新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第七章 第3講基本不等式及其應(yīng)用

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第3講 基本不等式及其應(yīng)用一、填空題1已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_解析x0，y0且12 ，xy3.當且僅當時取等號答案32若實數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值為_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，當xy時“”成立，所以xy的最大值為.答案3已知0ab，且ab1，則下列不等式：log2a0；2ab；2；log2alog2b2，其中正確的是_解析由0ab，且ab1，得0ab1，所以log2a0.易得ab1，所以2ab，由2，得24，由1ab2(ab)，得ab，所以log2alog2blog2ab2，僅

2、正確答案4在等式“1”兩個括號內(nèi)各填入一個正整數(shù)，使它們的和最小，則填入的兩個數(shù)是_解析設(shè)括號內(nèi)填入的兩個正整數(shù)為x，y，則有1，于是xy(xy)10102 16，當且僅當y29x2，即x4，y12時等號成立此時xy取最小值16.故應(yīng)填4和12.答案4和125已知函數(shù)f(x)2x，f(a)f(b)8，若a0且b0，則的最小值為_解析因為f(a)f(b)2a2b2ab8，所以ab3，所以(ab)3，當且僅當b24a2，即a1，b2時等號成立，所以的最小值為3.答案36已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數(shù)的最小值為_解析 依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，

3、即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.答案 27已知M是ABC內(nèi)的一點，且2，BAC30，若MBC，MCA，MAB的面積分別為，x，y，則的最小值為_解析 依題意得|cos 302，則|4，故SABC|sin 301，即xy1，xy，所以2(xy)2218，當且僅當，即y2x時，等號成立，因此的最小值為18.答案 188已知a，bR，且ab50，則|a2b|的最小值是_解析 依題意得，a，b同號，于是有|a2b|a|2b|22220(當且僅當|a|2b|時取等號)，因此|a2b|的最小值是20.答案 209某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位

4、：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，則當每臺機器運轉(zhuǎn)_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元解析 每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當且僅當x5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元答案 58來XXK10設(shè)a，b是實數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是_解析 2a2b22242a2b4.答案 4二、解答題11某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢正以每分鐘100 m2的速度順風蔓延，消防站接到警報立即派消防隊員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達救火現(xiàn)場，已知消防隊員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費用為每人每分鐘125元，另

5、附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費為60元(1)設(shè)派x名消防隊員前去救火，用t分鐘將火撲滅，試建立t與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問應(yīng)該派多少名消防隊員前去救火，才能使總損失最少？(總損失滅火材料、勞務(wù)津貼等費用車輛、器械和裝備費用森林損失費)解(1)t.(2)設(shè)總損失為y，則y滅火勞務(wù)津貼車輛、器械和裝備費森林損失費y125tx100x60(500100t)125x100x30 0001 250100(x22)30 00031 450100(x2)31 450236 450.當且僅當100(x2)，即x27時，y有最小值36 450.12已知lg(

6、3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解 由lg(3x)lg ylg(xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210.即3()2210.(31)(1)0.1.xy1.當且僅當xy1時，等號成立xy的最小值為1.(2)x0，y0，xy13xy32.3(xy)24(xy)40.3(xy)2(xy)20.xy2.當且僅當xy1時取等號，來源xy的最小值為2.13某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每

7、平方米增加100元(1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費用為y萬元，求函數(shù)yf(x)的表達式；(總開發(fā)費用總建筑費用購地費用)(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？解 (1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為：4 0002 0008 000 000(元)800(萬元)，從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多：1002 000200 000(元)20(萬元)，寫字樓從下到上各層的總建筑費用構(gòu)成以800為首項，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達式為：yf(x)800x209 00010x2790x9 000(xN*)；(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費用為

8、：g(x)10 0005050(279)6 950(元)當且僅當x，即x30時等號成立來源:答：該寫字樓建為30層時，每平方米平均開發(fā)費用最低 14提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)解(1)由題意：當0x20時，v(x)60；當20x200時，設(shè)v(x)axb再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當x20時，其最大值為60201 200；當20x200時，f(x)x(200x)2，當且僅當x200x，即x100時，等號成立所以，當x100時，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當車流密度為100 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時.