2019-2020年新人教A版高中數(shù)學(xué)(選修2-1)2.1《曲線與方程》word教案4篇.doc
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2019-2020年新人教A版高中數(shù)學(xué)(選修2-1)2.1《曲線與方程》word教案4篇 一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 1. 使學(xué)生了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念,從而為求已知曲線的方程奠定理論基礎(chǔ)。 2. 在領(lǐng)會(huì)曲線和方程概念的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力,同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。 3. 了解用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的初步知識(shí)和觀點(diǎn);初步掌握求曲線的方程的方法。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn): 重點(diǎn):理解曲線的方程與方程的曲線的概念、求曲線的方程。 難點(diǎn):對(duì)求曲線方程的一般步驟的掌握。 三、考點(diǎn)分析: 本講內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)并學(xué)好圓錐曲線與方程的關(guān)鍵性內(nèi)容,也是最重要的內(nèi)容。我們首先應(yīng)理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念,在高考中一般以小題的形式考查。其次就是會(huì)求曲線的方程,這部分內(nèi)容一般以大題的形式考查。要注重對(duì)通性通法的求解和運(yùn)用。 1. 曲線的方程和方程的曲線的概念: 我們把滿足下面兩個(gè)條件: (1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上的方程叫做曲線的方程,則該曲線,叫做方程的曲線。 2. 求曲線(圖形)的方程,一般有下面幾個(gè)步驟: (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}; (3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0; (4)將方程f(x,y)=0化為最簡(jiǎn)形式; (5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)。(查漏除雜). 3. 求曲線方程的常用方法: (1)直接法:如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,且這些條件簡(jiǎn)單明確,易于表述成含有x,y的等式,就得到軌跡方程,這種方法稱為直接法。用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn),列式,化簡(jiǎn),證明五個(gè)步驟,最后的證明可以省略,但要注意“挖”與“補(bǔ)”。 (2)定義法:運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義),可從曲線的定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程,或從曲線的定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出軌跡方程。 (3)代入法:若動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出,但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q()的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定的或容易求得的,則可先將表示為x,y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得出P的軌跡方程。代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。 (4)參數(shù)法:若求軌跡方程的過(guò)程中很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系時(shí),則可借助中間變量(參數(shù)),使x,y之間建立起聯(lián)系,然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 (5)交軌法:求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù)(求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法),也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)得到軌跡方程。交軌法可以說(shuō)是參數(shù)法的一種變形。 4. 軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,軌跡是指曲線,軌跡方程是指曲線的方程.求軌跡方程的本質(zhì),就是在給定的坐標(biāo)系中,求軌跡上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系. 知識(shí)點(diǎn)一 曲線與方程的概念的運(yùn)用 例1. 下列方程中哪一個(gè)表示的是如下圖所示的直線l,為什么? (1)x-y=0 (2)-=0 (3)x2-y2=0 (4)|x|-y=0 思路分析: 1)題意分析:本題考查對(duì)曲線與方程的概念的準(zhǔn)確理解。 2)解題思路:先看圖,分析其表示的解析式,然后對(duì)已知的4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)分析。 解答過(guò)程:方程(1)是表示直線l的方程,而(2)(3)(4)都不是表示直線l的方程。 (2)中直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不全是方程的解,如(-1,-1)等,即不符合“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論。 (3)中雖然“直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”,但以方程x2-y2=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在直線l上,如點(diǎn)(2,-2)等,即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上”這一結(jié)論。 (4)中依照(2)(3)的分析方式得出不符合“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論,比如點(diǎn)(-1,1)。 解題后的思考:理解曲線的方程和方程的曲線的概念,并能對(duì)題目作出正確的判定。 判定時(shí)必須要同時(shí)滿足(1)直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。(2)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。 例2. (1)判斷點(diǎn)M1(3,-4),M2(-2,2)是否在方程x2+y2=25所表示的曲線上。 (2)用曲線方程的定義說(shuō)明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25。 思路分析: 1)題意分析:本題考查點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系,以及利用定義求解曲線方程。 2)解題思路:第(1)問(wèn)先把點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的表達(dá)式中,滿足方程則在曲線上,否則不在曲線上。