新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

1 1第3節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 課時訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識點、方法題號二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域2、5線性目標(biāo)函數(shù)的最值1、3、4、6、8、13非線性目標(biāo)函數(shù)的最值11、15線性規(guī)劃的應(yīng)用9、10、16含參數(shù)的線性規(guī)劃問題7、12、14A組一、選擇題1.(20xx青島市高三模擬)如果實數(shù)x、y滿足條件x-y+10,y+10,x+y+10,那么目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為(B)(A)2(B)1(C)-2(D)-3解析: 做出滿足條件的可行域如圖所示,由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過點D(0,-1)時,直線y=2x-z的截距最小,此時z最大,此時z=2×0-(-1)=1,所以最大值為1,故選B.2.(20xx山東省泰安市高三模擬)不等式組y-x+2,yx-1,y0所表示的平面區(qū)域的面積為(D)(A)1(B)12(C)13(D)14解析: 做出不等式組對應(yīng)的區(qū)域為BCD.由題意知xB=1,xC=2.由y=-x+2,y=x-1,得yD=12,所以SBCD=12×(xC-xB)×12=14.故選D.3.(高考福建卷)若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件x+y-30,x-2y-30,xm,則實數(shù)m的最大值為(B)(A)-1(B)1(C)32(D)2解析:約束條件x+y-30,x-2y-30,xm表示的可行域如圖陰影部分所示.當(dāng)直線x=m從如圖所示的實線位置運動到過A點的位置時,m取最大值.解方程組x+y-3=0,y=2x得A點坐標(biāo)為(1,2),m的最大值為1,故選B.4.(20xx華南師大附中高三綜合測試)若x,y滿足約束條件x+y0,x2+y21,則2x+y的取值范圍是(D)(A)22,5 (B)-22,22(C)-5,5(D)-22,5解析:不等式組表示的可行域如圖陰影部分,令z=2x+y,由圖知當(dāng)直線z=2x+y過點A時有最小值.當(dāng)直線與圓x2+y2=1相切且切點在第一象限時,z有最大值.由x+y=0,x2+y2=1得A（-22,22）,zmin=-22,若直線z=2x+y與圓相切,則|z|5=1,|z|=5,即zmax=5.故選D.5.(20xx汕頭模擬)若不等式組x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是(D)(A)a43 (B)0<a1(C)1a43(D)0<a1或a43解析:如圖所示,直線x+y=0從原點向右移動,移動到(1,0)時,再往右移,不等式組所表示的平面區(qū)域就不能構(gòu)成三角形了;又從點A23,23向右移動時,不等式組所表示的平面區(qū)域為整個陰影部分的三角形.0<a1或a43.故選D.6.(20xx德州市高三模擬)已知變量x、y滿足2x-y0,x-2y+30,x0,則z=log2(2x+y+4)的最大值為(D)(A)1(B)32(C)2(D)3解析:設(shè)t=2x+y,則y=-2x+t.做出不等式組對應(yīng)的可行域如圖陰影部分.當(dāng)直線y=-2x+t經(jīng)過點C時,直線y=-2x+t的截距最大,此時t最大,對應(yīng)的z也最大,由2x-y=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2.即C(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值為log2(4+4)=log28=3.故選D.二、填空題7.(20xx河北省重點中學(xué)聯(lián)合考試)設(shè)z=2x+y,其中x,y滿足x+y0,x-y0,0yk,若z的最大值為6,則z的最小值為. 解析: 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,當(dāng)直線z=2x+y過點A(k,k)時,z取最大值,則zmax=3k=6,解得k=2,易知當(dāng)直線z=2x+y過點B(-k,k)時,z取最小值,則zmin=-2.答案:-28.(20xx濟南高三模擬)已知x和y是實數(shù),且滿足約束條件x+y10,x-y2,2x7,則z=2x+3y的最小值是. 解析: 做出不等式對應(yīng)的可行域如圖所示,由z=2x+3y得y=-23x+z3,做直線y=-23x,平移直線y=-23x,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過C點時,直線y=-23x+z3的截距最小,此時z最小,又C（72,32）,代入目標(biāo)函數(shù)得z=2x+3y=2×72+3×32=232.答案:2329.(20xx廣東高三綜合測試)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,點集M=(x,y)|f(x)+f(y)2,N=(x,y)|f(x)-f(y)0,則MN所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為. 解析:M=(x,y)|x2-2x+y2-2y2=(x,y)|(x-1)2+(y-1)24,N=(x,y)|x2-2x-(y2-2y)0=(x,y)|x-1|y-1|,MN構(gòu)成平面區(qū)域如圖陰影部分所示,由圖知平面區(qū)域的面積為12··22=2.