1cos2α=2tanα1-tan2α-cos2α+sin2αcos2α-sin2α=2tanα1-tan2α-1+tan2α1-tan2α=-(1-tanα)21-tan2α=-1-tanα1+tanα.
將tanα=-2 0152 013代入上式得,
tan2α-1cos2α=20xx.
【方法技巧】解決向量與三角函數(shù)綜合題的技巧方法
向量與三角函數(shù)的結合是近幾年高考中出現(xiàn)較多的題目,解答此類題目的關鍵是根據(jù)條件將所給的向量問題轉化為三角問題,然后借助三角恒等變換再
15、根據(jù)三角求值、三角函數(shù)的性質、解三角形的問題來解決.
11.【解析】由b∥a,可設b=λa=(-2λ,3λ).
設B(x,y),則AB→=(x-1,y-2)=b.
由-2λ=x-1,3λ=y-2,?x=1-2λ,y=3λ+2.
又B點在坐標軸上,則1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B(0,72)或(73,0).
答案:(0,72)或(73,0)
12.【解析】由題意知MN→=MC→+CN→
=12BC→+14CA→=12BC→-14AC→
=12AD→-14(AB→+AD→)
=12AD→-14AB→-14AD→=-14AB→+14AD→
=-14a+14b.
答案:-
16、14a+14b
13.【解析】由a=(1,2),a-12b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).
由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1.
答案:-1
14.【解析】對于①,當AB→=DC→時,則四邊形ABCD為平行四邊形,又|AB→|=|AD→|,故該平行四邊形為菱形,反之,當四邊形ABCD為菱形時,則AB→=DC→,且|AB→|=|AD→|,故①正確;對于②,若G為△ABC的重心,則GA→+GB→+GC→=0,故不正確;對于③,由條件知CD→=-53AB→,所以CD→∥AB→且|CD→|>|AB→|,
又|AD→|=|BC→
17、|,故四邊形ABCD為等腰梯形,正確;對于④,當AB→,AC→共線同向時,|BC→|=3,當AB→,AC→共線反向時,|BC→|=8+5=13,當AB→,AC→不共線時3<|BC→|<13,故正確.綜上正確命題為①③④.
答案:①③④
15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).
(2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.
(3)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2
18、+k),2b-a=(-5,2).
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
∴k=-1613.
【變式備選】已知四點A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求實數(shù)x,使兩向量AB→,CD→共線.
(2)當兩向量AB→與CD→共線時,A,B,C,D四點是否在同一條直線上?
【解析】(1)AB→=(x,1),CD→=(4,x).
∵AB→∥CD→,
∴x2-4=0,即x=±2.
∴當x=±2時,AB→∥CD→.
(2)當x=-2時,BC→=(6,-3),AB→=(-2,1),
∴AB→∥BC→.此時A,B,C三點共線,
從而,當x=-2時,A,B,C,D四點在同一條直線上.
但x=2時,A,B,C,D四點不共線.
新版高考數(shù)學復習 第四章 第二節(jié)
