新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題7.6 數(shù)學(xué)歸納法講

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1、 第06節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 五年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測 數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的數(shù)學(xué)命題. 20xx浙江22 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題. 備考重點(diǎn)： 1.數(shù)學(xué)歸納法原理； 2.數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用. 【知識(shí)清單】 數(shù)學(xué)歸納法 1.證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*) 時(shí)命題成立． (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正

2、整數(shù)n都成立． 2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 對點(diǎn)練習(xí) 【浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（n∈N*）．　 （1）求證：12≤an<1； （2）求證：1an-1是等差數(shù)列； （3）設(shè)bn=n(1+a1)(1+a2)…(1+an)，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<9415 ． 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析. 試題解析：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=12，滿足12≤an<1， 假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，12≤an<1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=12-ak ∈[23,1)， 即n

3、=k+1時(shí)，滿足12≤an<1； 所以，當(dāng)n∈N*時(shí)，都有12≤an<1． （2）由an+1=1+anan+12，得an+1=12-an， 所以an+1-1=12-an-1=-1+an2-an， 即1an+1-1=1an-1-1， 即1an+1-1-1an-1=-1， 所以，數(shù)列1an-1是等差數(shù)列． （3）由（2）知，1an-1=-2+(n-1)(-1)=-n-1， ∴an=nn+1， 因此bn+1bn=n+1(1+an+1)n=n2+3n+22n2+3n， 當(dāng)n≥2時(shí)，12n2+18n-(7n2+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0， 即n≥2時(shí)，bn+1bn=

4、n2+3n+22n2+3n≤67， 所以n≥2時(shí)，bn≤67bn-1≤(67)2bn-2≤…≤(67)n-2b2， 顯然bn>0，只需證明n≥3，Sn<9415即可． 當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=b1+b2+b3++bn≤23+b2+67b2+(67)2b2+…+(67)n-2b2 =23+45(1-(67)n-1)1-67 =23+285(1-(67)n-1) <23+285=9415． 【考點(diǎn)深度剖析】 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等．浙江對數(shù)學(xué)歸納法的考查主要是與數(shù)列相結(jié)合. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1利用數(shù)學(xué)歸納法

5、證明等式 【1-1】．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為(　) A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22＋23 【答案】D 【解析】左邊的指數(shù)從0開始，依次加1，直到n＋2，所以當(dāng)n＝1時(shí)，應(yīng)加到23，故選D. 【1-2】觀察下列等式： ； ； ； ； ……… （1）照此規(guī)律，歸納猜想出第個(gè)等式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想. 【答案】（1） （）；（2）見解析. 試題解析： （1）第個(gè)等式為 （）； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，等式顯然成

6、立； ②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，等式成立， 即 則當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，等式成立. 由①②知， （） 【領(lǐng)悟技法】 數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn) (1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少． (2)注意點(diǎn)：由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法． 【觸類旁通】 【變式一】觀察下列等式： ； ； ； ； ， ………… (1)猜想第個(gè)等式； (2

7、)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【答案】(1) .(2)答案見解析. 試題解析： (1) . (2)證明：(i)當(dāng)時(shí)，等式顯然成立. (ii)假設(shè)時(shí)等式成立，即， 即. 那么當(dāng)時(shí)，左邊 ， 右邊. 所以當(dāng)時(shí)，等式也成立. 綜上所述，等式對任意都成立. 【變式二】已知數(shù)列中， ， （Ⅰ）求； （Ⅱ）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【答案】(I）；（II）見解析. 【解析】試題分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟。 試題解析：(1）；

8、 （2）猜想： 證明：①當(dāng)n=1時(shí)， ，猜想成立. ②假設(shè)n=k時(shí)成立，即， 則當(dāng)n=k+1時(shí)，由得 所以n=k+1時(shí)，等式成立. 所以由①②知猜想成立. 考點(diǎn)2 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【2-1】【．用數(shù)學(xué)歸納法證明（， ）成立時(shí)，第二步歸納假設(shè)的正確寫法為（ ）

9、 A. 假設(shè)時(shí)，命題成立 B. 假設(shè)（）時(shí)，命題成立 C. 假設(shè)（）時(shí)，命題成立 D. 假設(shè)（）時(shí)，命題成立 【答案】C 【2-2】【20xx浙江卷22】已知數(shù)列滿足： 證明：當(dāng)時(shí) （I）; （II）； (III) 【答案】（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證； （Ⅲ）由及，遞推可得 那么n=k+1時(shí)，若，則，矛盾，故． 因此． 所以， 因此． （Ⅱ）由得， ． 記函數(shù)， ， 函數(shù)f(x)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以=0，因

10、此 ， 故． （Ⅲ）因?yàn)椋? 所以， 由，得， 所以， 故． 綜上， ． 【領(lǐng)悟技法】 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵 (1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)關(guān)鍵：由n＝k時(shí)命題成立證n＝k＋1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用均值不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化 【觸類旁通】 【變式一】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足Sn=12an2+n2(n∈N*). （Ⅰ）計(jì)算a1,a2,a3的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明

11、你的結(jié)論； （Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{1an2}的前n項(xiàng)和，證明：Tn<4n2n+1. 【答案】(1) an=n（2）見解析 試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12a12+12，得a1=1；a1+a2=S2=12a22+1，得a2=2； a1+a2+a3=S3=12a32+32，得a3=3. 猜想an=n 證明：（?。┊?dāng)n=1時(shí)，顯然成立. （ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k 則當(dāng)n=k+1時(shí)， ak+1=Sk+1-Sk=12ak+12+k+12-(12ak2+k2)=12ak+12+k+12-(12k2+k2) 結(jié)合an>0，解得ak+1=k+1 于是對于一切的自然