答案:210.(20xx深圳二調(diào))點P(x,y)是以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形及其內(nèi)部的任一點,則4x-3y的最大值為. 解析:令z=4x-3y,由圖知當(dāng)直線z=4x-3y經(jīng)過點B(-1,-6)時,z有最大值為4×(-1)-3×(-6)=14.答案:1411.(20xx咸陽一模)設(shè)實數(shù)x、y滿足x-y-20,x+2y-40,2y-30,則yx的最大值是. 解析: 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分.設(shè)yx=t,則y=tx,求yx的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過A點時,t最大.由x+2y-4=0,2y-3=0,解得A（1,32）.代入y=tx,得t=32.所以yx的最大值為32.答案:32三、解答題12.(20xx黃山模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x+y1,x-y-1,2x-y2,(1)求目標(biāo)函數(shù)z=12x-y+12的最值;(2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍.解: (1)作出可行域如圖所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直線12x-y=0,過A(3,4)取最小值-2,過C(1,0)取最大值1.z的最大值為1,最小值為-2.(2)直線ax+2y=z僅在點(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-a2<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范圍是(-4,2).B組13.(高考四川卷)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是(C)(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶,則根據(jù)題意得x、y的約束條件為x0,xN,y0,yN,x+2y12,2x+y12.設(shè)獲利z元,則z=300x+400y.畫出可行域如圖.畫直線l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過點M時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由x+2y=12,2x+y=12,解得x=4,y=4,即M的坐標(biāo)為(4,4),zmax=300×4+400×4=2800(元).故選C.14.(20xx廣州模擬)已知實數(shù)x、y滿足x0,y1,2x-2y+10.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)取得最小值時的最優(yōu)解有無數(shù)個,則實數(shù)a的值為. 解析:畫出平面區(qū)域所表示的圖形,如圖中的陰影部分所示,平移直線ax+y=0,可知當(dāng)平移到與直線2x-2y+1=0重合,即a=-1時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的最小值有無數(shù)多個.答案:-115.實數(shù)x、y滿足x-y+10,x>0,y2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范圍;(2)若z=x2+y2,求z的最大值與最小值,并求z的取值范圍.解:由x-y+10,x>0,y2,作出可行域如圖中陰影部分所示. (1)z=yx表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜率,因此yx的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA的斜率不存在).而由x-y+1=0y=2得B(1,2),則kOB=21=2.zmax不存在,zmin=2,z的取值范圍是2,+).(2)z=x2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點之間距離的平方.因此x2+y2的范圍最小為|OA|2(取不到),最大為|OB|2.由x-y+1=0x=0得A(0,1),|OA|2=(02+12)2=1.|OB|2=(12+22)2=5.z的最大值為5,沒有最小值.故z的取值范圍是(1,5.16.咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲種飲料每杯能獲利潤0.7元,乙種飲料每杯能獲利潤1.2元,每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大?解:設(shè)每天配制甲種飲料x杯、乙種飲料y杯可以獲得最大利潤,利潤總額為z元.由條件知:z=0.7x+1.2y,變量x、y滿足9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,x0,y0,且x、y均為整數(shù).作出不等式組所表示的可行域如圖所示.作直線l:0.7x+1.2y=0,把直線l向右上方平移至經(jīng)過A點的位置時,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程組3x+10y-3000=0,4x+5y-2000=0,得A點坐標(biāo)(200,240).答:應(yīng)每天配制甲種飲料200杯,乙種飲料240杯方可獲利最大.