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新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū):第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題4 突破點(diǎn)9 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

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新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū):第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題4 突破點(diǎn)9 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

新版-新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料-新版 1 1突破點(diǎn)9空間中的平行與垂直關(guān)系(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第32頁(yè)) 核心知識(shí)提煉提煉1 異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是,所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為:找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法;求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解;結(jié)論由所求得的角或其補(bǔ)角即為所求.提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等(2)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行(4)兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法:三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì);線面平行的性質(zhì)定理;面面平行的性質(zhì)定理;線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法:尋找線線平行,利用線面平行的判定定理;尋找面面平行,利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法:線面垂直的定義,需要說(shuō)明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直;線面垂直的判定定理;面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法:定義法,即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角;面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線高考真題回訪回訪1空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1(20xx·浙江高考)已知互相垂直的平面,交于直線l,若直線m,n滿足m,n,則()AmlBmnCnlDmnCl,l.n,nl,故選C.2(20xx·浙江高考)在空間中,過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線,垂足為B,記Bf(A)設(shè),是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn)P,Q1ff(P),Q2ff(P),恒有PQ1PQ2,則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334106】A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為45°C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為60°A設(shè)P1f(P),P2f(P),則PP1,P1Q1,PP2,P2Q2.若,則P1與Q2重合、P2與Q1重合,所以PQ1PQ2,所以與相交設(shè)l,由PP1P2Q2,所以P,P1,P2,Q2四點(diǎn)共面同理P,P1,P2,Q1四點(diǎn)共面所以P,P1,P2,Q1,Q2五點(diǎn)共面,且與的交線l垂直于此平面又因?yàn)镻Q1PQ2,所以Q1,Q2重合且在l上,四邊形PP1Q1P2為矩形那么P1Q1P2為二面角­l­的平面角,所以.3(20xx·浙江高考)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面()A若m,n,則mnB若m,m,則C若mn,m,則nD若m,則mCA項(xiàng),當(dāng)m,n時(shí),m,n可能平行,可能相交,也可能異面,故錯(cuò)誤;B項(xiàng),當(dāng)m,m時(shí),可能平行也可能相交,故錯(cuò)誤;C項(xiàng),當(dāng)mn,m時(shí),n,故正確;D項(xiàng),當(dāng)m,時(shí),m可能與平行,可能在內(nèi),也可能與相交,故錯(cuò)誤故選C.4(20xx·浙江高考)如圖9­1,在三棱錐A­BCD中,ABACBDCD3,ADBC2,點(diǎn)M,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是_圖9­1如圖所示,連接DN,取線段DN的中點(diǎn)K,連接MK,CK.M為AD的中點(diǎn),MKAN,KMC為異面直線AN,CM所成的角ABACBDCD3,ADBC2,N為BC的中點(diǎn),由勾股定理易求得ANDNCM2,MK.在RtCKN中,CK.在CKM中,由余弦定理,得cosKMC.回訪2直線、平面平行的判定與性質(zhì)5(20xx·浙江高考)設(shè),是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l,m.