高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 集合教案 蘇教版

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1、考綱導(dǎo)讀 集合 （一）集合的含義與表示 1．了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系. 2．能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。 （二）集合間的基本關(guān)系 1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集. 2．在具體情境中，了解全集與空集的含義. （三）集合的基本運(yùn)算 1．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集。 2．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集. 3．能使用韋恩圖（Venn）表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算。 無限集 知識網(wǎng)絡(luò) 有限集 分類 集合的概念 空集

2、 確定性 元素的性質(zhì) 集合 互異性 列舉法 無序性 集合的表示法 描述法 真子集 子集 包含關(guān)系 相 等 交集 集合運(yùn)算 集合與集合的關(guān)系 并集 高考導(dǎo)航 補(bǔ)集 根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預(yù)測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點(diǎn)有以下兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查

3、學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn). 第1課時(shí) 集合的概念 基礎(chǔ)過關(guān) 一、集合 1．集合是一個(gè)不能定義的原始概念，描述性定義為：某些指定的對象 就成為一個(gè)集合，簡稱 ．集合中的每一個(gè)對象叫做這個(gè)集合的 ． 2．集合中的元素屬性具有： (1) 確定性； (2) ； (3) ． 3．集合的表示法常用的有 、 和韋恩圖法三種，有限集常用 ，無限集常用 ，圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系．

4、 二、元素與集合的關(guān)系 4．元素與集合是屬于和 的從屬關(guān)系，若a是集合A的元素，記作 ，若a不是集合B的元素，記作 ．但是要注意元素與集合是相對而言的． 三、集合與集合的關(guān)系 5．集合與集合的關(guān)系用符號 表示． 6．子集：若集合A中 都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），記作 ． 7．相等：若集合A中 都是集合B的元素，同時(shí)集合B中 都是集合A的元素，就說集合A等于集合B，記作 ．

5、 8．真子集：如果 就說集合A是集合B的真子集，記作 ． 9．若集合A含有n個(gè)元素，則A的子集有 個(gè)，真子集有 個(gè)，非空真子集有 個(gè)． 10．空集是一個(gè)特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解題時(shí)不可忽視． 典型例題 例1. 已知集合，試求集合的所有子集. 解：由題意可知是的正約數(shù)，所以 可以是；相應(yīng)的為 ，即. ∴的所有子集為. 變式訓(xùn)練1.若a,bR,集合求b-a的值. 解：由可知a≠0，

6、則只能a+b=0，則有以下對應(yīng)關(guān)系： ①或 ② 由①得符合題意；②無解.所以b-a=2. 例2. 設(shè)集合，，，求實(shí)數(shù)a的值. 解：此時(shí)只可能，易得或。 當(dāng)時(shí)，符合題意。 當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去。 故。 變式訓(xùn)練2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？ （2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。 解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1} 得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值為0或－或2. （2）B＝，即m＋1>2m－1,m<

7、2 ∴A成立. ??? B≠，由題意得得2≤m≤3 ∴m<2或2≤m≤3 即m≤3為取值范圍. 注：（1）特殊集合作用，常易漏掉 例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}. （1）若A是空集，求m的取值范圍； （2）若A中只有一個(gè)元素，求m的值； （3）若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍. 解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集. (1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0無解. ∴Δ=4-12m<0,即m>. （2）∵A中只有一個(gè)元素， ∴方程mx2-2x+3=0只有一個(gè)解. 若m=0，方程為

8、-2x+3=0，只有一解x=; 若m≠0，則Δ=0，即4-12m=0,m=. ∴m=0或m=. (3)A中至多只有一個(gè)元素包含A中只有一個(gè)元素和A是空集兩種含義，根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果， 得m=0或m≥. 變式訓(xùn)練3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求實(shí)數(shù)a的值； （2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值. 解：（1）由題意知： a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1， ∴a=-1或-2或0，根據(jù)元素的互異性排除-1，-2,∴a=0即為所求. （2）由題意知,或或或 根據(jù)元素的

9、互異性得或即為所求. 例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，試求實(shí)數(shù)的值． 解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A， 則＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0， ∴a＝－1或a＝1或a＝2． 當(dāng)a＝－1時(shí)，B＝{1，0，5，2，4}，與A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1． 當(dāng)a＝1時(shí)，B＝{1，2，1，5，12}，與集合中元素互異性矛盾，∴a≠1． 當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{1，3，2，5，25}，滿足A∩B＝{2，5}．故所求a的值為2． 變式訓(xùn)練4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q

