2020高考數(shù)學刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點測試30 等比數(shù)列 文（含解析）.docx

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考點測試30　等比數(shù)列 高考概覽 本考點是高考必考知識點，常考題型為選擇題、填空題和解答題，分值5分、12分，中、低等難度 　考綱研讀 1．理解等比數(shù)列的概念 2．掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題 4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系 一、基礎小題 1．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a4＝8，則a5＝(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 答案　A 解析　由a4＝a1q3，則q＝2，所以a5＝a4q＝16．故選A． 2．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 答案　B 解析　因為a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝52＝25．故選B． 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a2a6＝9a4，a2＝1，則a1的值為(　　) A．3 B．－3 C．－ D． 答案　D 解析　設數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝9a4，得a2a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍去)，所以a1＝＝．故選D． 4．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝a3n－1＋b，則＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　∵等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝a3n－1＋b， ∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比數(shù)列{an}中，a＝a1a3，∴(2a)2＝(a＋b)6a，解得＝－3．故選A． 5．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　由anan＋1＝aq＝16n>0知q>0，又＝q2＝＝16，所以q＝4．故選B． 6．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝(　　) A．2 B． C． D．1或2 答案　B 解析　設S2＝k，則S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故選B． 7．設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，則a3a6a9…a30＝(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 答案　B 解析　因為a1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230．所以a2a5a8…a29＝210．則a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210210＝220，故選B． 8．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)(n≥2，n∈N*)，則這個數(shù)列的前4項和S4＝________． 答案　27 解析　由已知n≥2時，an＝2Sn－1，an＋1＝2Sn，∴an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，∴an＝ ∴S4＝1＋2＋6＋18＝27． 二、高考小題 9．(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　　) A．f B．f C．f D．f 答案　D 解析　由題意知，十三個單音的頻率構成首項為f，公比為的等比數(shù)列，設該等比數(shù)列為{an}，則a8＝a1q7，即a8＝f，故選D． 10．(2018浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln (a1＋a2＋a3)．若a1>1，則(　　) A．a1a3，a2a4 D．a1>a3，a2>a4 答案　B 解析　設f(x)＝ln x－x(x>0)，則f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0，得01，∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f(x)≤f(1)＝－1，即有l(wèi)n x≤x－1．從而a1＋a2＋a3＋a4＝ln (a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，∴a4<0，又a1>1，∴公比q<0．若q＝－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝0，ln (a1＋a2＋a3)＝ln a1>0，矛盾．若q<－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)<0，而a2＋a3＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)>0，∴l(xiāng)n (a1＋a2＋a3)>ln a1>0，也矛盾．∴－10，∴a1>a3．同理，∵＝q2<1，a2<0，∴a4>a2．故選B． 11．(2017全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 答案　B 解析　由題意可知，由上到下燈的盞數(shù)a1，a2，a3，…，a7構成以2為公比的等比數(shù)列，∴S7＝＝381，∴a1＝3．故選B． 12．(2017北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________． 答案　1 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．∵a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，∴ ∴∴a2＝2，b2＝2．∴＝＝1． 13．(2017江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn．已知S3＝，S6＝，則a8＝________． 答案　32 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q． 當q＝1時，S3＝3a1，S6＝6a1＝2S3，不符合題意， ∴q≠1，由題設可得 解得∴a8＝a1q7＝27＝32． 14．(2016全國卷Ⅰ)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 答案　64 解析　設{an}的公比為q， 于是a1(1＋q2)＝10，① a1(q＋q3)＝5，② 聯(lián)立①②得a1＝8，q＝， ∴an＝24－n，∴a1a2…an＝23＋2＋1＋…＋(4－n)＝2－n2＋n＝2－2＋≤26＝64，∴a1a2…an的最大值為64． 三、模擬小題 15．(2018呼和浩特調研)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0，且a5a7＝4a，a2＝1，則a1＝(　　) A． B． C． D．2 答案　B 解析　因為{an}是等比數(shù)列，所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0，所以q＝，a1＝＝，故選B． 16．