()A若l,則B若,則lmC若l,則D若,則lmAl,l,(面面垂直的判定定理),故A正確6(20xx·浙江高考)如圖9­2,已知四棱錐P­ABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E為PD的中點(diǎn)圖9­2(1)證明:CE平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值解(1)證明:如圖,設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)B.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PD,PA的中點(diǎn),所以EFAD且EFAD.3分又因?yàn)锽CAD,BCAD,所以EFBC且EFBC,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF.因?yàn)锽F平面PAB,CE平面PAB,所以CE平面PAB.7分(2)分別取BC,AD的中點(diǎn)M,N.連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ.因?yàn)镋,F(xiàn),N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF的中點(diǎn).9分在平行四邊形BCEF中,MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,BCAD,BCAD,N是AD的中點(diǎn)得BNAD.所以AD平面PBN.11分由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH,MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.13分設(shè)CD1.在PCD中,由PC2,CD1,PD得CE,在PBN中,由PNBN1,PB得QH,在RtMQH中,QH,MQ,所以sinQMH.所以,直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.15分7(20xx·浙江高考)如圖9­3,在四面體A­BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD2,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ3QC.圖9­3(1)證明:PQ平面BCD;(2)若二面角C­BM­D的大小為60°,求BDC的大小解法一(1)證明:如圖(1),取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF3FC,連接OP,OF,F(xiàn)Q.因?yàn)锳Q3QC,所以QFAD,且QFAD.2分(1)因?yàn)镺,P分別為BD,BM的中點(diǎn),所以O(shè)P是BDM的中位線,所以O(shè)PDM,且OPDM.4分又點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),所以O(shè)PAD,且OPAD.從而OPFQ,且OPFQ,5分所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.6分(2)如圖,作CGBD于點(diǎn)G,作GHBM于點(diǎn)H,連接CH.因?yàn)锳D平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG.8分又CGBD,ADBDD,故CG平面ABD.又BM平面ABD,所以CGBM.又GHBM,CGGHG,故BM平面CGH,所以GHBM,CHBM.所以CHG為二面角C­BM­D的平面角,即CHG60°.10分設(shè)BDC,在RtBCD中,CDBDcos 2cos ,CGCDsin 2cos sin ,BCBDsin 2sin ,BGBCsin 2sin2.12分在BGM中,HG.因?yàn)镃G平面ABD,GH平面ABD,所以CGGH.13分在RtCHG中,tanCHG.所以tan .從而60°.即BDC60°.15分法二(1)證明:如圖(2),取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.2分(2)由題意知A(0,2),B(0,0),D(0,0)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0),因?yàn)?,所以Q.4分因?yàn)辄c(diǎn)M為AD的中點(diǎn),故M(0,1)又點(diǎn)P為BM的中點(diǎn),故P,所以.5分又平面BCD的一個(gè)法向量為a(0,0,1),故·a0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.6分(2)設(shè)m(x,y,z)為平面BMC的一個(gè)法向量由(x0,y0,1),(0,2,1),知8分取y1,得m.10分又平面BDM的一個(gè)法向量為n(1,0,0),于是|cosm,n|,即23.又BCCD,所以·0,12分故(x0,y0,0)·(x0,y0,0)0,即xy2.聯(lián)立,解得(舍去)或13分所以tanBDC.又BDC是銳角,所以BDC60°.15分回訪3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)8(20xx·浙江高考9)如圖9­4,已知正四面體D­ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐),P,Q,R分別為AB,BC,CA上的點(diǎn),APPB,2,分別記二面角D­PR­Q,D­PQ­R,D­QR­P的平面角為,則()圖9­4A<<B<<C<<D<<B如圖,作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O,過(guò)點(diǎn)O分別作PR,PQ,QR的垂線OE,OF,OG,連接DE,DF,DG,則DEO,DFO,DGO.由圖可知它們的對(duì)邊都是DO,只需比較EO,F(xiàn)O,GO的大小即可如圖,在AB邊上取點(diǎn)P,使AP2PB,連接OQ,OR,則O為QRP的中心設(shè)點(diǎn)O到QRP三邊的距離為a,則OGa,OFOQ·sinOQF<OQ·sinOQPa,OEOR·sinORE>OR·sinORPa,OF<OG<OE,<<,<<.故選B.9(20xx·浙江高考)如圖9­5,已知ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將ACD翻折成ACD,所成二面角A­CD­B的平面角為,則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334107】圖9­5AADBBADBCACBDACBBAC和BC都不與CD垂直,ACB,故C,D錯(cuò)誤當(dāng)CACB時(shí),容易證明ADB.