2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(二)學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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1.5.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步理解并掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.能解決二項(xiàng)式系數(shù)的最大、最小問題.3.會(huì)解決整除問題. 知識(shí)點(diǎn) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 一般地,(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C,C,…,C有如下性質(zhì): (1)C=________. (2)C+C=________. (3)當(dāng)r<時(shí),C<________; 當(dāng)r>時(shí),________<C. (4)C+C+C+…+C=________. 特別提醒:(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)中,以最大;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)中以和(兩者相等)最大. (2)二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和相等,即C+C+C+…=C+C+…=2n-1. 類型一 二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)最大項(xiàng)問題 例1 (1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng). 反思與感悟 (1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)最大;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. (2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況,一般采用列不等式組,解不等式組的方法求得. 跟蹤訓(xùn)練1 在(-)8的展開式中: (1)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)? (2)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); (3)求系數(shù)最大的項(xiàng). 類型二 利用二項(xiàng)式定理解決整除問題 例2 求證:2n+23n+5n-4(n∈N*)能被25整除. 反思與感悟 利用二項(xiàng)式定理證明或判斷整除問題,一般要進(jìn)行合理變形,常用的變形方法就是拆數(shù),往往是將冪底數(shù)寫成兩數(shù)的和,并且其中一個(gè)數(shù)是除數(shù)的因數(shù),這樣能保證被除式展開后的大部分項(xiàng)含有除式的倍數(shù),進(jìn)而可判斷或證明被除數(shù)能否被除數(shù)整除,若不能整除則可求出余數(shù). 跟蹤訓(xùn)練2 求證:5151-1能被7整除. 1.若(x3+)n(n∈N*)的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________. 2.今天是星期一,今天是第1天,那么第810天是星期________. 3.設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a=________. 4.已知n展開式中的第5項(xiàng)是常數(shù),則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第________項(xiàng). 5.已知(a+b)n的二項(xiàng)展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n=________. 1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 2.求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的問題,可設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)Tr+1最大,則滿足不等式由不等式組解出r的值. 3.余數(shù)及整除問題 (1)求余數(shù)問題 求余數(shù)的關(guān)鍵是將原數(shù)進(jìn)行合理、科學(xué)的拆分,然后借助二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析.若最后一項(xiàng)是一個(gè)小于除數(shù)的正數(shù),則該數(shù)就是所求的余數(shù);若是負(fù)數(shù),則還要進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算產(chǎn)生. (2)整除問題 整除問題實(shí)際上就是判斷余數(shù)是否為零,因此求解整除問題可以借助于求余數(shù)問題展開思路. 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn) (1)C (2)C (3)C C (4)2n 題型探究 例1 解 T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,依題意有C25=C26?n=8. ∴(1+2x)8的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C(2x)4=1 120x4. 設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有 解得5≤r≤6. ∴r=5或r=6. ∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1 792x5, T7=1 792x6. 跟蹤訓(xùn)練1 解 Tr+1=C()8-r()r =(-1)rC2r(r=0,1,2,…,8). (1)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大, 則 ∴ 解得5≤r≤6. 又∵0≤r≤8,r∈N,∴r=5或r=6. 故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng). (2)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即第5項(xiàng),T5=C24x-6=1 120x-6. (3)由(1)知,展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大,而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù),第7項(xiàng)的系數(shù)為正, ∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=C26x-11 =1 792x-11. 例2 證明 原式=46n+5n-4 =4(5+1)n+5n-4 =4(C5n+C5n-1+C5n-2+…+C)+5n-4 =4(C5n+C5n-1+…+C52+C51)+4C+5n-4 =4(C5n+C5n-1+…+C52)+20n+4+5n-4 =4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n. 以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍,故2n+23n+5n-4能被25整除. 跟蹤訓(xùn)練2 證明 5151-1=(49+2)51-1 =C4951+C49502+…+C49250+C251-1. 易知除C251-1以外各項(xiàng)都能被7整除. 又C251-1=251-1=(23)17-1 =(7+1)17-1 =C717+C716+…+C7+C-1 =7(C716+C715+…+C), 顯然能被7整除,所以5151-1能被7整除. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.210 2.一 3.12 4.9 5.8- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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