5、，代入y2＝4x，得y0＝±，所以P.由橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則，
解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：D
8．設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F且斜率為－1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若A為線段BF的中點，則雙曲線C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意知，直線l的方程為y＝－(x－c)，解方程組，得A，解方程組，得B，因為A為線段BF的中點，所以＝＋c，即b＝3a，所以e2＝＝＝1＋9＝10，所以e＝.
答案：A
9．已知拋物線y2＝4x的焦點F與橢圓＋＝1(a>b>
6、0)的一個焦點重合，它們在第一象限內(nèi)的交點為P，且PF與x軸垂直，則橢圓的離心率為( )
A.－ B.－1
C. D.
解析：由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，結(jié)合題意得a2－b2＝1?、?，又由題意知P點的坐標(biāo)為P(1,2)，則＋＝1?、?由①②得a2＝3＋2，a＝1＋，e＝＝＝－1，選B.
答案：B
10．已知橢圓＋＝1(a>b>0，a≥4)的一個焦點與拋物線y2＝8x的焦點F重合，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與橢圓＋＝1相交于A，B兩點，則△ABF的面積的最小值為( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：由題意知，拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)，
7、準(zhǔn)線為x＝－2，
所以c＝2，a2－b2＝4.
把x＝－2代入橢圓方程＋＝1，
得y2＝b2，
取A，B.
因為△ABF的面積為
S＝×4×2b＝4
＝＝4a－，
S′＝4＋>0，
所以S為增函數(shù)，因為a≥4，所以S≥12.
答案：D
二、填空題(每小題5分)
11．已知圓O：x2＋y2＝5，直線l：xcosθ＋ysinθ＝1(0<θ<)．設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k＝__________.
解析：圓心(0,0)到直線l的距離為1，又圓O的半徑為，所以圓上有4個點符合條件．
答案：4
12．直線x－ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝4相交于兩點A
8、、B，則動弦AB中點M的軌跡方程是______________．
解析：設(shè)動點M的坐標(biāo)為(x，y)，易知直線恒過定點P(－1,0)，由垂徑定理可得⊥，故·＝x(x＋1)＋y2＝0，即2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
13．兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點為P，若圓C過點P和點M(－3，2)，且圓心C在直線y＝x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
解析：由2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點坐標(biāo)為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線l的方程為x－y＋3＝0.設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(
9、x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)為直線l和直線y＝x的交點，聯(lián)立，解得圓心C的坐標(biāo)為(－6，－3)，從而解得r2＝34，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.
答案：(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
14．過拋物線x2＝4y上一點M(x0，y0)(x0>0)作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于點N(x1，y1)，則x0－x1的最小值為__________．
解析：由x2＝4y，得y＝x2，則y′＝x，拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1.因為點M(x0，y0)是拋物線x2＝4y上一點，所以y0＝x，且過點M的拋物線的切線的斜率k＝x0，切線方程為y－y0＝x0
10、(x－x0)，即y－x＝x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝x0－，所以x0－x1＝x0＋≥2，所以x0－x1的最小值為2.
答案：2
15．在平面直角坐標(biāo)系中，點P為橢圓＋y2＝1上的一個動點，則點P到直線x－y＋6＝0的最大距離為__________．
解析：通解：設(shè)直線x－y＋a＝0與橢圓相切，則方程組有唯一解，消去x，得4y2－2ay＋a2－3＝0，Δ＝4a2－16(a2－3)＝0，解得a＝±2，所以直線x－y±2＝0與橢圓相切，所以點P到直線x－y＋6＝0的最大距離為直線x－y－2＝0與直線x－y＋6＝0間的距離，最大距離為＝4.
優(yōu)解：設(shè)P(x，y)，則＋y2＝1，且P(
11、x，y)到直線x－y＋6＝0的距離為d＝.設(shè)，
則d＝
＝
＝
＝≤＝4，
所以點P到直線x－y＋6＝0的最大距離為4.
答案：4
三、解答題(第16,17,18,19題每題12分，第20題13分，第21題14分)
16．過平面內(nèi)M點的光線經(jīng)x軸反射后與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B兩點．
(1)若M點的坐標(biāo)為(5,1)，求反射光線所在直線的方程；
(2)若|AB|＝，求動點M的軌跡方程．
解：(1)由光的反射原理知，反射光線所在直線必過點(5，－1)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則此直線方程可以設(shè)為y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．
又
12、反射光線與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，
解得k＝－1或－，代入(*)化簡整理，得反射光線所在直線的方程為x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.
(2)設(shè)動點M的坐標(biāo)為(x，y)(y≥0)，則反射光線所在直線必過點M關(guān)于x軸的對稱點Q(x，－y)，設(shè)動弦AB的中點為P，則|AP|＝，故|CP|＝＝.
由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，
得|CQ|＝＝8，
即＝8，
即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．
17．已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－2m－2＝0.