10、的值 解：∵A＝B ∴(Ⅰ)或 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－． 當(dāng)q＝1時(shí)，B中的元素與集合元素的互異性矛盾， ∴q＝－ 歸納小結(jié) 小結(jié)歸納 1．本節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，對集合的認(rèn)識，關(guān)鍵在于化簡給定的集合，確定集合的元素，并真正認(rèn)識集合中元素的屬性，特別要注意代表元素的形式，不要將點(diǎn)集和數(shù)集混淆． 2．利用相等集合的定義解題時(shí)，特別要注意集合中元素的互異性，對計(jì)算的結(jié)果要加以檢驗(yàn)． 3．注意空集φ的特殊性，在解題時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮到集合為空集的可能性． 4．要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，如化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論

11、、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用． 第2課時(shí) 集合的運(yùn)算 基礎(chǔ)過關(guān) 一、集合的運(yùn)算 1．交集：由 的元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝ ． 2．并集：由 的元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝ ． 3．補(bǔ)集：集合A是集合S的子集，由 的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集，記作，即＝ ． 二、集合的常用運(yùn)算性質(zhì) 1．A∩A＝ ，A∩＝ ，A∩B=

12、 ，B∩A，A∪A＝ ， A∪＝ ，A∪B＝B∪A 2．＝ ，＝ ， ． 3． ， ， 4．A∪B＝A A∩B＝A 典型例題 例1. 設(shè)全集，方程有實(shí)數(shù)根，方程 有實(shí)數(shù)根，求. 解：當(dāng)時(shí)，，即； 當(dāng)時(shí)，即，且 ∴， ∴ 而對于，即，∴. ∴ 變式訓(xùn)練1.已知集合A=B= （1）當(dāng)m=3時(shí)，求； （2）若AB，求實(shí)數(shù)m的值. 解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=. （1）當(dāng)m

13、=3時(shí)，B=，則=， ∴=. (2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此時(shí)B=,符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8. 例2. 已知,或. (1)若,求的取值范圍; (2) 若,求的取值范圍. 解:(1), ∴，解之得. (2) , ∴. ∴或， 或 ∴若,則的取值范圍是；若,則的取值范圍是. 變式訓(xùn)練2：設(shè)集合A=B （1）若AB求實(shí)數(shù)a的值； （2）若AB=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若U=R，A（）=A.求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= （1）∵AB∴2B，代入B中的方程， 得a2+4a+3=0

14、,∴a=-1或a=-3; 當(dāng)a=-1時(shí)，B=滿足條件； 當(dāng)a=-3時(shí)，B=滿足條件； 綜上，a的值為-1或-3. （2）對于集合B， =4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3). ∵AB=A，∴BA, ①當(dāng)＜0,即a＜-3時(shí)，B=，滿足條件； ②當(dāng)=0，即a=-3時(shí)，B，滿足條件； ③當(dāng)＞0，即a＞-3時(shí)，B=A=才能滿足條件， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 即矛盾； 綜上，a的取值范圍是a≤-3. （3）∵A（）=A，∴A，∴A ①若B=，則＜0適合； ②若B≠，則a=-3時(shí)，B=，AB=，不合題意； a＞-3，此時(shí)需1B且2B，將2代入B的方程得

15、a=-1或a=-3（舍去）； 將1代入B的方程得a2+2a-2=0 ∴a≠-1且a≠-3且a≠-1 綜上，a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+. 例3. 已知集合A=B，試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由. 解:方法一 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件AB=則有 （1）當(dāng)A≠時(shí)，由AB=，B，知集合A中的元素為非正數(shù)， 設(shè)方程x2+(2+a)x+1=0的兩根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 （2）當(dāng)A=時(shí)，則有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0. 綜上（1）、（2），知存在

16、滿足條件AB=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）. 方法二 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件AB≠，則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實(shí)數(shù)根x1，x2至少有一個(gè)為正， 因?yàn)閤1·x2=1＞0，所以兩根x1,x2均為正數(shù). 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得 又∵集合的補(bǔ)集為 ∴存在滿足條件AB=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）. 變式訓(xùn)練3.設(shè)集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，問是否存在非零整數(shù)a,使A∩B≠？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由. 解：假設(shè)A∩B≠，則方程組 有正整數(shù)解，消去y,得ax2-(a+

17、2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a為非零整數(shù)，∴a=±1， 當(dāng)a=-1時(shí)，代入（*），解得x=0或x=-1, 而x∈N*.故a≠-1.當(dāng)a=1時(shí)，代入（*）, 解得x=1或x=2，符合題意.故存在a=1,使得A∩B≠, 此時(shí)A∩B={（1，1），（2，3）}. 小結(jié)歸納 例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在實(shí)數(shù)a，使得AB＝?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由． 解：1

