新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練52　數(shù)學(xué)歸納法

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2、 1 課時(shí)規(guī)范練52　數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式是(　　) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 答案:C 解析:左邊表示從1開始,連續(xù)2n+1個(gè)正整數(shù)的和,故n=1時(shí),表示1+2+3的和. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)

3、的過程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊(　　) A.增加了一項(xiàng) B.增加了兩項(xiàng) C.增加了兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng) D.以上各種情況均不對 答案:C 解析:當(dāng)n=k+1時(shí),不等式為+…+,∴比當(dāng)n=k時(shí)增加了項(xiàng).但最左端少了一項(xiàng). 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1++…+成立時(shí),起始值n至少應(yīng)取為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案:B 解析:∵1++…+=2-,而1++…+,故起始值n至少取8. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　)[來源:] A.2k+1

4、 B.2(2k+1) C. D. 答案:B 解析:當(dāng)n=k時(shí),等式為(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1), 當(dāng)n=k+1時(shí),等式為(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)·(k+1+k+1)=2k+1×1×3×…×(2k+1), ∴左端增乘=2(2k+1). 5.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=. 6.設(shè)函數(shù)f(n)=(2n+9)·3n+1+9,當(dāng)n

5、∈N*時(shí),f(n)能被m(m∈N*)整除,猜想m的最大值為(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 答案:D 解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)·3n+2-(2n+9)·3n+1=4(n+6)·3n+1, 當(dāng)n=1時(shí),f(2)-f(1)=4×7×9為最小值,據(jù)此可猜想D正確. 7.對于不等式

6、.n=1驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 答案:D 解析:在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法. 二、填空題 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,且n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是　　　　　.? 答案:1+a+a2 解析:首先觀察等式兩邊的構(gòu)成情況,它的左邊是按a的升冪順序排列的,共有n+2項(xiàng).因此當(dāng)n=1時(shí),共有3項(xiàng),應(yīng)該是1+a+a2. 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn時(shí),第二步中n=k+1時(shí),要證明的式子應(yīng)為　.? 答案:-1+3-

7、5+…+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(k+1) 10.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3,n∈N*),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)=　　　;當(dāng)n>4時(shí),f(n)=　　　.? 答案:5　 11.用數(shù)學(xué)歸納法證明(k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上　　　　　　　　　　　　　,這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是　　　　　.? 答案:·…·　2k-1 解析:當(dāng)n=k時(shí),·…·. 當(dāng)n=k+1時(shí), . ∴左邊應(yīng)乘上,設(shè)第一項(xiàng)a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2, ∴n==2k-1. 三、解答題

8、 12.若n為大于1的自然數(shù),求證:+…+. 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí), . (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)不等式成立, 即+…+, 那么當(dāng)n=k+1時(shí), +…+ =+…+[來源:] = > = =. 這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式對任意大于1的自然數(shù)都成立. 13.用數(shù)學(xué)歸納法證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12-22=-3, 右邊=-1×(2×1+1)=-3, ∴當(dāng)n=1時(shí)等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立, 即12

9、-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立. 則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],[來源:] ∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N*都成立. 14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求a1,a2; (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出

10、嚴(yán)格的證明. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=. 當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-, 于是-a2-a2=0,解得a2=. (2)由題設(shè)知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即-2Sn+1-anSn=0. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1, 代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*) 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=. 由(*)式可得S3=. 由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. ①n=1時(shí)

11、已知結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立, 即Sk=, 當(dāng)n=k+1時(shí),由(*)得Sk+1=,即Sk+1=, 故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 綜上,由①②可知Sn=對所有正整數(shù)n都成立. 四、選做題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步應(yīng)驗(yàn)證(　　)[來源:][來源:] A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 答案:C 2.設(shè)f(n)=n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*),則用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被9整除的過程中,f(k+1)=f(k)+　　　　　　　.? 答案:9k2+27k+27 3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=. (1)計(jì)算a2,a3,a4的值; (2)歸納推測an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的推測. 解:(1)∵a1=1,an+1=, ∴a2=,a3=,a4=. (2)推測an=. 證明如下: 當(dāng)n=1時(shí),由(1)已知,推測成立. 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),推測成立,即ak=. 則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=, 所以,當(dāng)n=k+1時(shí),推測成立. 綜上,對一切自然數(shù)n,均有an=.