(1)證明：m取任意實數(shù)時，l1和l2的交點總在一個定圓C上；
(2)直線AB與(1
13、)中的圓C相交于A，B兩點，
①若弦AB被點P平分，求直線AB的方程．
②若直線AB經(jīng)過定點(2,3)，求使△ABC的面積取得最大值時的直線AB的方程．
解：(1)設(shè)l1和l2的交點坐標(biāo)為(x，y)，則有，
消去m得，x2＋y2－2x－2y＝0，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2，
所以l1和l2的交點總在圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為的圓上．
(2)①當(dāng)弦AB被點P平分時，CP⊥AB，
因為kCP＝＝1，
所以kAB＝－1，由點斜式方程，得直線AB的方程為y－＝－，即x＋y－1＝0.
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝2，可求得|AB|＝2，S△ABC＝×2×
14、1＝1；
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
則圓心C到直線AB的距離d＝＝，
又S△ABC＝d×2
＝＝，
當(dāng)d2＝2＝1，
即k＝時，△ABC面積取得最大值1，
此時，直線AB的方程為y－3＝(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
綜上所求直線AB的方程為x＝2或3x－4y＋6＝0.
18．已知拋物線D的頂點是橢圓＋＝1的中心，焦點與橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)已知動直線l過點P(4,0)，交拋物線D于A，B兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求
15、出m的方程；如果不存在，說明理由．
解：(1)由題意，可設(shè)拋物線D的方程為y2＝2px(p>0)．
由4－3＝1，得拋物線的焦點為(1,0)，∴p＝2.∴拋物線D的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，假設(shè)存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心M，過M作直線x＝a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個交點為G.
則|EG|2＝|MG|2－|ME|2，
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2
＝－2
＝y(tǒng)＋
＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.
當(dāng)a＝3時，|EG|2＝3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2
16、.
因此存在直線m：x＝3滿足題意．
19．已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點P(－4,0)作斜率為的直線l，使得直線l和雙曲線G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求雙曲線G的方程；
(2)橢圓S的中心在原點，焦點在y軸上，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．
解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，
則由已知可得＝，
所以k＝±，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x.
設(shè)雙曲線G的方程為x2－4y2＝m
17、，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由，得3x2－8x－16－4m＝0，
則xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
因為|PA|·|PB|＝|PC|2，
P，A，B，C共線且P在線段AB上，
所以(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，
整理得：4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0，
將(*)代入上式，解得：m＝28.
所以雙曲線G的方程為－＝1.
(2)由題可設(shè)橢圓S的方程為：＋＝1(a>2)，
弦的兩個端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為Q(x0，y0)，
由，
得＋＝0，
因為＝－4，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
18、所以－＝0，
所以S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以＝，
所以a2＝56，橢圓S的方程為＋＝1.
20．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點(A，B不是橢圓C的頂點)．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸交于點M，在第一象限內(nèi)是否存在A點，使得AM與橢圓相切？若存在，求出A點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：(1)由e＝，得a＝2b，把點代入橢圓方程可得：
＋＝1?b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
19、(2)假設(shè)存在A(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，
則B(－x1，－y1)，直線AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，所以直線AD的斜率k＝－，
設(shè)直線AD的方程為y＝kx＋m，
D(x2，y2)，
由題意知k≠0，m≠0，
由，
可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
由題意知，x1≠x2，所以kBD＝＝－＝，
所以直線BD的方程為y＋y1＝(x＋x1)，
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，可得kAM＝－.
設(shè)過點A的直線l：y＝tx＋p與橢圓相切，則把y＝tx＋p代入＋y2
20、＝1，
得(1＋4t2)x2＋8ptx＋4p2－4＝0有兩個相等實根，
所以Δ＝(8pt)2－4×4(p2－1)(1＋4t2)＝0，
所以4t2＝p2－1.
又方程的解為x1，即x1＝－，y1＝，所以t＝－.
若AM是橢圓的切線，則－＝－，即x＝2y，
又因為＋y＝1，所以x＝，y＝，
所以x1＝，y1＝，所以在第一象限內(nèi)存在點A，使得AM與橢圓相切．
21．(20xx·浙江杭州一模)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，離心率e＝，且過點.
(1)求橢圓方程；
(2)Rt△ABC以A(0，b)為直角頂點，邊AB，BC與橢圓交于B，C兩點，求△ABC面積的最大值．
解：(1)由e＝，即＝，
又a2－b2＝c2，得a＝3b，
把點代入橢圓方程可得＋＝1?b＝1.
所以橢圓方程為＋y2＝1.
(2)由題意知AB，BC所在直線的斜率均存在，不妨設(shè)AB的方程為y＝kx＋1，
則AC的方程為y＝－x＋1.
由
得(1＋9k2)x2＋18kx＝0?xB＝，
將k用－代替，可得xC＝，
從而有|AB|＝·，
|AC|＝·.
于是S△ABC＝|AB||AC|＝162×
＝162×.
令t＝k＋≥2，
有S△ABC＝＝≤，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝>2時取等號，
(S△ABC)max＝.
新編高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí) 專題能力提升練五 Word版含解析