不妨取一個(gè)特殊的三角形,如RtABC,令斜邊AB4,AC2,BC2,如圖所示,則CDADBD2,BDH120°,設(shè)沿直線CD將ACD折成ACD,使平面ACD平面BCD,則90°.取CD中點(diǎn)H,連接AH,BH,則AHCD,AH平面BCD,且AH,DH1.在BDH中,由余弦定理可得BH.在RtAHB中,由勾股定理可得AB.在ADB中,AD2BD2AB22<0,可知cosADB<0,ADB為鈍角,故排除A.綜上可知答案為B.10(20xx·浙江高考)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面()A若mn,n,則mB若m,則mC若m,n,n,則mD若mn,n,則mCA中,由mn,n可得m或m與相交或m,錯(cuò)誤;B中,由m,可得m或m與相交或m,錯(cuò)誤;C中,由m,n可得mn,又n,所以m,正確;D中,由mn,n,可得m或m與相交或m,錯(cuò)誤11(20xx·浙江高考)如圖9­6,在四棱錐A­BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDEBED90°,ABCD2,DEBE1,AC.圖9­6(1)證明:AC平面BCDE;(2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值解(1)證明:如圖,連接BD,在直角梯形BCDE中,由DEBE1,CD2,得BDBC. 2分由AC,AB2,得AB2AC2BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,從而AC平面BCDE.5分(2)在直角梯形BCDE中,由BDBC,DC2,得BDBC.6分又平面ABC平面BCDE,所以BD平面ABC.如圖,作EFBD,與CB的延長(zhǎng)線交于F,連接AF,則EF平面ABC.所以EAF是直線AE與平面ABC所成的角.8分在RtBEF中,由EB1,EBF,得EF,BF;在RtACF中,由AC,CF,得AF.11分在RtAEF中,由EF,AF,得tan EAF.所以,直線AE與平面ABC所成的角的正切值是.15分 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第35頁(yè))熱點(diǎn)題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析:空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式,此類(lèi)題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查,同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.【例1】(1),是兩平面,AB,CD是兩條線段,已知EF,AB于點(diǎn)B,CD于點(diǎn)D,若增加一個(gè)條件,就能得出BDEF.現(xiàn)有下列條件:AC;AC與,所成的角相等;AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上;ACEF.其中能成為增加條件的序號(hào)是_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334108】若AC,且EF,則ACEF,又AB,且EF,則ABEF,AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF平面ACDB,則EFBD,可以成為增加的條件;AC與,所成的角相等,AC和EF不一定垂直,可以相交、平行,所以EF與平面ACDB不一定垂直,所以推不出EF與BD垂直,不能成為增加的條件;由CD,EF,得EFCD,所以EF與CD在內(nèi)的射影垂直,又AC與CD在內(nèi)的射影在同一直線上,所以EFAC,CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF平面ACDB,則EFBD,可以成為增加的條件;若ACEF,則AC,則BDAC,所以BDEF,不能成為增加的條件,故能成為增加條件的序號(hào)是.(2)如圖9­7,已知正三棱錐P­ABC的側(cè)面是直角三角形,PA6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.圖9­7證明:G是AB的中點(diǎn);在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積解題指導(dǎo)(2)解證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.1分因?yàn)镻DDED,所以AB平面PED,故ABPG.2分又由已知可得,PAPB,所以G是AB的中點(diǎn).3分在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.又PAPCP,因此EF平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心由知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CDCG.8分由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PEPG,DEPC.10分由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6,可得DE2,PE2.在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2,12分所以四面體PDEF的體積V××2×2×2.15分方法指津在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),我們可以從線、面的概念、定理出發(fā),學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型.判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn),我們可以依據(jù)定義來(lái)判定,也可以依據(jù)定理(過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線)判定.而反證法是證明兩直線異面的有效方法.