2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第一課時 兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 學(xué)案學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第一課時 兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P2~12,思考以下問題 1.什么是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理? 2.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系? [要點梳理] 1.分類加法計數(shù)原理 2.分步乘法計數(shù)原理 3.兩個計數(shù)原理的區(qū)別 [自我診斷] 判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) 1.在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.( ) 2.在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.( ) 3.在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.( ) 4.在分步乘法計數(shù)原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成.( ) [答案] 1. 2.√ 3.√ 4.√ 思考:若完成一件事情有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,…,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同方法? 提示:完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同方法. 某校高三共有三個班,其各班人數(shù)如下表 班級 男生數(shù) 女生數(shù) 總數(shù) 高三1班 30 20 50 高三2班 30 30 60 高三3班 35 20 55 (1)從三個班中選一名學(xué)生任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法? (2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法? [思路導(dǎo)引] 采用分類加法計數(shù)原理求解時,關(guān)鍵是找好每一類方法中有多少種不同方法. [解] (1)從三個班中任選一名學(xué)生,可分三類: 第一類,從1班任選一名學(xué)生,有50種不同選法; 第二類,從2班任選一名學(xué)生,有60種不同選法; 第三類,從3班任選一名學(xué)生,有55種不同選法. 由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為 N=50+60+55=165. (2)由題設(shè)知共有三類方案: 第一類,從1班男生中任選一名學(xué)生,有30種不同選法; 第二類,從2班男生中任選一名學(xué)生,有30種不同選法; 第三類,從3班女生中任選一名學(xué)生,有20種不同選法. 由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為 N=30+30+20=80. (1)能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點: ①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類; ②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事; ③把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). (2)用分類加法計數(shù)原理解題應(yīng)注意以下問題: ①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎樣才算完成這件事; ②分類加法計數(shù)原理中的“分類”要全面、不能遺漏,但也不能重復(fù)、交叉; ③若完成某件事情有n類辦法,則它們兩兩的交集為空集,n類的并集為全集. [跟蹤訓(xùn)練] 在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________. [解析] (1)解法一:根據(jù)題意,將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個). 解法二:分析個位數(shù)字,可分以下幾類: 個數(shù)是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故共有8個; 個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故共有7個; 同理,個位是7的有6個; …… 個位是2的有1個. 由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個). [答案] 36 [變式] 若本題條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù),那么這樣的兩位數(shù)有多少個. [解] 當個位數(shù)字是8時,十位數(shù)字取9,只有1個. 當個位數(shù)字是6時,十位數(shù)字可取7,8,9,共3個. 當個位數(shù)字是4時,十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個. 同理可知,當個位數(shù)字是2時,共7個, 當個位數(shù)字是0時,共9個. 由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個). 題型二 分步乘法計數(shù)原理 思考:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,則完成這件事共有多少種不同的方法? 提示:完成這件事共有m1m2…mn種不同的方法. 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點.問: (1)點P可表示平面上多少個不同的點? (2)點P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個不同的點? [思路導(dǎo)引] 利用分步乘法計數(shù)原理求解,在求解過程中注意完成每一步有多少種不同方法. [解] (1)確定平面上的點P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,有6種不同的結(jié)果;第2步確定b的值,也有6種不同的結(jié)果.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得到點P可表示平面上不同點的個數(shù)為66=36. (2)確定平面上第二象限內(nèi)的點P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,由于a<0,所以有3種不同的結(jié)果;第2步確定b的值,由于b>0,所以有2種不同的結(jié)果.由分步乘法計數(shù)原理,得到點P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)為32=6. (1)能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點: ①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可; ②完成每一步都有若干種方法; ③把各個步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). (2)利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意: ①要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的; ②“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的,但也不能重復(fù)、交叉; ③若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成. [跟蹤訓(xùn)練] 從1,2,3,4中選三個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù),則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個? (1)三位數(shù); (2)三位數(shù)的偶數(shù). [解] (1)三位數(shù)有三個數(shù)位, 故可分三個步驟完成: 第1步,排個位,從1,2,3,4中選1個數(shù)字,有4種方法; 第2步,排十位,從剩下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法; 第3步,排百位,從剩下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有432=24個滿足要求的三位數(shù). (2)分三個步驟完成: 第1步,排個位,從2,4中選1個,有2種方法; 第2步,排十位,從余下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法; 第3步,排百位,只能從余下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法. 故共有232=12個三位數(shù)的偶數(shù). 思考:如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”? 提示:如果完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù),則是分類;而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù),且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步. (鏈接教材P5—例3)王華同學(xué)有課外參考書若干本,其中有5本不同的外語書,4本不同的數(shù)學(xué)書,3本不同的物理書,他欲帶參考書到圖書館閱讀. (1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館,有多少種不同的帶法? (2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本,有多少種不同的帶法? (3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館,有多少種不同的帶法? [思路導(dǎo)引] 解決兩個計數(shù)原理的應(yīng)用問題,首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么,再分析每一種做法完成后,是否完成整件事,從而區(qū)分分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理. [解] (1)要完成的事情是帶1本參考書,無論是帶外語書,還是帶數(shù)學(xué)書、物理書,事情都可完成,從而根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+4+3=12種不同的帶法. (2)要完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書,只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后,才能完成這件事,因此根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有543=60種不同的帶法. (3)選1本外語書和1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理,有54=20種選法;同樣,選外語書、物理書各1本,有53=15種選法;選數(shù)學(xué)書、物理書各1本,有43=12種選法.即有三類情況,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有20+15+12=47種不同的帶法. 對于兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題,一般是先分類再分步,分類時要設(shè)計好標準,設(shè)計好分類方案,防止重復(fù)和遺漏;分步時要注意步與步之間的連續(xù)性,同時應(yīng)合理設(shè)計步驟的順序,使各步互不干擾,也可以根據(jù)題意恰當合理地畫出示意圖或者列出表格,使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來,從而便于我們解題. [跟蹤訓(xùn)練] 某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會,已知甲企業(yè)有2人到會,其余4家企業(yè)各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種? [解] 分兩類:第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言,有2種情況,另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè),有6種情況,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有26=12(種)情況; 另一類是3人全來自其余4家企業(yè),共有4種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12+4=16(種)情況. 1.本節(jié)課的重點是分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,難點是兩個計數(shù)原理的靈活應(yīng)用. 2.本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)用分類加法計數(shù)原理解決有關(guān)問題,見典例1; (2)用分步乘法計數(shù)原理解決有關(guān)問題,見典例2; (3)兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用,見典例3. 3.兩個原理的綜合應(yīng)用問題應(yīng)先分類后分步,分類時應(yīng)“不重不漏”,分步時要做到步驟完整,這是本節(jié)課的易錯點.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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