新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

1 1突破點(diǎn)10空間中的平行與垂直關(guān)系核心知識(shí)提煉提煉1 異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為：找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法；求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；結(jié)論由所求得的角或其補(bǔ)角即為所求.提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等(2)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行(4)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法：三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法：尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法：線面垂直的定義，需要說(shuō)明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；線面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法：定義法，即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角；面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線高考真題回訪回訪1異面直線所成的角1(20xx·全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()AA項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A.2(20xx·全國(guó)卷)平面過(guò)正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.BC. D.A設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.回訪2線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷3(20xx·全國(guó)卷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示由圖可知與相交，且交線平行于l，故選D.4(20xx·全國(guó)卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))對(duì)于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤對(duì)于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對(duì)于，因?yàn)椋?，沒(méi)有公共點(diǎn)又m，所以m，沒(méi)有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m，故正確對(duì)于，因?yàn)閙n，所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)?，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確熱點(diǎn)題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想【例1】(1)(20xx·全國(guó)卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC法一：如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯(cuò)；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯(cuò)故選C.法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，·0，·0，·0，·0，A1EBC1.故選C.(2)(20xx·全國(guó)卷)如圖10­1，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.證明：平面PAB平面PAD；若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐P­ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積圖10­1解證明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD1分由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.3分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD4分如圖，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，則PEAD.由知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD6分設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐P­ABCD的體積VP­ABCDAB·AD·PEx3.由題設(shè)得x3，故x28分從而結(jié)合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC210分可得四棱錐P­ABCD的側(cè)面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°6212分方法指津在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn)，我們可以依據(jù)定義來(lái)判定，也可以依據(jù)定理(過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行此類問(wèn)題可以結(jié)合長(zhǎng)方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例變式訓(xùn)練1 (1)(20xx·石家莊二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，則m，m；若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024094】A0B1C2D3B若m，n，則m，n可能平行或異面，錯(cuò)誤；若，則，又m，則m，正確；若n，mn，則m或m或m或m，錯(cuò)誤；若，則，可能平行或相交，錯(cuò)誤，故選B.(2)(20xx·全國(guó)卷)如圖10­2，四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°.圖10­2證明：直線BC平面PAD；若PCD的面積為2，求四棱錐P­ABCD的體積解證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90°，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2，所以×x×x2.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐P­ABCD的體積V××24.熱點(diǎn)題型2平面圖形的翻折問(wèn)題題型分析：(1)解決翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況(2)找出其中變化的量和沒(méi)有變化的量，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化【例2】(20xx·全國(guó)卷)如圖10­3，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖10­3(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐D­ABCFE的體積解 (1)證明：由已知得ACBD，ADCD1分又由AECF得，故ACEF2分由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.3分(2)由EFAC得4分由AB5，AC6得DOBO4.所以O(shè)H1，DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH6分由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD8分又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF10分五邊形ABCFE的面積S×6×8××3.11分所以五棱錐D­ABCFE的體積V××212分方法指津翻折問(wèn)題的注意事項(xiàng)1畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2如圖10­4，高為1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，連接AB，AC.(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD平面MPC，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024095】圖10­4解 (1)當(dāng)APAB時(shí)，有AD平面MPC.理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP2分在梯形MBCD中，DCMB，.在ADB中，ADPN4分AD平面MPC，PN平面MPC，AD平面MPC6分(2)平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，由題易知，在AMD中，AMDM，AM平面MBCD，又P為AB中點(diǎn)，VP­MBC×SMBC×××2×1×.9分在MPC中，MPAB，MC，PC，SMPC××.11分點(diǎn)B到平面MPC的距離為12分