(通用版)2019版高考數(shù)學二輪復習 專題跟蹤檢測(十八)坐標系與參數(shù)方程 理(重點生含解析)(選修4-4).doc
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專題跟蹤檢測(十八) 坐標系與參數(shù)方程 1.(2018全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點. (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解:(1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1. 當α=時,l與⊙O交于兩點. 當α≠時,記tan α=k,則l的方程為y=kx-. l與⊙O交于兩點需滿足<1, 解得k<-1或k>1, 即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),<α<).設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP, 則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又點P的坐標(x,y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù),<α<). 2.(2018開封模擬)在直角坐標系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C2:(x-2)2+y2=4,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1,C2的極坐標方程和交點A的坐標(非坐標原點); (2)若直線C3的極坐標方程為θ=(ρ∈R),設C2與C3的交點為B(非坐標原點),求△OAB的最大面積. 解:(1)由(t為參數(shù)),得曲線C1的普通方程為y=xtan α,故曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R).將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-2)2+y2=4,得C2的極坐標方程為ρ=4cos θ.故交點A的坐標為(4cos α,α)(也可寫出直角坐標). (2)由題意知,點B的極坐標為. ∴S△OAB== , 當sin=-1時,(S△OAB)max=2+2, 故△OAB的最大面積是2+2. 3.(2018遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,θ∈. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)在曲線C上求一點D,使它到直線l:(t為參數(shù))的距離最短,寫出D點的直角坐標. 解:(1)由ρ=2sin θ,可得ρ2=2ρsin θ, ∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2y=0. (2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去t得l的普通方程為x+y-5=0, 由(1)得曲線C的圓心為(0,1),半徑為1, 又點(0,1)到直線l的距離為=2>1, 所以曲線C與l相離. 因為點D在曲線C上, 所以可設D(cos α,1+sin α),則點D到直線l的距離d==, 當sin=1時,點D到直線l的距離d最短,此時α=,故點D的直角坐標為. 4.(2019屆高三昆明調研)在平面直角坐標系xOy中,已知傾斜角為α的直線l過點A(2,1).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,直線l與曲線C分別交于P,Q兩點. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若|PQ|2=|AP||AQ|,求直線l的斜率k. 解:(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得t2+(4cos α)t+3=0, 由Δ=(4cos α)2-43>0,得cos2α>, 則t1+t2=-4cos α,t1t2=3, 由參數(shù)的幾何意義知, |AP|=|t1|,|AQ|=|t2|, |PQ|=|t1-t2|, 由題意知,(t1-t2)2=t1t2, 則(t1+t2)2=5t1t2,得(-4cos α)2=53, 解得cos2α=,滿足cos2α>, 所以sin2α=,tan2α=, 所以直線l的斜率k=tan α=. 5.已知曲線C:(α為參數(shù))和定點A(0,),F(xiàn)1,F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點,以坐標原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線AF2的極坐標方程; (2)經過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M,N兩點,求||MF1|-|NF1||的值. 解:(1)曲線C:可化為+=1, 故曲線C為橢圓,則焦點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 所以經過點A(0,)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x+=1,即x+y-=0, 所以直線AF2的極坐標方程為ρcos θ+ρsin θ=. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因為l⊥AF2,所以直線l的斜率為,即傾斜角為30, 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入橢圓C的方程中,得13t2-12t-36=0. 則t1+t2=. 因為點M,N在點F1的兩側, 所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=. 6.(2018濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sin θ(ρ≥0,0≤θ<π). (1)寫出曲線C1的極坐標方程,并求C1與C2交點的極坐標; (2)射線θ=β與曲線C1,C2分別交于點A,B(A,B異于原點),求的取值范圍. 解:(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2+(y-2)2=4, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲線C1的極坐標方程為ρ=4sin θ, 聯(lián)立得4sin θcos2θ=sin θ,此時0≤θ<π, ①當sin θ=0時,θ=0,ρ=0,得交點的極坐標為(0,0); ②當sin θ≠0時,cos2θ=,得cos θ=, 當cos θ=時,θ=,ρ=2,得交點的極坐標為, 當cos θ=-時,θ=,ρ=2,得交點的極坐標為, ∴C1與C2交點的極坐標為(0,0),,. (2)將θ=β代入C1的極坐標方程中,得ρ1=4sin β, 代入C2的極坐標方程中,得ρ2=, ∴==4cos2β. ∵≤β≤,∴1≤4cos2β≤3, ∴的取值范圍為[1,3]. 7.(2018福州模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C:(α為參數(shù),t>0).在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l:ρcos=. (1)若l與曲線C沒有公共點,求t的取值范圍; (2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為+,求t的值. 解:(1)因為直線l的極坐標方程為ρcos=,即ρcos θ+ρsin θ=2, 所以直線l的直角坐標方程為x+y=2. 因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),t>0), 所以曲線C的普通方程為+y2=1(t>0), 由消去x,得(1+t2)y2-4y+4-t2=0, 所以Δ=16-4(1+t2)(4-t2)<0, 又t>0,所以0<t<, 故t的取值范圍為(0,). (2)由(1)知直線l的直角坐標方程為x+y-2=0, 故曲線C上的點(tcos α,sin α)到l的距離 d=, 故d的最大值為, 由題設得=+, 解得t=. 又t>0,所以t=. 8.(2019屆高三成都診斷)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A,且點A的極坐標為(2,θ),其中θ∈. (1)求θ的值; (2)若射線OA與直線l相交于點B,求|AB|的值. 解:(1)由題意知,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4, ∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴曲線C的極坐標方程為(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4, 即ρ=4sin θ. 由ρ=2,得sin θ=, ∵θ∈,∴θ=. (2)易知直線l的普通方程為x+y-4=0, ∴直線l的極坐標方程為ρcos θ+ρsin θ-4=0. 又射線OA的極坐標方程為θ=(ρ≥0), 聯(lián)立解得ρ=4. ∴點B的極坐標為, ∴|AB|=|ρB-ρA|=4-2=2.- 配套講稿:
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