2018版高中數學 第2章 數列 2.2.2 第2課時 等差數列前n項和的綜合應用學案 新人教B版必修5.doc

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第 2 課時 等差數列前 n 項和的綜合應用 1 掌握等差數列前 n 項和的性質及應用 重點 2 會求等差數列前 n 項和的最值 重點 易錯點 3 能用裂項相消法求和 難點 基礎 初探 教材整理 等差數列前 n 項和的性質 閱讀教材 P40 P 41 完成下列問題 1 Sn與 an的關系 an Error 2 等差數列前 n 項和的性質 1 等差數列 an 中 其前 n 項和為 Sn 則 an 中連續(xù)的 n 項和構成的數列 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 構成等差數列 2 數列 an 是等差數列 Sn an2 bn a b 為常數 3 等差數列前 n 項和 Sn的最值 1 若 a10 則數列的前面若干項為負數項 或 0 所以將這些項相加即得 Sn 的最小值 2 若 a1 0 d0 d 0 則 S1是 Sn 的最小值 若 a1 0 d0 d1 可知 當 n 1 時 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2 n 12 12 12 當 n 1 時 a1 S1 1 2 1 12 32 也滿足 式 數列 an 的通項公式為 an 2 n 12 由此可知 數列 an 是以 為首項 以 2 為公差的等差數列 32 1 已知前 n 項和 Sn求通項 an 先由 n 1 時 a1 S1求得 a1 再由 n 2 時 an Sn Sn 1 求 an 最后驗證 a1是否符合 an 若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示 2 由數列的前 n 項和 Sn求 an的方法 不僅適用于等差數列 它也適用于其他數列 再練一題 1 已知下面各數列 an 的前 n 項和 Sn的公式 求 an 的通項公式 1 Sn 2 n2 3 n 2 Sn 3 n 2 解 1 當 n 1 時 a1 S1 2 1 2 3 1 1 當 n 2 時 Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 2 n2 7 n 5 則 an Sn Sn 1 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 4 n 5 此時若 n 1 an 4 n 5 4 1 5 1 a1 故 an 4 n 5 2 當 n 1 時 a1 S1 3 1 2 1 當 n 2 時 Sn 1 3 n 1 2 則 an Sn Sn 1 3 n 2 3 n 1 2 3 n 3 n 1 3 3 n 1 3 n 1 2 3 n 1 此時若 n 1 an 2 3 n 1 2 3 1 1 2 a1 故 an Error 等差數列前 n 項和的性質應用 1 在等差數列 an 中 若 S4 1 S8 4 則 a17 a18 a19 a20的值為 導學號 18082028 A 9 B 12 C 16 D 17 2 等差數列 an 共有 2n 1 項 所有的奇數項之和為 132 所有的偶數項之和為 120 則 n 等于 精彩點撥 1 解決本題關鍵是能發(fā)現 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 a17 a18 a19 a20能構成等差數列 2 利用等差數列奇偶項和的性質求解 或利用 基本量法 求解 自主解答 1 法一 由題意知 S4 1 S8 S4 3 而 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 S20 S16成等差數列 即 1 3 5 7 9 a17 a18 a19 a20 S20 S16 9 法二 S4 a1 a2 a3 a4 1 S8 S4 a5 a6 a7 a8 3 由 得 4 4d 2 即 8d 1 a17 a18 a19 a20 a5 a6 a7 a8 4 12 d 3 48 d 3 6 9 法三 Error 即Error 得 d 18 a17 a18 a19 a20 4 a17 4 3d2 4 4 a17 32d a1 32d 16d 4 64 d 1 8 9 a1 32d 2 法一 巧用性質 因為等差數列共有 2n 1 項 所以 S 奇 S 偶 an 1 即 S2n 12n 1 132 120 解得 n 10 132 1202n 1 法二 基本量思想 可設等差數列的首項為 a1 公差為 d 依題意可列方程組 Error 即Error 所以 即 n 10 n 1n 132120 答案 1 A 2 10 若數列 an 為等差數列 公差為 d 其前 n 項和為 Sn 1 Sk S2k Sk S3k S2k 構成公差為 k2d 的等差數列 2 若項數為 2n 項 則 Sn n an an 1 S 偶 S 奇 nd S 偶 S 奇 an 1 an 若項 數為 2n 1 項 則 S2n 1 2 n 1 a2n 1 S 偶 S 奇 an 1 S 偶 S 奇 n n 1 再練一題 2 1 等差數列 an 中 a2 a7 a12 24 則 S13 2 等差數列 an 的通項公式是 an 2 n 1 其前 n 項和為 Sn 則數列 的前 10 項和 Snn 為 導學號 18082029 解析 1 由 a2 a7 a12 24 得 a7 8 所以 S13 13 a7 13 104 a1 a132 2 因為 an 2 n 1 所以 a1 3 所以 Sn n2 2 n 所以 n 2 n 3 2n 1 2 Snn 所以 是公差為 1 首項為 3 的等差數列 Snn 所以前 10 項和為 3 10 1 75 10 92 答案 1 104 2 75 探究共研型 等差數列前 n 項和 Sn的函數特 征 探究 1 將首項為 a1 2 公差 d 3 的等差數列的前 n 項和看作關于 n 的函數 那么 這個函數有什么結構特征 如果一個數列的前 n 項和為 Sn 3 n2 n 那么這個數列是等差 