《新版高三理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)二輪習(xí)題：專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 專題能力訓(xùn)練7 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高三理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)二輪習(xí)題：專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 專題能力訓(xùn)練7 Word版含答案（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
專題能力訓(xùn)練7 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值
能力突破訓(xùn)練
1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'12=0,則a=( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
2.(20xx浙江,7)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )
3、
3.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是 ( )
A.f1k<1k
B.f1k>1k-1
C.f1k-1<1k-1
D.f1k-1>kk-1
4.已知常數(shù)a,b,c都是實(shí)數(shù),f(x)=ax3+bx2+cx-34的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)≤0的解集為{x|-2≤x≤3}.若f(x)的極小值等于-115,則a的值是( )
A.-8122 B.13
C.2 D.5
5.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b= .?
6.在曲線y=
4、x3+3x2+6x-1的切線中,斜率最小的切線方程為 .?
7.設(shè)函數(shù)f(x)=aex+1aex+b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;
(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=32x,求a,b的值.
8.設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
9.設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)
5、間;
(2)證明:f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行,且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:m≤3a-2e-1.
10.已知函數(shù)f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的
6、最小值.
思維提升訓(xùn)練
11.(20xx陜西咸陽(yáng)二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)任意x∈R滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是( )
A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)
7、當(dāng)x>0時(shí),若f(x)>kx+1恒成立,求整數(shù)k的最大值.
14.已知函數(shù)f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整數(shù)a的最小值;
(3)若a=-2,正實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求證:x1+x2≥5-12.
15.(20xx山東,理20)已知函數(shù)f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)
8、,其中e≈2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程.
(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.
參考答案
專題能力訓(xùn)練7 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值
能力突破訓(xùn)練
1.D 解析因?yàn)閒'(x)=af'(1)+1x,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a≠1,則f'(1)=11-a,所以f'(x)=a1-a+1x.又因?yàn)閒'12=0,所以a1-a+2=0,解得a=2.故選D.
2.D 解析設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的三個(gè)零
9、點(diǎn)分別為x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函數(shù),
所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為D,故選D.
3.C 解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx,
則F'(x)=f'(x)-k>0,
∴函數(shù)F(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù).
∵1k-1>0,∴F1k-1>F(0).
∵F(0)=f(0)=-1,∴f1k-1-kk-1>-1,
即f1k-1>kk-1-1=1k-1,∴f1k-1>1k-1,故C錯(cuò)誤.
4.C 解析依題意得f'(x
10、)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b3a,-2×3=c3a,則b=-3a2,c=-18a.
函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,
則-812a=-81,解得a=2.故選C.
5.1-ln 2 解析對(duì)函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo),得y'=1x,對(duì)函數(shù)y=ln(x+1)求導(dǎo),得y'=1x+1.設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(diǎn)P1(x1,y1),與曲線y=ln(x+1)相切于點(diǎn)P2(x2,y2),則y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由點(diǎn)P1(x1,y1)在切線上,得y-(lnx1+
11、2)=1x1(x-x1),由點(diǎn)P2(x2,y2)在切線上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因?yàn)檫@兩條直線表示同一條直線,
所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,
所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.
6.3x-y-2=0 解析y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.當(dāng)x=-1時(shí),y'min=3;當(dāng)x=-1時(shí),y=-5.
故切線方程為y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.
7.解(1)f'(x)=aex-1aex.
當(dāng)f'(x)>0,即x>-lna時(shí),f(x)在區(qū)間(-lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞
12、增;
當(dāng)f'(x)<0,即x<-lna時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-lna)內(nèi)單調(diào)遞減.
①當(dāng)00,f(x)在區(qū)間(0,-lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,從而f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最小值為f(-lna)=2+b;
②當(dāng)a≥1時(shí),-lna≤0,f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
從而f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最小值為f(0)=a+1a+b.
(2)依題意f'(2)=ae2-1ae2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).
所以a=2e2,代入原函數(shù)可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.
8.解(
13、1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx,
所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.
依題設(shè),f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)與1-x+ex-1同號(hào).
令g(x)=1-x+ex-1,則g'(x)=-1+ex-1.
所以,當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
故g(1)=1
14、是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值,
從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
綜上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
9.解(1)由題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=(1+x2)'ex+(1+x2)(ex)'=(1+x)2ex≥0,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)∵a>1,∴f(0)=1-a<0,且f(a)=(1+a2)ea-a>1+a2-a>2a-a=a>0.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上存在零點(diǎn).
又由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴函
15、數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn).
(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1.
又f(-1)=2e-a,即P-1,2e-a,
∴kOP=2e-a-0-1-0=a-2e.
又f'(m)=(1+m)2em,∴(1+m)2em=a-2e.
令g(m)=em-m-1,則g'(m)=em-1,
∴由g'(m)>0,得m>0,由g'(m)<0,得m<0.
∴函數(shù)g(m)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
∴g(m)min=g(0)=0,即g(m)≥0在R上恒成立,
即em≥m+1.
∴a-2e=(1+m)2em≥(1+m)2(1+m)=(1+
16、m)3,即3a-2e≥1+m.故m≤3a-2e-1.
10.解(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
由f'(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).
(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在
17、區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f(-2)<0,f(-1)>0,f(0)<0,解得0
18、+2)知,當(dāng)t∈[-3,-2]時(shí),f(t)≤f(t+3),則m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因?yàn)閒(t)在區(qū)間[-3,-2]上單調(diào)遞增,所以f(t)≤f(-2)=-53.故g(t)在區(qū)間[-3,-2]上的最小值為g(-2)=-13--53=43.
②當(dāng)t∈[-2,-1]時(shí),t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].