第(2)問(wèn)利用圓的定義,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)求解,并進(jìn)行說(shuō)明。 解答過(guò)程: 解析:(1)把點(diǎn)M1(3,-4),M2(-2,2)分別代入到方程中,可知前者滿足方程,后者不滿足。(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為r=5,圓上的任意一點(diǎn)P(x,y),結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,我們得到圓上的點(diǎn)滿足的方程。 解題后的思考:運(yùn)用定義找關(guān)系式,進(jìn)而求解方程。 例3. 證明與兩條坐標(biāo)軸的距離之積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是。 思路分析: 1)題意分析:本題考查對(duì)曲線方程的概念的理解和運(yùn)用。 2)解題思路:先結(jié)合已知條件求解方程,然后運(yùn)用定義證明。 解答過(guò)程: 證明:(1)設(shè)M(x0,y0)是軌跡上的任意一點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)M與軸的距離為,與軸的距離為,所以 即是方程的解。 (2)設(shè)的坐標(biāo)是方程的解,那么即,而正是點(diǎn)到軸,軸的距離,因此點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù),點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)。 由(1)(2)可知,是與兩條坐標(biāo)軸的距離之積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程。 解題后的思考:注意要從兩個(gè)方面來(lái)證明曲線的方程的概念的運(yùn)用。 例4. 指出下列方程表示的曲線分別是什么? (1)x-2=0 (2)(2x+3y-5)( (3)(3x-4y-12)[ (4) 思路分析: 1)題意分析:本題考查如何理解方程表示的曲線。 2)解題思路:根據(jù)曲線方程的定義進(jìn)行分析時(shí),要保證所求得曲線的純粹性和完備性。 解答過(guò)程:(1)表示的曲線為過(guò)(2,0)且平行于y軸的直線; (2)因?yàn)? 故方程表示的曲線為一條射線和一條直線x=4。 (3)因?yàn)椋?x-4y-12)[ 故方程表示的曲線為一條射線(除去端點(diǎn))和一條直線x+2y=8。 (4)因?yàn)? 則方程表示的圖形為一個(gè)點(diǎn)(1,-1) 解題后的思考:我們所說(shuō)的曲線是指廣義的曲線,它可以是一般的曲線,也可以是直線、線段,甚至是一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于表達(dá)式要通過(guò)合理的變形化簡(jiǎn)得到。 知識(shí)點(diǎn)二:求曲線的方程 例5. 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 (-1,-1)、(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程. 思路分析: 1)題意分析:本題考查如何求解曲線方程。 2)解題思路:首先分析由于求解的是直線方程,所以應(yīng)利用直線方程的求解方法得到。其次,我們可以直接運(yùn)用求曲線方程的一般步驟進(jìn)行求解。 解答過(guò)程:解法一:∵,∴所求直線的斜率k=-0.5 又∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是,即(1,3) ∴線段AB的垂直平分線的方程為.即x+2y-7=0 解法二::若沒(méi)有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?──需要掌握一般性的方法 解:設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn),則|MA|=|MB| ∴ ∴(Ⅰ) (1)由以上過(guò)程可知,垂直平分線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解; (2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程(Ⅰ)的解,即 ∵以上變形過(guò)程步步可逆, ∴ 綜上所述,線段AB的垂直平分線的方程是。 解題后的思考:第一種解法運(yùn)用了現(xiàn)成的結(jié)論,解題時(shí)比較容易,但它需要你對(duì)所研究的曲線有一定的了解;第二種解法雖然有些走彎路,但這種解法具有一般性。 例6. 已知點(diǎn)M與軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,4)的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程。 思路分析: 1)題意分析:本題考查在坐標(biāo)系中求解點(diǎn)的軌跡方程。 2)解題思路:根據(jù)已知的坐標(biāo)系,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式,我們可通過(guò)點(diǎn)M滿足的關(guān)系式來(lái)求解。 解答過(guò)程:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)∵點(diǎn)M與軸的距離為, ∴=∴ ∴就是所求的軌跡方程。 解題后的思考:注意對(duì)于用坐標(biāo)表示的距離,解題時(shí)一定要加上絕對(duì)值,確保不漏掉解。 例7. 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 思路分析: 1)題意分析:本題以直線與圓的位置關(guān)系為背景,研究相交弦的中點(diǎn)的軌跡方程的求解。 2)解題思路:先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用中點(diǎn)公式和圓的方程,,我們得到所求點(diǎn)與弦端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式,從而求其軌跡方程;或者直接設(shè)直線方程,引入?yún)?shù)K,然后消去參數(shù)求軌跡方程。 解答過(guò)程:解法一:設(shè)M,A,B 且 由①-②得 ∵即(易知) ∴ ∴化簡(jiǎn)得 ∴所求軌跡方程為 (在已知圓內(nèi)部一段弧所對(duì)應(yīng)的方程) 解法二:設(shè)M,A,B 則設(shè)直線l的方程為 由方程組 消去y得 ∴ 消去參數(shù)得 解題后的思考:相關(guān)點(diǎn)法:若動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出,但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x’,y’)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定的或容易求得的,則可先將x’,y’表示為x,y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得P的軌跡方程。相關(guān)點(diǎn)法也稱代入法。簡(jiǎn)單地說(shuō):利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程,由此即可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)之間的坐標(biāo)。 例8. 已知一條直線和它上方的一個(gè)點(diǎn)F,點(diǎn)F到的距離是2。一條曲線也在直線的上方,它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到直線的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求這條曲線的方程。 思路分析: 1)題意分析:本題考查建立合理直角坐標(biāo)系來(lái)求解方程 2)解題思路:先分析已知條件,建立合適的坐標(biāo)系,然后建系,設(shè)點(diǎn),找關(guān)系式,進(jìn)行化簡(jiǎn)和求解。 