新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測(cè))： 專題3.1 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義講

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1、 專題3.1 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 了解導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 20xx·文科21；理科22; 1.求切線方程或確定切點(diǎn)坐標(biāo)問題為主； 2.單獨(dú)考查導(dǎo)數(shù)概念的題目極少. 3.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則； (2) 熟練掌握直線的傾斜角、斜率及直線方程的點(diǎn)斜式. 【知識(shí)清單】 1．導(dǎo)數(shù)的概念 1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)

2、，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)． 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 求函數(shù)的在處的導(dǎo)數(shù). 【答案】 2．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【20xx四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍

3、是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 【考點(diǎn)深度剖析】 本節(jié)中導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等是重點(diǎn)知識(shí)，基礎(chǔ)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)的幾何意義為全國(guó)卷高考熱點(diǎn)內(nèi)容，考查題型多為選擇、填空題，也常出現(xiàn)在解答題中前幾問，難度較低．歸納起來(lái)常見的命題探究角度有： (1)求切線方程問題． (2)確定切點(diǎn)坐標(biāo)問題． (3)已知切線問題求參數(shù)． (4)切線的綜合應(yīng)用． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【1-1】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為. （1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+Δt]這段時(shí)間

4、內(nèi)的平均速度； （2）求質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義及求求導(dǎo)兩種方法） 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵ ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2, . （2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度 求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度 ，當(dāng)t=1時(shí)，v=-6×1=-6. 【領(lǐng)悟技法】 1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法： ①求函數(shù)的增量； ②求平均變化率； ③得導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)記作：一差、二比、三極限. 2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值是常數(shù), 【觸類旁通】 【

5、變式一】若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 法二（注重導(dǎo)數(shù)定義中各變量的聯(lián)系的解法）：因?yàn)?，所? （其中：），故選B. 考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【2-1】曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 【解析】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，均不在直線上，故選C． 【2-2】【20xx山西孝義二?！壳€過(guò)點(diǎn)處的切線方程是_____________. 【答案】 【2-3】已知曲線， （1）

6、求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程； （2）求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程； （3）求斜率為4的曲線的切線方程.. 【答案】（1）(2) (3) . 【解析】（1）上，且 ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k==4; ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即 （2）設(shè)曲線與過(guò)點(diǎn)P(2, 4)的切線相切于點(diǎn)A（x0，），則切線的斜率，∴切線方程為（）=（-），即 ∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4=2，即，∴， ∴（x0+1）(x0-2)2=0 解得x0=-1或x0=2 故所求的切線方程為. （3）設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0） 則切線的斜率為k=x02=4

7、, x0=±2.切點(diǎn)為（2，4），（-2，-4/3） ∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即. 【領(lǐng)悟技法】 1.求函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線方程的關(guān)鍵在于確定該點(diǎn)切線處的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，故當(dāng)存在時(shí)，切線方程為. 2.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程，可按如下方式求得： 第一，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率； 第二，在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程；如果曲線在點(diǎn)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線的定義可知，切線的方程為. 【觸類旁通】 【變式一

8、】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 ． 【答案】 【解析】 【變式二】已知函數(shù)，則函數(shù)點(diǎn)P（1，）的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 . 【答案】 【解析】因?yàn)榍芯€斜率所以切線方程為，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為因此圍成的三角形的面積為 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例1：已知曲線． （1）求曲線在處的切線方程； （2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程． 易錯(cuò)分析：易于因?yàn)閷忣}不嚴(yán)或理解有誤，將兩道小題混淆，特別是第（2）小題獨(dú)立出現(xiàn)時(shí)． 正確解析：（1）∵ ， ∴曲線在處的斜率． ∵時(shí)，， ∴曲線在處的切線方程為， 即． 溫馨提醒：(1)對(duì)于曲線切

9、線方程問題的求解，對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，因此求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握．(2)對(duì)于已知的點(diǎn)，應(yīng)首先認(rèn)真審題,對(duì)于確定切線的方程問題，要注意區(qū)分“該曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程”與“該曲線在點(diǎn)P處的切線方程”的兩種情況，避免出錯(cuò).從歷年高考題看，“該曲線在點(diǎn)P處的切線方程”問題的考查較為普遍. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無(wú)限——無(wú)限逼近的極限思想 1.由可以知道，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，函數(shù)的瞬時(shí)變化率是平均變化率的極限，充分說(shuō)明極限是人們從近似中認(rèn)識(shí)精確的數(shù)學(xué)方法.極限的實(shí)質(zhì)就是無(wú)限近似的量，向著有限的目標(biāo)無(wú)限逼近而產(chǎn)生量變導(dǎo)致質(zhì)變的結(jié)果，這是極限的實(shí)質(zhì)與精髓，也是導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. 2.曲線的切線定義，充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化及無(wú)限逼近的思想：“兩個(gè)不同的公共點(diǎn)→兩公共點(diǎn)無(wú)限接近→兩公共點(diǎn)重合(切點(diǎn))”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)． 【典例】己知曲線存在兩條斜率為3的切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】