數列嗎 上述結論推廣到一般情況成立嗎 提示 首項為 2 公差為 3 的等差數列的前 n 項和為 Sn 2 n n2 n n n 1 32 32 12 顯然 Sn是關于 n 的二次型函數 如果一個數列的前 n 項和為 Sn 3 n2 n 那么當 n 1 時 S1 a1 4 當 n 2 時 an Sn Sn 1 6 n 2 則該數列的通項公式為 an 6 n 2 所以該數列為 等差數列 一般地 等差數列的前 n 項和公式 Sn na1 d n2 n 若令 n n 1 2 d2 a1 d2 A B a1 則上式可寫成 Sn An2 Bn A B 可以為 0 d2 d2 探究 2 已知一個數列 an 的前 n 項和為 Sn n2 5 n 試畫出 Sn關于 n 的函數圖象 你能說明數列 an 的單調性嗎 該數列前 n 項和有最值嗎 提示 Sn n2 5 n 它的圖象是分布在函數 y x2 5 x 的圖象上的 n 52 2 254 離散的點 由圖象的開口方向可知該數列是遞增數列 圖象開始下降說明了 an 前 n 項為 負數 由 Sn的圖象可知 Sn有最小值且當 n 2 或 3 時 Sn最小 最小值為 6 即數列 an 前 2 項或前 3 項和最小 數列 an 的前 n 項和 Sn 33 n n2 1 求 an 的通項公式 2 問 an 的前多少項和最大 3 設 bn an 求數列 bn 的前 n 項和 S n 精彩點撥 1 利用 Sn與 an的關系求通項 也可由 Sn的結構特征求 a1 d 從而 求出通項 2 利用 Sn的函數特征求最值 也可以用通項公式找到通項的變號點求解 3 利用 an判斷哪些項是正數 哪些項是負數 再求解 也可以利用 Sn的函數特征判 斷項的正負求解 自主解答 1 法一 當 n 2 時 an Sn Sn 1 34 2 n 又當 n 1 時 a1 S1 32 34 2 1 滿足 an 34 2 n 故 an 的通項公式為 an 34 2 n 法二 由 Sn n2 33 n 知 Sn是關于 n 的缺常數項的二次型函數 所以 an 是等差數 列 由 Sn的結構特征知Error 解得 a1 32 d 2 所以 an 34 2 n 2 法一 令 an 0 得 34 2 n 0 所以 n 17 故數列 an 的前 17 項大于或等于零 又 a17 0 故數列 an 的前 16 項或前 17 項的和最大 法二 由 y x2 33 x 的對稱軸為 x 332 距離 最近的整數為 16 17 由 Sn n2 33 n 的 332 圖象可知 當 n 17 時 an 0 當 n 18 時 an 0 故數列 an 的前 16 項或前 17 項的和最大 3 由 2 知 當 n 17 時 an 0 當 n 18 時 an 0 所以當 n 17 時 Sn b1 b2 bn a1 a2 an a1 a2 an Sn 33 n n2 當 n 18 時 Sn a1 a2 a17 a18 an a1 a2 a17 a18 a19 an S17 Sn S17 2 S17 Sn n2 33 n 544 故 Sn Error 1 在等差數列中 求 Sn的最小 大 值的方法 1 利用通項公式尋求正 負項的分界點 則從第一項起到分界點該項的各項和為最大 小 2 借助二次函數的圖象及性質求最值 2 尋求正 負項分界點的方法 1 尋找正 負項的分界點 可利用等差數列性質或利用Error 或Error 來尋找 2 利用到 y ax2 bx a 0 的對稱軸距離最近的左側的一個正數或離對稱軸最近且 關于對稱軸對稱的兩個整數對應項即為正 負項的分界點 3 求解數列 an 的前 n 項和 應先判斷 an 的各項的正負 然后去掉絕對值號 轉 化為等差數列的求和問題 再練一題 3 在等差數列中 a10 23 a25 22 1 該數列第幾項開始為負 2 求數列 an 的前 n 項和 解 設等差數列 an 中 公差為 d 由題意得 Error Error 1 設第 n 項開始為負 an 50 3 n 1 53 3 n 533 從第 18 項開始為負 2 an 53 3 n Error 當 n 17 時 Sn n2 n 32 1032 當 n 17 時 Sn a1 a2 a3 an a1 a2 a17 a18 a19 an Sn 2 S17 32n2 1032n n2 n 884 32 1032 Sn Error 1 設 an 為等差數列 公差 d 2 Sn為其前 n 項和 若 S10 S11 則 a1 A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 S10 S11 得 a11 S11 S10 0 a1 a11 1 11 d 0 10 2 20 答案 B 2 已知某等差數列共有 10 項 其奇數項之和為 15 偶數項之和為 30 則其公差為 A 5 B 4 C 3 D 2 解析 由題意得 S 偶 S 奇 5 d 15 d 3 或由解方程組Error 求得 d 3 故選 C 答案 C 3 已知數列 an 的前 n 項和 Sn n2 1 則 an 解析 當 n 1 時 a1 S1 2 當 n 2 時 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2 n 1 又因為 n 1 時 an 2 n 1 1 a1 所以 an Error 答案 Error 4 數列 an 為等差數列 它的前 n 項和為 Sn 若 Sn n 1 2 則 的值為 導學號 18082030 解析 等差數列前 n 項和 Sn的形式為 Sn an2 bn 1 答案 1 5 已知數列 an 的前 n 項和公式為 Sn 2 n2 30 n 1 求數列 an 的通項公式 2 若 bn an an 1 求數列 bn 的前 n 項和 Tn 解 1 Sn 2 n2 30 n 當 n 1 時 a1 S1 28 當 n 2 時 an Sn Sn 1 2 n2 30 n 2 n 1 2 30 n 1 4 n 32 當 n 1 時也滿足此式 an 4 n 32 n N 2 由 1 知 bn an an 1 4 n 32 4 n 28 8 n 60 數列 bn 是以 8 為公差的等差數列 b1 52 Tn n 4 n2 56 n 52 8n 602