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2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試37 直接證明與間接證明 文(含解析).docx

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2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試37 直接證明與間接證明 文(含解析).docx

考點(diǎn)測(cè)試37直接證明與間接證明高考概覽考綱研讀1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)2了解反證法的思考過程和特點(diǎn)一、基礎(chǔ)小題1命題“對(duì)于任意角,cos4sin4cos2”的證明:“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”過程應(yīng)用了()A分析法 B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證明法答案B解析因?yàn)樽C明過程是“從左往右”,即由條件結(jié)論2用反證法證明結(jié)論“三角形內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”,應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60B三個(gè)內(nèi)角都不大于60C三個(gè)內(nèi)角都大于60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60答案C解析“三角形內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”即“三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)小于等于60”,其否定為“三角形內(nèi)角都大于60”故選C.3若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2b2c2>abbcca.證明過程如下:a,b,cR,a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac.又a,b,c不全相等,以上三式至少有一個(gè)“”不成立將以上三式相加得2(a2b2c2)>2(abbcac)a2b2c2>abbcca.此證法是()A分析法 B綜合法C分析法與綜合法并用 D反證法答案B解析由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義4分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且abc0,求證<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0答案C解析<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.5若P,Q,a0,則P,Q的大小關(guān)系是()AP>Q BPQCP<Q D由a的取值確定答案C解析令a0,則P2.6,Q3.7,P<Q.據(jù)此猜想a0時(shí)P<Q.證明如下:要證P<Q,只要證P2<Q2,只要證2a72<2a72,只要證a27a<a27a12,只要證0<12,0<12成立,P<Q成立故選C.6兩旅客坐火車外出旅游,希望座位連在一起,且有一個(gè)靠窗,已知火車上的座位如圖所示,則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()窗口12671112過道3458910131415窗口A.48,49 B62,63 C75,76 D84,85答案D解析由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知,被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)靠窗,由于兩旅客希望座位連在一起,且有一個(gè)靠窗,分析答案中的4組座位號(hào)知,只有D符合條件7有6名選手參加演講比賽,觀眾甲猜測(cè):4號(hào)或5號(hào)選手得第一名;觀眾乙猜測(cè):3號(hào)選手不可能得第一名;觀眾丙猜測(cè):1,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名;觀眾丁猜測(cè):4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果,此人是()A甲 B乙 C丙 D丁答案D解析若1,2號(hào)得第一名,則乙丙丁都對(duì),若3號(hào)得第一名,則只有丁對(duì),若4,5號(hào)得第一名,則甲乙都對(duì),若6號(hào)得第一名,則乙丙都對(duì),因此只有丁猜對(duì)故選D.8記S,則S與1的大小關(guān)系是_答案S<1解析<,<,<,S<1.二、高考小題9(2019山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A解析“方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”的否定是“方程x3axb0沒有實(shí)根”三、模擬小題10(2019山東濟(jì)南模擬)用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)用反證法證明時(shí),下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”,故選B.11(2018寧夏銀川調(diào)研)設(shè)a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷:(ab)2(bc)2(ca)20;a>b,a<b及ab中至少有一個(gè)成立;ac,bc,ab不能同時(shí)成立其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析正確;中,ab,bc,ac可以同時(shí)成立,如a1,b2,c3,故正確的判斷有2個(gè)12(2018長(zhǎng)春模擬)設(shè)a,b,c都是正數(shù),則a,b,c三個(gè)數(shù)()A都大于2 B都小于2C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2答案D解析假設(shè)a,b,c都小于2,則有abc<6.因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),所以abc2226,這與abc<6矛盾,故假設(shè)不成立,所以a,b,c至少有一個(gè)不小于2.故選D.13(2018山東煙臺(tái)模擬)設(shè)a>b>0,m,n,則m,n的大小關(guān)系是_答案n>m解析解法一(取特殊值法):取a2,b1,則m<n.解法二(分析法):<>a<b2ab2>0,顯然成立一、高考大題1(2018北京高考)設(shè)n為正整數(shù),集合A|(t1,t2,tn),tk0,1,k1,2,n對(duì)于集合A中的任意元素(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn),記M(,)(x1y1|x1y1|)(x2y2|x2y2|)(xnyn|xnyn|)(1)當(dāng)n3時(shí),若(1,1,0),(0,1,1),求M(,)和M(,)的值;(2)當(dāng)n4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素,當(dāng),相同時(shí),M(,)是奇數(shù);當(dāng),不同時(shí),M(,)是偶數(shù)求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;(3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素,M(,)0.寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由解(1)因?yàn)?1,1,0),(0,1,1),所以M(,)(11|11|)(11|11|)(00|00|)2,M(,)(10|10|)(11|11|)(01|01|)1.(2)設(shè)(x1,x2,x3,x4)B,則M(,)x1x2x3x4.由題意知x1,x2,x3,x40,1,且M(,)為奇數(shù),所以x1,x2,x3,x4中1的個(gè)數(shù)為1或3.所以B(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)將上述集合中的元素分成如下四組:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1)經(jīng)驗(yàn)證,對(duì)于每組中兩個(gè)元素,均有M(,)1.所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過4.又集合(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)滿足條件,所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.(3)設(shè)Sk(x1,x2,xn)|(x1,x2,xn)A,xk1,x1x2xk10(k1,2,n),Sn1(x1,x2,xn)|x1x2xn0,所以AS1S2Sn1.對(duì)于Sk(k1,2,n1)中的不同元素,經(jīng)驗(yàn)證,M(,)1.所以Sk(k1,2,n1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過n1.取ek(x1,x2,xn)Sk且xk1xn0(k1,2,n1)令Be1,e2,en1SnSn1,則集合B的元素個(gè)數(shù)為n1,且滿足條件故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合2(2018江蘇高考)記f(x),g(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù),若存在x0R,滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”(1)證明:函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點(diǎn)”;(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值;(3)已知函數(shù)f(x)x2a,g(x),對(duì)任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,并說明理由解(1)證明:函數(shù)f(x)x,g(x)x22x2,則f(x)1,g(x)2x2,由f(x)g(x)且f(x)g(x),得此方程組無解因此,f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點(diǎn)”(2)函數(shù)f(x)ax21,g(x)ln x,則f(x)2ax,g(x),設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0),得即(*)得ln x0,即x0e,則a.當(dāng)a時(shí),x0e滿足方程組(*),即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,因此,a的值為.(3)f(x)2x,g(x),x0,f(x0)g(x0)bex0>0x0(0,1),f(x0)g(x0)xaax,令h(x)x2a,x(0,1),a>0,設(shè)m(x)x33x2axa,x(0,1),a>0,則m(0)a<0,m(1)2>0m(0)m(1)<0,又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷,m(x)在(0,1)上有零點(diǎn),則h(x)在(0,1)上有零點(diǎn)因此,對(duì)任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)存在“S點(diǎn)”二、模擬大題3(2018貴州安順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)3x2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2R,均有f.證明要證明f,即證明32,因此只要證明(x1x2)3(x1x2),即證明3,因此只要證明,由于x1,x2R時(shí),3x1>0,3x2>0,由基本不等式知(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí),等號(hào)成立)顯然成立,故原結(jié)論成立4(2018山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列解(1)當(dāng)n1時(shí),a1S12a12,則a11.又anSn2,所以an1Sn12,兩式相減得an1an,所以an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an.(2)證明:(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap1,aq1,ar1(p<q<r,且p,q,rN*),則2,所以22rq2rp1.又因?yàn)閜<q<r,且p,q,rN*,所以rq,rpN*.所以式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立所以假設(shè)不成立,原命題得證

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