提醒:判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi),而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行.此類(lèi)問(wèn)題可以結(jié)合長(zhǎng)方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例. 變式訓(xùn)練1(1)(20xx·杭州高級(jí)中學(xué)高三最后一模10)如圖9­8,在棱長(zhǎng)為1的正四面體D­ABC中,O為ABC的中心,過(guò)點(diǎn)O作直線分別與線段AC,BC交于M,N(可以是線段的端點(diǎn)),連接DM,點(diǎn)P為DM的中點(diǎn),則以下說(shuō)法正確的是()圖9­8A存在某一位置,使得NP平面DACBSDMN的最大值為Ctan2DMNtan2DNM的最小值為12D.的取值范圍是D由題可得,選項(xiàng)A中,當(dāng)線段MN變化時(shí),存在MN,DN,PNAD,但此時(shí)PN與平面所成角的余弦值為,PN不與平面DAC垂直,所以排除A;易知|DO|,SDMN|MN|·|DO|MN×,所以排除B;選項(xiàng)C中,tan2DMNtan2DNM|OD|2·,且|OM|·|ON|,所以tan2DMNtan2DNM,所以排除C;選項(xiàng)D,因?yàn)镾ABC,SMNC,又因?yàn)镾四邊形MNBASABCSMNC,所以,故選D.(2)如圖9­9,四棱錐P­ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M為線段AD上一點(diǎn),AM2MD,N為PC的中點(diǎn)證明MN平面PAB;求四面體N­BCM的體積圖9­9解證明:由已知得AMAD2.如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN綊AM,2分所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.4分因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由ABAC3得AEBC,AE.6分由AMBC得M到BC的距離為,故SBCM×4×2.12分所以四面體N­BCM的體積VN­BCM×SBCM×.15分熱點(diǎn)題型2平面圖形的翻折問(wèn)題題型分析:(1)解決翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.(2)找出其中變化的量和沒(méi)有變化的量,一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【例2】如圖9­10,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖9­10(1)證明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱錐D­ABCFE的體積解(1)證明:由已知得ACBD,ADCD.1分又由AECF得,故ACEF.2分由此得EFHD,故EFHD,所以ACHD.3分(2)由EFAC得.4分由AB5,AC6得DOBO4.所以O(shè)H1,DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH.6分由(1)知ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面BHD,于是ACOD.8分又由ODOH,ACOHO,所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.10分五邊形ABCFE的面積S×6×8××3.13分所以五棱錐D­ABCFE的體積V××2.15分方法指津翻折問(wèn)題的注意事項(xiàng)1畫(huà)好兩圖:翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系:即比較翻折前后的圖形,準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系,哪些平行與垂直的關(guān)系不變,哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化,這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準(zhǔn)確定量:即根據(jù)平面圖形翻折的要求,把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征,這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2已知長(zhǎng)方形ABCD中,AD,AB2,E為AB的中點(diǎn)將ADE沿DE折起到PDE,得到四棱錐P­BCDE,如圖9­11所示圖9­11(1)若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),求證:BM平面PDE;(2)當(dāng)平面PDE平面BCDE時(shí),求四棱錐P­BCDE的體積;(3)求證:DEPC. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334109】解(1)證明:取DP中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)M.因?yàn)樵赑DC中,點(diǎn)F,M分別是所在邊的中點(diǎn),所以FM綊DC.1分又EB綊DC,所以FM綊EB,2分所以四邊形FEBM是平行四邊形,所以BMEF.3分又EF平面PDE,BM平面PDE.所以BM平面PDE.4分(2)因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDE,在PDE中,作PODE于點(diǎn)O,因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDEDE,所以PO平面BCDE.6分在PDE中,計(jì)算可得PO,7分所以V四棱錐P­BCDESh×(12)××.8分(3)證明:在矩形ABCD中,連接AC交DE于點(diǎn)I,因?yàn)閠anDEA,tanCAB,所以DEACAB,所以DEAC,9分所以在四棱錐P­BCDE中,PIDE,CIDE,11分又PICII,所以DE平面PIC.14分因?yàn)镻C平面PIC,所以DEPC.15分精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料

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