下面比較f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,-1],[1,2]上單調(diào)遞增,
所以f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).
因?yàn)閒(1)=f(-2)=-53,f(-1)=f
19、(2)=-13,
從而M(t)=f(-1)=-13,m(t)=f(1)=-53.所以g(t)=M(t)-m(t)=43.
綜上,函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值為43.
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11.A 解析利用單調(diào)性解抽象不等式時(shí),關(guān)鍵要注意結(jié)論與已知條件的聯(lián)系,通過(guò)構(gòu)造合適的函數(shù)來(lái)求解.
令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,
所以g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故選A.
12.(-∞,-2) 解析若g(x)=f(x)ex,
則g'(x)=f'(x)-f(x)ex>0,
所以g(x)在R上為
20、增函數(shù).
又不等式em2f(m+1)0,∴f'(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)
21、間為(-1,0),(0,+∞).
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>kx+1恒成立,
則k<(x+1)f(x).
令g(x)=(x+1)f(x)=(x+1)[1+ln(x+1)]x,則g'(x)=(x-1)-ln(x+1)x2.
令φ(x)=1-x+ln(x+1)(x>0)?φ'(x)=-xx+1<0,所以φ(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
又φ(2)=ln3-1>0,φ(3)=2ln2-2<0,
則存在實(shí)數(shù)t∈(2,3),使φ(t)=0?t=1+ln(t+1).
所以g(x)在區(qū)間(0,t)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(t,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以g(x)min=g(t)=(t+1)[1
22、+ln(t+1)]t=t+1∈(3,4),故kmax=3.
14.解(1)因?yàn)閒(1)=1-a2=0,所以a=2.
此時(shí)f(x)=lnx-x2+x,x>0.
則f'(x)=1x-2x+1=-2x2+x+1x(x>0).
令f'(x)<0,則2x2-x-1>0.
又x>0,所以x>1.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax2+(1-a)x+1,則g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1-a)x+1x.
當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤>0,所以g'(x)>0.
所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
23、又g(1)=ln1-12a×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以關(guān)于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.
當(dāng)a>0時(shí),g'(x)=-ax2+(1-a)x+1x=-ax-1a(x+1)x(x>0),
令g'(x)=0,得x=1a.
所以當(dāng)x∈0,1a時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈1a,+∞時(shí),g'(x)<0,
因此函數(shù)g(x)在x∈0,1a內(nèi)是增函數(shù),在x∈1a,+∞內(nèi)是減函數(shù).
故函數(shù)g(x)的最大值為g1a=ln1a-12a×1a2+(1-a)×1a+1=12a-lna.
令h(a)=12a-lna,
因?yàn)閔(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又h(a)在a∈
24、(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),且a為整數(shù),
所以當(dāng)a≥2時(shí),h(a)<0.
所以整數(shù)a的最小值為2.
(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax2+x≤ax-1在(0,+∞)內(nèi)恒成立,
問(wèn)題等價(jià)于a≥lnx+x+112x2+x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.
令g(x)=lnx+x+112x2+x,
因?yàn)間'(x)=(x+1)-12x-lnx12x2+x2,
令g'(x)=0,得-12x-lnx=0.
設(shè)h(x)=-12x-lnx,
因?yàn)閔'(x)=-12-1x<0,所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,
不妨設(shè)-12x-lnx=0的根為x0.
當(dāng)x∈(0,x0)
25、時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)內(nèi)是增函數(shù);在x∈(x0,+∞)內(nèi)是減函數(shù).所以g(x)max=g(x0)=lnx0+x0+112x02+x0=1+12x0x01+12x0=1x0.
因?yàn)閔12=ln2-14>0,h(1)=-12<0,
所以120.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
得lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0,
從而(
26、x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).
令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-lnt,則φ'(t)=t-1t.
可知,φ(t)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x2≥5-12或x1+x2≤-5-12(舍去).
15.解(1)由題意f(π)=π2-2,
又f'(x)=2x-2sinx,所以f'(π)=2π,
因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程為y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.
(2)由題意得h(x)=ex(cos
27、x-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),
因?yàn)閔'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)
=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)
=2(ex-a)(x-sinx),
令m(x)=x-sinx,則m'(x)=1-cosx≥0,
所以m(x)在R上單調(diào)遞增.
因?yàn)閙(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí),m(x)>0;
當(dāng)x<0時(shí),m(x)<0.
①當(dāng)a≤0時(shí),ex-a>0,當(dāng)x<0時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=0時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h
28、(0)=-2a-1;
②當(dāng)a>0時(shí),h'(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h'(x)=0得x1=lna,x2=0.
(ⅰ)當(dāng)00,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(lna,0)時(shí),ex-elna>0,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=lna時(shí)h(x)取到極大值.
極大值為h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2],
當(dāng)x=0時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h(0)=-
29、2a-1;
(ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),lna=0,所以當(dāng)x∈(-∞,+∞)時(shí),h'(x)≥0,函數(shù)h(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值;
(ⅲ)當(dāng)a>1時(shí),lna>0,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),ex-elna<0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),ex-elna<0,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=0時(shí)h(x)取到極大值,極大值是h(0)=-2a-1;
當(dāng)x=lna時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(ln
30、a)+2].
綜上所述:
當(dāng)a≤0時(shí),h(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)h(x)有極小值,極小值是h(0)=-2a-1;
當(dāng)01時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間(-∞,0)和(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,lna)上單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)有極大值,也有極小值,極大值是h(0)=-2a-1,極小值是h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
新版高三理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)二輪習(xí)題：專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 專題能力訓(xùn)練7 Word版含答案
