新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第8篇 第4節(jié) 雙曲線

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第八篇第4節(jié) 一、選擇題1設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左右兩個焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|等于()A1B17C1或17D以上答案均不對解析：由雙曲線定義|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但應(yīng)注意雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為ca642>1，|PF2|17.故選B.答案：B2(2013年高考湖北卷)已知0<<，則雙曲線C1：1與C2：1的()A實(shí)軸長相等B虛軸長相等C離心率相等D焦距相等解析：雙曲線C1的半焦距c11，雙曲線C2的半焦距c21，故選D.答案：D3(2012年高考湖南卷)已知雙曲線C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.1B1C.1D1解析：由焦距為10，知2c10，c5.將P(2,1)代入yx得a2b.a2b2c2,5b225，b25，a24b220，所以方程為1.故選A.答案：A4(2014皖南八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A4B8C24D48解析：3|PF1|4|PF2|，|PF1|>|PF2|，由雙曲線的定義得：|PF1|PF2|2a2，聯(lián)立、解得|PF2|6，|PF1|8，又|F1F2|2c210，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，PF1F2為直角三角形且P90°，SPF1F2|PF1|·|PF2|24.選C.答案：C5設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B1C.1D1解析：在橢圓C1中，因?yàn)閑，2a26，即a13，所以橢圓的焦距2c10，則橢圓兩焦點(diǎn)為(5,0)，(5,0)，根據(jù)題意，可知曲線C2為雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義可知，雙曲線C2中的2a28，焦距與橢圓的焦距相同，即2c210，可知b23，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選A.答案：A6(2014福州八中模擬)若雙曲線1漸近線上的一個動點(diǎn)P總在平面區(qū)域(xm)2y216內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A3,3B(，33，)C5,5D(，55，)解析：因?yàn)殡p曲線1漸近線4x±3y0上的一個動點(diǎn)P總在平面區(qū)域(xm)2y216內(nèi)，即直線與圓相離或相切，所以d4，解得m5或m5，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，55，)選D.答案：D二、填空題7(2013年高考遼寧卷)已知F為雙曲線C：1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_解析：由題知，雙曲線中a3，b4，c5，則|PQ|16，又因?yàn)閨PF|PA|6，|QF|QA|6，所以|PF|QF|PQ|12，|PF|QF|28，則PQF的周長為44.答案：448已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e2，且它的一個頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，則雙曲線C的方程為_解析：雙曲線中，頂點(diǎn)與較近焦點(diǎn)距離為ca1，又e2，兩式聯(lián)立得a1，c2，b2c2a2413，方程為x21.答案：x219(2014合肥市第三次質(zhì)檢)已知點(diǎn)P是雙曲線1(a>0，b>0)和圓x2y2a2b2的一個交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，PF2F12PF1F2，則該雙曲線的離心率為_解析：依題意得，線段F1F2是圓x2y2a2b2的一條直徑，故F1PF290°，PF1F230°，設(shè)|PF2|m，則有|F1F2|2m，|PF1|m，該雙曲線的離心率等于1.答案：110(2013年高考湖南卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1PF2，且PF1F230°，則C的離心率為_解析：設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上，由題意，在RtF1PF2中，|F1F2|2c，PF1F230°，得|PF2|c，|PF1|c，根據(jù)雙曲線的定義：|PF1|PF2|2a，(1)c2a，e1.答案：1三、解答題11已知雙曲線x21，過點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？解：法一設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由題意，得1，解得k2.當(dāng)k2時，方程成為2x24x30.16248<0，方程沒有實(shí)數(shù)解不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(1,1)是線段AB的中點(diǎn)法二設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直線l的斜率不存在，即x1x2不符合題意，所以由題得x1，x1，兩式相減得(x1x2)(x1x2)0，即20，即直線l斜率k2，得直線l方程y12(x1)，即y2x1，聯(lián)立得2x24x30，16248<0，即直線y2x1與雙曲線無交點(diǎn)，即所求直線不合題意，所以過點(diǎn)P(1,1)的直線l不存在12(2014南京質(zhì)檢)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸長與雙曲線實(shí)半軸長之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點(diǎn)，求cosF1PF2的值解：(1)由已知c，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長分別為m、n，則解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個交點(diǎn)，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.