18、定義域,集合為函數(shù)的值域,集合為不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范圍． 解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以 歸納小結(jié) （2）a的范圍為<0 1．在解決有關(guān)集合運(yùn)算題目時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題目中符號語言的含義，善于轉(zhuǎn)化為文字語言． 2．集合的運(yùn)算可以用韋恩圖幫助思考，實(shí)數(shù)集合的交、并運(yùn)算可在數(shù)軸上表示，注意在運(yùn)算中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想． 3．對于給出集合是否為空集，集合中的元素個(gè)數(shù)是否確定，都是常見的討論點(diǎn)，解題時(shí)要有分類討論的意識. 集合單元測試題 一、選擇題 1．設(shè)全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=

19、0}，則下圖中陰影表示的集合為（ ） A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 2．當(dāng)xR，下列四個(gè)集合中是空集的是（ ） A. {x|x2-3x+2=0} B. {x|x2＜x} C. {x|x2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=} 3．設(shè)集合，集合，若, 則等于（ ） A. B. C. D. 4．設(shè)集合，，則下列關(guān)系中正

20、確的是（ ） A． B． C． D． 5．設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為M-P={x|xM且xp},則M-（M-P）等于（ ） A. P B. MP C. MP D. M 6．已知, 若, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 7.集合M＝{x｜x＝sin，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （ ） A． B． C．{0} D． 8.

21、已知集合M＝{x｜}，N＝{x│}，則 （ ） A．M＝N B．M N C．M N D．MN＝φ 9． 設(shè)全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，則滿足的所有集合B的個(gè)數(shù)有 （ ） A．1個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．8個(gè) 10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝，則實(shí)數(shù)b應(yīng)滿足的條件是 （ ） A．︱b︱≥ B．0＜b＜ C．－3≤b≤ D．b＞或b＜－3 二、填空題 11．設(shè)集合,,且，則實(shí)數(shù)的取

22、值范圍是 . 12．設(shè)全集U=R，A=， 則右圖中陰影部分表示的集合為 . 13．已知集合A=，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是 . 14．若集合，，則等于 . 15．滿足的集合A的個(gè)數(shù)是_______個(gè). 16．已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)镼. （1）若，則實(shí)數(shù)a的值為 ； （2）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 三、解答題 17．已知函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B （1）求集合A、B （2）若A∪B=B,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

23、 18．設(shè)，集合，； 若，求的值. 19．設(shè)集合，. (1)當(dāng)時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)； (2)若B=，求m的取值范圍； (3)若，求m的取值范圍. 20. 對于函數(shù)f(x)，若f(x)＝x，則稱x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即}，. (1) 求證：AB (2) 若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 單元測試參考答案 一、選擇題 1．答案：A 2．答案：C 3．答案：A 4．提示：，

24、.答案： D 5．答案：B 6．答案：B 7. 由與的終邊位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故選C. 11．提示:, ∴,答案： 12．答案：，圖中陰影部分表示的集合為, 13．答案：15 14. 答案： 15. 答案：7 16. 答案：； 17. 解：（1）A＝………… B＝…………… （2）由AB＝B得AB，因此…………… 所以,所以實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是…………… 18. 解：，由， 當(dāng)時(shí)，，符合； 當(dāng)時(shí)，，而，∴，即 ∴或. 19. 解：化簡集合A=，集合B可寫為 (1),即A中含有8個(gè)元素，A的非空真子集數(shù)為 （個(gè)）

25、. (1)顯然只有當(dāng)m-1=2m+1即m=--2時(shí)，B=. (2)當(dāng)B=即m=-2時(shí)，； 當(dāng)B即時(shí) （ⅰ）當(dāng)m<-2 時(shí)，B=(2m-1,m+1),要 只要，所以m的值不存在； （ⅱ）當(dāng)m>-2 時(shí),B=（m-1,2m+1）,要 只要. 綜合，知m的取值范圍是：m=-2或 20.證明(1).若A＝，則AB 顯然成立； 若A≠，設(shè)t∈A，則f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，從而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的實(shí)根. 由 A≠，知 a＝0 或 即 B中元素是方程 即 的實(shí)根 由AB，知上方程左邊含有一個(gè)因式，即方程可化為 因此，要A＝B，即要方程 ① 要么沒有實(shí)根，要么實(shí)根是方程 ②的根. 若①?zèng)]有實(shí)根，則，由此解得 若①有實(shí)根且①的實(shí)根是②的實(shí)根，則由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0. 由此解得，再代入②得 由此解得 . 故 a的取值范圍是