12、數(shù)n∈N*，都有an=n （Ⅱ）證法一：因?yàn)?n2<1n2-14=2(12n-1-12n+1)， Tn=112+122+?+1n2<2(1-13+13-15+?+12n-1-12n+1)=2(1-12n+1)=4n2n+1 證法二：數(shù)學(xué)歸納法 證明：（?。┊?dāng)n=1時(shí)，T1=112=1，4×12×1+1=43，1<43 （ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，Tk<4k2k+1 則當(dāng)n=k+1時(shí)，Tk+1=Tk+1(k+1)2<4k2k+1+1(k+1)2 要證：Tk+1<4(k+1)2(k+1)+1只需證：4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1 由于4(k+1)2(k+1)+

13、1-4k2k+1=4(2k+3)(2k+1)=4(2k+2)2-1>1(k+1)2 所以4k2k+1+1(k+1)2<4(k+1)2(k+1)+1 于是對于一切的自然數(shù)n∈N*，都有Tn<4n2n+1. 【變式二】求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*). 【答案】見解析 ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋(＋＋－) ＞＋(＋＋－) ＞＋(3×－)＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式亦成立． ∴原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立. 考點(diǎn)3 歸納、猜想、證明 【3-1】給出下列不等式： 1>12， 1+12+13>1， 1+12+13+14+15+16+17>32， 1+1

14、2+13+??+115>2， 1+12+13+??+131>52，…… （1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【答案】（1）1+12+13+14+??+12n-1>n2n∈N+；（2）詳見解析. 試題解析： （1）觀察不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母的特點(diǎn)： 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1， ……猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母2n-1，對應(yīng)各式右端為n2， 所以，不等式的一般結(jié)論為：1+12+13+14+??+12n-1>n2n∈N+. （2）證明：①當(dāng)n=1,2時(shí)顯然成立； ②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立

15、，即：1+12+13+14+??+12k-1>k2成立 1+12+13+14+??+12k-1+12k+??+12k+1-2+12k+1-1 當(dāng)n=k+1時(shí)，>k2+12k+12k+1+??+12k+1-2+12k+1-1 >k2+2k?12k+1-1=k2+12-12k>k2+12=k+12 即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①②可知對任意n∈N+，結(jié)論都成立. 【3-2】【浙江省嘉興一中、杭州高級(jí)中學(xué)、寧波效實(shí)中學(xué)等五校聯(lián)考】已知數(shù)列中，滿足記為前n項(xiàng)和． （I）證明： ； （Ⅱ）證明： （Ⅲ）證明： . 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析． ，化簡可得。再

16、由數(shù)列的前n項(xiàng)和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得結(jié)論。 試題解析：證明：（I）因 故只需要證明即可 ……………………………………………………3分 下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)， 成立 假設(shè)時(shí)， 成立， 那么當(dāng)時(shí)， ， 所以綜上所述，對任意， …………………………………………6分 （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)， 成立 假設(shè)時(shí)， 那么當(dāng)時(shí)， 所以綜上所述，對任意， …………………………10分 （Ⅲ）得 …12分 故 ……15分 【領(lǐng)悟技法】 (1)“歸納——猜想——證明”的一般步驟 ①計(jì)算(根據(jù)條件，計(jì)算若干項(xiàng))

17、． ②歸納猜想(通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論)． ③證明(用數(shù)學(xué)歸納法證明)． (2)與“歸納——猜想——證明”相關(guān)的常用題型的處理策略 ①與函數(shù)有關(guān)的證明：由已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明． ②與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當(dāng)直接證明遇阻時(shí)，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． 【觸類旁通】 【變式一】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d>0，且a1>0，記Tn=1a1a2+1a2a3+?+1anan+1. （1）用a1,d分別表示T1,T2,T3，并猜想Tn； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【答案】（1）Tn=na1(a

18、1+nd).；（2）見解析. 試題解析：（1）T1＝＝； T2＝＋＝×＝×＝； T3＝＋＋＝×＝×＝ 由此可猜想Tn＝. （2）證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立， 即Tk＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝. 即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②可知，Tn＝對于一切n∈N*恒成立． 【變式二】【浙江省“超級(jí)全能生”3月聯(lián)考來】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足， ． （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ； （2）證明： ； （3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明： ． 【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解

19、析. ，（2）奇數(shù)項(xiàng)隔項(xiàng)遞減，且最大值為，所以研究偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)性：隔項(xiàng)遞增，且最小值為，（同（1）的方法給予證明），最后需證明，根據(jù)歸納可借助第三量，作差給予證明；（3）先探求數(shù)列遞推關(guān)系： ，再利用等比數(shù)列求和公式得. 試題解析：（1）由題知， ， ①當(dāng)時(shí)， ， ， ， 成立； ②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即， 因?yàn)? 所以 即時(shí)也成立， 由①②可知對于，都有成立. （2）由（1）知， ， 所以， 同理由數(shù)學(xué)歸納法可證， . 猜測： ，下證這個(gè)結(jié)論. 因?yàn)椋? 所以與異號(hào).注意到，知， ， 即. 所以有， 從而可知. （3） 所以 所以

20、【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：【山西省孝義市5月模擬】數(shù)列滿足，且. （1）寫出的前3項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 易錯(cuò)分析：對于歸納猜想證明類問題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，確認(rèn)n的初始值n0不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè). 題成立. （2）①當(dāng)時(shí)， 成立； ②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即有， 由，，及， 得，即當(dāng)時(shí)猜想成立， 由①②可知， 對一切正整數(shù)均成立. 溫馨提示：1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1. 2.推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法. 3.解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)，否則將會(huì)做大量無用功.