2019年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 6.3 圓錐曲線的綜合問題練習(xí).doc
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6.3 圓錐曲線的綜合問題 【課時(shí)作業(yè)】 A級(jí) 1．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且|MF|＝2|NF|，則直線l的斜率為( ) A． B．2 C． D． 解析： 依題意得F(1,0)．設(shè)直線MN的方程為x＝my＋1.由消去x并整理，得y2－4my－4＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4①.因?yàn)閨MF|＝2|NF|，所以y1＝－2y2②.聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝，所以直線l的斜率是2.故選B. 答案： B 2．(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝( ) A. B．3 C．2 D．4 解析： 由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x. 設(shè)兩漸近線夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30. 所以∠MON＝2α＝60. 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝. 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|tan 2α＝tan 60＝3. 故選B. 答案： B 3．(2018益陽(yáng)市，湘潭市調(diào)研試卷)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，則拋物線C2的方程為________________． 解析： 由題意，知圓C1與拋物線C2的其中一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨記為B，設(shè)A(m，n)．∵|AB|＝， ∴∴即A.將A的坐標(biāo)代入拋物線方程得2＝2p，∴p＝，∴拋物線C2的方程為y2＝x. 答案： y2＝x 4．已知點(diǎn)A在橢圓＋＝1上，點(diǎn)P滿足＝(λ－1)(λ∈R)(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，且＝72，則線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為________． 解析： 因?yàn)椋?λ－1)， 所以＝λ，即O，A，P三點(diǎn)共線，因?yàn)椋?2， 所以＝λ||2＝72， 設(shè)A(x，y)，OA與x軸正方向的夾角為θ，線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度為|||cos θ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15， 當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝時(shí)取等號(hào)． 答案： 15 5．已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝且與雙曲線C2：－＝1有共同焦點(diǎn)． (1)求橢圓C1的方程； (2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點(diǎn)作C1的切線l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值． 解析： (1)由e＝，可得：＝， 即＝，所以＝，a2＝4b2，① 又因?yàn)閏2＝2b2＋1，即a2－b2＝2b2＋1，② 聯(lián)立①②解得：a2＝4，b2＝1， 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)閘與橢圓C1相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)， 所以直線l的斜率必存在且為負(fù)， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k<0)， 聯(lián)立消去y整理可得： x2＋2kmx＋m2－1＝0，③ 依題意可得方程③只有一實(shí)根， 所以Δ＝(2km)2－4(m2－1)＝0， 整理可得：m2＝4k2＋1，?、? 因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，(0，m)且k<0，所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S＝，⑤ 把④代入⑤可得：S＝(－2k)＋≥2. 即三角形面積最小值為2. 6．(2018北京卷)已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N. (1)求直線l的斜率的取值范圍； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，＝λ，＝μ，求證：＋為定值． 解析： (1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)(1,2)， 所以2p＝4，即p＝2. 故拋物線C的方程為y2＝4x. 由題意知，直線l的斜率存在且不為0. 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)， 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 依題意Δ＝(2k－4)2－4k21>0， 解得k<0或0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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