解答過(guò)程:設(shè)直線l為x軸,過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標(biāo)系xOy,設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn),MB⊥x軸,垂足是B,那么,把M點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得:,平方得:,化簡(jiǎn)得:。因?yàn)榍€在x軸的上方,所以y>0, 所以曲線的方程是 解題后的思考:遇到?jīng)]有直角坐標(biāo)系的曲線方程的求解,我們要學(xué)會(huì)合理的建系,讓盡可能多的點(diǎn)、線落在坐標(biāo)系上。 小結(jié):本講中的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是高考??嫉膬?nèi)容,出現(xiàn)的題型也是常見(jiàn)的題型。需要我們能夠很好的理解,做到舉一反三。其中的軌跡問(wèn)題,是高考中的一個(gè)熱點(diǎn),也是所占分值比較大的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),我們應(yīng)該對(duì)其多加練習(xí)。 本節(jié)內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)好圓錐曲線方程的基礎(chǔ)性一節(jié),我們要理解概念,并能利用直接法和定義法、相關(guān)點(diǎn)法求解一些曲線的軌跡方程,使我們?cè)诰毩?xí)的過(guò)程中熟練地掌握技巧。另外,求軌跡方程在高考中是考查的熱點(diǎn),也是必考知識(shí)點(diǎn),我們要熟悉其求解的方法,以及求解的步驟。 一、預(yù)習(xí)新知 同學(xué)們,請(qǐng)問(wèn)我們生活中橢圓形的物體有哪些?請(qǐng)舉例。那么我們?nèi)绾萎?huà)出這個(gè)完美的圖形呢? 二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥 探究與反思: 探究任務(wù)一: 橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程 【反思】 (1)橢圓的定義是什么? (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么? 探究任務(wù)二:橢圓的幾何性質(zhì) 【反思】 (1)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)有哪些? (2)如何運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)的橢圓的有關(guān)方程求解? 探究任務(wù)三:直線與橢圓的位置關(guān)系 【反思】 (1)直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些? (2)相交時(shí),相交弦的公式是什么?如何解決有關(guān)相交時(shí)的問(wèn)題呢? (答題時(shí)間:45分鐘) 一、選擇題 1. 若曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,則下列說(shuō)法正確的是( ) A. 曲線的方程是 B. 方程的曲線是 C. 坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上 D. 坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上 2. 方程表示的圖形是 ( ) A. 兩條平行直線 B. 兩條相交直線 C. 有公共端點(diǎn)的兩條射線 D. 一個(gè)點(diǎn) 3. “點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程”的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 4. 若直線與的交點(diǎn)在曲線上,則的值是( ) A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 以上都不對(duì) 二、填空題 5. 求方程的曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的充要條件是 。 6. 已知:,點(diǎn)在曲線上,則的值是 ; 7. 方程表示的圖形是 。 8. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為_(kāi)___________________。 三、解答題 9. 已知線段AB,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0),A點(diǎn)在曲線y=x2+3上運(yùn)動(dòng),求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 10. 已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),求使∠MBA=2∠MAB的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。 1. C 分析:利用逆否命題我們可以判定選項(xiàng)C是已知的逆否命題,真值相同。 2. B 分析:去掉絕對(duì)值符號(hào),我們可以得到,顯然是表示兩條直線。 3. B 分析:由已知條件不一定可以推出結(jié)論,但是由結(jié)論可以推出條件,因此選B 4. C 分析:聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)為(-4k,-3k),代入到圓的方程中,就可以求得k的值。 5. c=0 分析:首先曲線過(guò)點(diǎn)(0,0),得到c=0,反之,當(dāng)c=0時(shí),曲線也過(guò)原點(diǎn)。 6. , 分析:把點(diǎn)P代入得到三角函數(shù)的關(guān)系式,就可以求得,從而求解。 7. 表示4個(gè)點(diǎn)。 分析:由于平方和為0,故同時(shí)為零。 8. 分析:研究曲線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題,我們?cè)O(shè)直線上任意一點(diǎn)P,以及相應(yīng)的對(duì)稱后的點(diǎn)P1,然后利用垂直的關(guān)系式和中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,我們得到坐標(biāo)關(guān)系式,就可以求出已知曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與未知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式,點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng),我們由此得到答案。 9. 解:設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),又設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),則 點(diǎn)A(x1,y1)在曲線y=x2+3上,則將y1=x12+3代入,得:2y=(2x-6)2+3 整理,得AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為 10. 解:設(shè)點(diǎn)M(x,y) (1)如果∠MBA=,則∠MAB=,從而△ABM為等腰直角三角形可得M(2,3)與(2,-3) (2)如果∠MBA≠,設(shè)點(diǎn)M在x軸或x軸上方則由 整理得 ① 當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方,同樣可得到① 若y=0,由于只有在x∈(-1,2)時(shí),∠MBA=∠MAB=0符合題意,所以軌跡方程為y=0(-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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