新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)九 2.1.1 含解析

新編人教版精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(九)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x236+y235=1B.y236+x235=1C.x236+y21=1D.以上都不對(duì)【解析】選D.由a=6,c=1,所以b2=a2-c2=35,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),方程為x236+y235=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程為y236+x235=1.2.已知F1,F2是定點(diǎn),|F1F2|=8,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A.橢圓B.直線C.圓D.線段【解析】選D.因?yàn)閨MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.3.(2015·漳州高二檢測)如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-2【解析】選D.由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上,所以a2>a+6,a+6>0,即(a+2)(a-3)>0,a>-6.a>3或-6<a<-2.【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí),常因忽略a+6>0導(dǎo)致錯(cuò)誤.4.已知橢圓x225+y29=1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段ON的長是()A.2B.4C.8D.32【解題指南】借助三角形中位線的性質(zhì)求解.【解析】選B.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,如圖,則|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON為MEF的中位線,所以|ON|=12|ME|=4.5.(2015·荊州高二檢測)已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-2,0),F2(2,0),P為橢圓上的一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng).該橢圓的方程是()A.x212+y264=1B.x216+y212=1C.x24+y216=1D.x24+y212=1【解析】選B.因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2×4=8,所以2a=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓方程是x216+y212=1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a=4,b=3,橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】由題意可知,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y29=1.答案:x216+y29=17.(2015·廣東高考改編)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=.【解題指南】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上,判斷出m2<25,進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo),a2的值及m>0求得m.【解析】由題意得:m2=25-42=9,因?yàn)閙>0,所以m=3.答案:38.已知A(0,-1),B(0,1)兩點(diǎn),ABC的周長為6,則ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是.【解析】因?yàn)?c=|AB|=2,所以c=1,所以|CA|+|CB|=6-2=4=2a,所以頂點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(A,B,C不共線).因此,頂點(diǎn)C的軌跡方程為y24+x23=1(y±2).答案:y24+x23=1(y±2)【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí),常因?yàn)楹雎訟,B,C不共線導(dǎo)致增解.三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·臨沂高二檢測)設(shè)P是橢圓x225+y2754=1上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),若F1PF2=60°,求F1PF2的面積.【解析】由橢圓方程知,a2=25,b2=754,所以c2=254,所以c=52,2c=5.在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.-,得3|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=25,所以SF1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin60°=2534.10.已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(-3,0),并且內(nèi)切于定圓B:(x-3)2+y2=64.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,則|MA|=r,|MB|=8-r,所以|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓,且焦點(diǎn)分別是A(-3,0),B(3,0),且2a=8,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x216+y27=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2015·重慶高二檢測)設(shè)F1,F2是橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|PF2|=21,則PF1F2的面積等于()A.5B.4C.3D.1【解析】選B.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=3,b=2,c=5,所以|PF1|+|PF2|=6.又|PF1|PF2|=21,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以F1PF2為直角三角形,所以SPF1F2=12×2×4=4.2.已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上.若P,F1,F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn)P到x軸的距離為()A.95B.3C.977D.94【解析】選D.由題意,a2=16,b2=9,所以c2=7,c=7.因?yàn)镻F1F2為直角三角形.且b=3>7=c.所以F1或F2為直角三角形的直角頂點(diǎn),所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±7,設(shè)P(±7,|y|),把x=±7代入橢圓方程,知716+y29=1,所以y2=8116,所以|y|=94.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2015·山師附中高二檢測)已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是.【解題指南】解答本題應(yīng)注意,方程表示橢圓,分母應(yīng)取正值,焦點(diǎn)在y軸上,含y2項(xiàng)的分母較大,二者缺一不可.【解析】由題意得m-1>0,2-m>0,2-m>m-1.即m>1,m<2,m<32.所以1<m<32.答案:1<m<324.(2015·長沙高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(-4,0),且sinA+sinBsinC=54,則ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為.【解題指南】應(yīng)用正弦定理及橢圓的定義求解.【解析】由正弦定理,得|BC|+|AC|AB|=54,又|AB|=8,所以|BC|+|AC|=10.由橢圓定義可知,點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A,B為焦點(diǎn)的橢圓.又因?yàn)閍=12×10=5,c=12×8=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C不共線,所以點(diǎn)C的軌跡方程為x225+y29=1(y0).答案:x225+y29=1(y0)【誤區(qū)警示】本題解答常因忽略了隱含條件點(diǎn)A,B,C不共線導(dǎo)致忘記對(duì)x或y加以限制.三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015·安陽高二檢測)已知點(diǎn)P(6,8)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩焦點(diǎn),若PF1·PF2=0.試求(1)橢圓的方程.(2)sinPF1F2的值.【解析】(1)因?yàn)镻F1·PF2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.所以橢圓方程為x2180+y280=1.(2)因?yàn)镻F1PF2,所以SPF1F2=12|PF1|·|PF2|=12|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160,又|PF1|+|PF2|=125,且點(diǎn)P(6,8)在第一象限內(nèi),所以|PF2|=45,所以sinPF1F2=|PF2|F1F2|=4520=55.6.(2015·東莞高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-13.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P,使得PAB與PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得y-1x+1·y+1x-1=-13,化簡得x2+3y2=4(x±1).故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x±1).(2)方法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN),則直線AP的方程為y-1=y0-1x0+1(x+1),直線BP的方程為y+1=y0+1x0-1(x-1),令x=3得yM=4y0+x0-3x0+1,yN=2y0-x0+3x0-1.于是PMN的面積SPMN=12|yM-yN|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=22,點(diǎn)P到直線AB的距離d=|x0+y0|2.于是PAB的面積SPAB=12|AB|·d=|x0+y0|,當(dāng)SPAB=SPMN時(shí),得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又|x0+y0|0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339.故存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為53,±339.方法二:若存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則12|PA|·|PB|sinAPB=12|PM|·|PN|sinMPN.因?yàn)閟inAPB=sinMPN,所以|PA|PM|=|PN|PB|,所以|x0+1|3-x0|=|3-x0|x0-1|,即(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339,故存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為53,±339.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在RtABC中,CAB=90°,AB=2,AC=22,曲線E過C點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng),且保持|PA|+|PB|的值不變,求曲線E的方程.【解析】如圖所示,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系.在RtABC中,BC=AC2+AB2=322,因?yàn)閨PA|+|PB|=|CA|+|CB|=22+322=22.又|PA|+|PB|>|AB|,所以由橢圓定義知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E為橢圓,a=2,c=1,b=1.所以所求的軌跡方程為x22+y2=1.關(guān)閉Word文檔返回原板塊