(2018安徽皖江名校聯(lián)考)已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a2a4＝16，S3＝7，則a8＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 答案　C 解析　∵a2a4＝a＝16，∴a3＝4(負值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128．故選C． 17．(2018長沙統(tǒng)考)設首項為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列結論正確的是(　　) A．Sn＝4－3an B．Sn＝3－2an C．Sn＝3an－2 D．Sn＝2an－1 答案　B 解析　由題意，an＝n－1，Sn＝＝31－n＝3－2n－1，所以Sn＝3－2an，故選B． 18．(2018唐山期末)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和，若{Sn＋λ}為等比數(shù)列，則λ＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　B 解析　由a1＝1，an＋1＝2an，得a2＝2，a3＝4，所以S1＝a1＝1，S2＝S1＋a2＝3，S3＝S2＋a3＝7．而{Sn＋λ}為等比數(shù)列，所以(3＋λ)2＝(1＋λ)(7＋λ)，解得λ＝1．故選B． 19．(2019陜西西安市八校聯(lián)考)設公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________． 答案　或－1 解析　∵公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，∴S4－S2＝a4＋a3＝3a4－3a2，即2q2－q－3＝0，∴q＝或－1． 20．(2018烏魯木齊一診)設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則以S1，S3，S4為前三項的等差數(shù)列的第8項與第4項之比為________． 答案　 解析　設正項等比數(shù)列{an}的公比為q．當q＝1時，S1＝a1，S3＝3a1，S4＝4a1．顯然不符合題意，所以q≠1．因為S1，S3，S4為等差數(shù)列的前三項，所以S4－S3＝S3－S1，即a4＝a3＋a2，得a2q2＝a2q＋a2，所以q2＝q＋1，解得q＝(負值舍去)．所以該等差數(shù)列的第8項與第4項之比為＝＝＝＝＝＝． 一、高考大題 1．(2018全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設bn＝． (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式． 解　(1)由條件可得an＋1＝an． 將n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4． 將n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12． 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4． (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由題設條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n2n－1． 2．(2018全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3． (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m． 解　(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1． 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2． 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1． (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝． 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1． 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6． 綜上，m＝6． 3．(2017全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2． (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式； (2)若T3＝21，求S3． 解　設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1． 由a2＋b2＝2得d＋q＝3．① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6．② 聯(lián)立①和②解得(舍去)或 因此{bn}的通項公式為bn＝2n－1． (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0． 解得q＝－5或q＝4． 當q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21． 當q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6． 二、模擬大題 4．(2018陜西質檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－3． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項公式． 解　(1)證明：當n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1＝1． 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1， 又a1＝1≠0，∴{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． (2)∵an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得 bn＋1－bn＝n－1． 當n≥2時，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3n－1－1， 當n＝1時，上式也成立，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3n－1－1． 5．(2018湖北八校第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an． (1)求證：{an＋1－2an}是等比數(shù)列； (2)求{an}的通項公式． 解　(1)證明：由an＋2＝4an＋1－4an得an＋2－2an＋1 ＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1) ＝…＝2n(a2－2a1)≠0， ∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比數(shù)列． (2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n， ∴－＝， ∴是首項為，公差為的等差數(shù)列， ∴＝，則an＝n2n－1． 6．(2019江西南昌調研)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*． (1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn； (2)求T2n． 解　(1)∵anan＋1＝n， ∴an＋1an＋2＝n＋1． ∴＝，即an＋2＝an． ∵bn＝a2n＋a2n－1， ∴＝＝＝． ∴{bn}是公比為的等比數(shù)列． ∵a1＝1，a1a2＝， ∴a2＝?b1＝a1＋a2＝． ∴bn＝n－1＝． (2)由(1)可知an＋2＝an， ∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項，以為公比的等比數(shù)列． ∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－．