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高考理科數(shù)學考點分類自測:圓錐曲線
一、選擇題
1.設A、B∈R,A≠B,且A·B≠0,則方程Bx-y+A=0和方程Ax2-By2=AB在同一坐標系下的圖象大致是 ( )
2.直線y=x+1截拋物線y2=2px所得弦長為2,此時拋物線方程為 ( )
3、
A.y2=2x B.y2=6x
C.y2=-2x或y2=6x D.以上都不對
3.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1交于不同兩點A、B,則|AB|的最大值為 ( )
A.2 B.
C. D.
4.設O是坐標原點,F(xiàn)是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,A是拋物線上的一點,與x軸正方向的夾角為60°,則||為 ( )
A. B.
C.p D.p
5.設離心率為e的雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且斜率為k,則直線l與雙曲線
4、C的左、右兩支都相交的充要條件是 ( )
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0),M,N是雙曲線上關于原點對稱的兩點,P是雙曲線上的動點,且直線PM,PN的斜率分別為k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值為1,則雙曲線的離心率為 ( )
A. B.
C. D.
二、填空題
7.若y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切,則實數(shù)m的值等于
5、________.
8.已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于P1、P2兩點,線段P1、P2 的中點為P,設直線l的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值等于________.
9.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p=________.
三、解答題
10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,其中左焦點F(-2,0).(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上 ,求m的值.
6、
11.已知拋物線C1:x2=y(tǒng),圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.
(1)求點M到拋物線C1的準線的距離;
(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點).過點P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點.若過M,P兩點的直線l垂直于直線AB,求直線l的方程.
12.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點M(1,),其離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l:y=kx+m(|k|≤)與橢圓C相交于A、B兩點,以線段OA、OB為鄰邊做平行四邊形OAPB,頂點P恰好在橢圓C上,O為坐標原點,求|OP|的取值范圍.
7、
詳解答案
一、選擇題
1.解析:方程Ax2-By2=AB可變?yōu)椋?.當AB>0時,方程-=1.表示雙曲線,直線Bx-y+A=0交x軸于(-,0),即-<0,故排除C、D選項;當AB<0時,只有B>0,A<0,方程-=1表示橢圓,直線交x軸于(-,0),而->0,故排除A.
答案:B
2.解析:由得x2+(2-2p)x+1=0.
x1+x2=2p-2,x1x2=1.
∴2=·
=·.
解得p=-1或p=3,
∴拋物線方程為y2=-2x或y2 =6x.
答案:C
3.解析:設直線l的方程為y=x+t,代入+y2=1消去y得x2+2tx+t2-1=0,
8、由題意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦長|AB|=·≤.
答案:C
4.解析:如圖,過A作AD⊥x軸于D,令|FD|=m,
則|FA|=2m,|AD|=m,由拋物線定義知|FA|=|AB|,即p+m=2m,
∴m=p.
∴||=
=p.
答案:B
5.解析:由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義,可知直線的斜率k只需滿足-
9、,即|k1|·|k2|=.
又∵|k1|+|k2|≥2=.
∴=1,即4b2=a2
∴4(c2-a2)=a2,即4c2=5a2
∴=,即e2=,∴e=.
答案:B
二、填空題
7.解析:由,得25x2+32mx+16m2-144=0,所以Δ=-576m2+14 400=0,解得m=±5.
答案:±5
8.解析:設P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P(,),
k2=,k1=,k1k2=.
由,相減得y-y=-(x-x).故k1k2=-.
答案:-
9.解析:依題意,拋物線的焦點F的坐標為(0,),設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y-=x,代
10、入拋物線方程得,y2-3py+=0,故y1+y2=3p,|AB|=y(tǒng)1+y2+p=4p,直角梯形ABCD有一個內(nèi)角為45°.
故|CD|=|AB|=×4p=2 p,梯形面積為(|BC|+|AD|)×|CD|=×3p×2p=3p2=12,解得p=2.
答案:2
三、解答題
10.解:(1)由題意,得
解得∴橢圓C的方程為+=1.
(2)設點A、B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),
由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,
∴Δ=96-8m2>0,∴-2
11、2=1上,
∴(-)2+()2=1,∴m=±.
11.解:(1)由題意可知,拋物線C1的準線方程為:y=-,所以圓心M(0,4)到準線的距離是.
(2)設P(x0,x),A(x1,x),B(x2,x),由題意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2.
設過點P的圓C2的切線方程為y-x=k(x-x0),
即y=kx-kx0+x.①
則=1,
即(x-1)k2+2x0(4-x)k+(x-4)2-1=0.
設PA,PB的斜率為k1,k2(k1≠k2),則k1,k2是上述方程的兩根,
所以k1+k2=,k1k2=.將①代入y=x2得x2-kx+kx0-x=0,
由于x0是此方程的根,故
12、x1=k1-x0,x2=k2-x0,
所以kAB==x1+x2=k1+k2-2x0=-2x0,kMP=.
由MP⊥AB,得kAB·kMP=(-2x0)·()=-1,解得x=.
即點P的坐標為(±,),
所以直線l的方程為y=±x+4.
12. 解:(1)由已知:e2==①,又點M(1,)在橢圓上,所以+=1②,
由①②解之,得a2=4,b2=3.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)由消去y化簡整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0③
設A,B,P點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
則x0=x1+x2=-,y0=y(tǒng)1+y2=k(x1+x2)+2m=.
由于點P在橢圓C上,所以+=1.
從而+=1,化簡得4m2=3+4k2,經(jīng)檢驗滿足③式.
又|OP|= = = = = .
因為0≤|k|≤,得3≤4k2+3≤4,有≤≤1,故≤|OP|≤.
綜上,所求|OP|的取值范圍是.