新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第七章 第3講基本不等式及其應(yīng)用

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第3講 基本不等式及其應(yīng)用一、填空題1已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_解析x0，y0且12 ，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)答案32若實(shí)數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值為_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，當(dāng)xy時(shí)“”成立，所以xy的最大值為.答案3已知0ab，且ab1，則下列不等式：log2a0；2ab；2；log2alog2b2，其中正確的是_解析由0ab，且ab1，得0ab1，所以log2a0.易得ab1，所以2ab，由2，得24，由1ab2(ab)，得ab，所以log2alog2blog2ab2，僅正確答案4在等式“1”兩個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)正整數(shù)，使它們的和最小，則填入的兩個(gè)數(shù)是_解析設(shè)括號(hào)內(nèi)填入的兩個(gè)正整數(shù)為x，y，則有1，于是xy(xy)10102 16，當(dāng)且僅當(dāng)y29x2，即x4，y12時(shí)等號(hào)成立此時(shí)xy取最小值16.故應(yīng)填4和12.答案4和125已知函數(shù)f(x)2x，f(a)·f(b)8，若a0且b0，則的最小值為_解析因?yàn)閒(a)·f(b)2a·2b2ab8，所以ab3，所以(ab)3，當(dāng)且僅當(dāng)b24a2，即a1，b2時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.答案36已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_解析 依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.答案 27已知M是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且·2，BAC30°，若MBC，MCA，MAB的面積分別為，x，y，則的最小值為_解析 依題意得·|·|cos 30°2，則|·|4，故SABC|·|sin 30°1，即xy1，xy，所以2(xy)·2218，當(dāng)且僅當(dāng)，即y2x時(shí)，等號(hào)成立，因此的最小值為18.答案 188已知a，bR，且ab50，則|a2b|的最小值是_解析 依題意得，a，b同號(hào)，于是有|a2b|a|2b|22220(當(dāng)且僅當(dāng)|a|2b|時(shí)取等號(hào))，因此|a2b|的最小值是20.答案 209某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)_年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是_萬元解析 每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均利潤最大，最大值為8萬元答案 58來XXK10設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是_解析 2a2b222·42a2b4.答案 4二、解答題11某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢正以每分鐘100 m2的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到警報(bào)立即派消防隊(duì)員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費(fèi)為60元(1)設(shè)派x名消防隊(duì)員前去救火，用t分鐘將火撲滅，試建立t與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問應(yīng)該派多少名消防隊(duì)員前去救火，才能使總損失最少？(總損失滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用車輛、器械和裝備費(fèi)用森林損失費(fèi))解(1)t.(2)設(shè)總損失為y，則y滅火勞務(wù)津貼車輛、器械和裝備費(fèi)森林損失費(fèi)y125tx100x60×(500100t)125·x·100x30 0001 250·100(x22)30 00031 450100(x2)31 450236 450.當(dāng)且僅當(dāng)100(x2)，即x27時(shí)，y有最小值36 450.12已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解 由lg(3x)lg ylg(xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210.即3()2210.(31)(1)0.1.xy1.當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立xy的最小值為1.(2)x0，y0，xy13xy3·2.3(xy)24(xy)40.3(xy)2(xy)20.xy2.當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取等號(hào)，來源xy的最小值為2.13某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元(1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬元，求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；(總開發(fā)費(fèi)用總建筑費(fèi)用購地費(fèi)用)(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？解 (1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為：4 000×2 0008 000 000(元)800(萬元)，從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多：100×2 000200 000(元)20(萬元)，寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達(dá)式為：yf(x)800x×209 00010x2790x9 000(xN*)；(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為：g(x)×10 0005050×(279)6 950(元)當(dāng)且僅當(dāng)x，即x30時(shí)等號(hào)成立來源:答：該寫字樓建為30層時(shí)，每平方米平均開發(fā)費(fèi)用最低 14提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20<x200時(shí)，設(shè)v(x)axb再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60×201 200；當(dāng)20<x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100 輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí).