28、線y＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程．
[錯解] ∵y′＝3x2－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3×12－2＝1.
∴切線方程為：y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
[錯因分析] 錯把(1，－1)當切點．
[正解] 設P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為
y′＝3x－2.
∴切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切線過點(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切線方程為y－(1－2)＝
29、(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
[防范措施] 過曲線上的點(1，－1)的切線與曲線的切點可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1).本題錯誤的根本原因就是把(1，－1)當成了切點.解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點.
補救訓練4 已知函數(shù)f(x)＝aln x－2ax＋b，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是y＝2x＋1，則a＋b的值是________．
答案 －3
解析 因
30、為f′(x)＝－2a，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線的斜率為2，所以f′(1)＝－a＝2，所以a＝－2，f(x)＝－2ln x＋4x＋b，由切線方程可得f(1)＝3，所以f(1)＝4＋b＝3，可得b＝－1.所以a＋b＝－3.
極值的概念不清致誤
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________.
[錯解] 由已知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，則
解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，
故a＋b＝－7或a＋b＝0.
[錯因分析] x＝1是f(x)的極值點?f′(1)＝0；
忽視了“f′(1)＝0x＝1是f(x
31、)的極值點”的情況．
[正解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數(shù)取得極值10，
得
聯(lián)立①②得或
當a＝4，b＝－11時，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1兩側的符號相反，符合題意．
當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側的符號相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去．
綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
[答案] －7
[防范措施] “函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導函數(shù)f(x)在x＝x0處取極值”的必
32、要條件誤作充要條件.
對于可導函數(shù)f(x)：x0是極值點的充要條件是x0點兩側導數(shù)異號，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符號：“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；“左負右正”?f(x)在x0處取極小值，而不僅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0為極值點的必要而不充分條件.對于給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f′(x0)＝0，又考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則易產生增根.
補救訓練5 [2016·蘭州質檢]函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－1)∪(2，
33、＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因為f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即36a2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.即a的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
函數(shù)零點求解討論不全致誤
函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實數(shù)零點，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C.(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)
[錯解] 若Δ＝0，解得m＝1；若Δ>0，則x1·x2＝<0，解得m<0，故選C.
[錯因分析] 沒有對m是否為零進行討論．
[正解] 當m＝0時，x＝為函數(shù)的
34、零點；當m≠0時，若Δ＝0，即m＝1時，x＝1是函數(shù)唯一的零點，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個正根一個負根，即mf(0)<0，即m<0.故選B.
[答案] B
[防范措施] 解決此類問題的關鍵是對參數(shù)的討論要全面，對函數(shù)零點的定理使用要正確，如本題錯解中忽略了對m＝0的討論.
補救訓練6 [2016·東三省聯(lián)考]已知在區(qū)間[－4,4]上f(x)＝g(x)＝－x2－x＋2(－4≤x≤4)，給出下列四個命題：
①函數(shù)y＝f[g(x)]有三個零點；
②函數(shù)y＝g[f(x)]有三個零點；
③函數(shù)y＝f
35、[f(x)]有六個零點；
④函數(shù)y＝g[g(x)]有且只有一個零點．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B．2
C.3 D．4
答案 D
解析 如圖，畫出f(x)，g(x)的草圖．
①設t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t＝g(x)有三個不同值，由于y＝g(x)是減函數(shù)，所以f[g(x)]＝0有3個解，所以①正確；
②設m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，則m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，由圖象知對應f(x)＝x0∈(1,2)的解有3個，所以②正確；
③設n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)
36、＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1個解，f(x)＝0對應有3個解，f(x)＝x2＝2對應有2個解，所以f[f(x)]＝0共有6個解，所以③正確；
④設s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1,2)，則g(x)＝x3，因為y＝g(x)是減函數(shù)，所以方程g(x)＝x3只有1個解，所以④正確.
導數(shù)與單調性的關系理解不準致誤
函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．
[錯解] 由f(x)＝ax3－x2＋x－5得f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)>
37、0，得解得a>.
[錯因分析] f(x)在R上是增函數(shù)等價于f′(x)≥0在R上恒成立．漏掉了f′(x)＝0的情況．
[正解] f(x)＝ax3－x2＋x－5的導數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)≥0，得解得a≥.
[答案] a≥
[防范措施] f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調遞增(遞減)的充分不必要條件.實際上，對可導函數(shù)f(x)而言，f(x)在(a，b)上為單調增(減)函數(shù)的充要條件為：對于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.在解題時，若求單調區(qū)間，一般用充分條件即可.若由單調
38、性求參數(shù)，一般用充要條件即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否則容易漏解.
補救訓練7 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，易知y＝－x＋在上單調遞減，所以max＝，所以2a≥，解得a≥.選D.
三、三角函數(shù)、解三角形、平面向量
1α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等．
任意角
39、的三角函數(shù)的定義：設α是任意一個角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關．
2同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關系：tanα＝.
(3)誘導公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限
角
－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
正弦
－sinα
sinα
－sinα
－sinα
cosα
余弦
cosα
－cosα
－cosα
cosα
sinα
3三角函數(shù)的
40、圖象與性質
(1)五點法作圖；
(2)對稱軸：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；
對稱中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z.
(3)單調區(qū)間：
y＝sinx的增區(qū)間：(k∈Z)，
減區(qū)間：(k∈Z)；
y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tanx的增區(qū)間：(k∈Z)．
(4)周期性與奇偶性：
y＝sinx的最小正周期為2π，為奇函數(shù)；y＝cosx的最小正周期為2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的最小正周期為π，為奇函數(shù)．
41、易錯警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，容易出現(xiàn)以下錯誤：
(1)不注意ω的符號，把單調性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反；
(2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z；
(3)書寫單調區(qū)間時，錯把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應寫為.
4兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
sin2α＝2sinαcosα.
cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－
42、β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
5三角變換基本方法：化切為弦、降冪升冪、用三角公式轉化出特殊角、異角化同角、異名化同名．
6解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解，要結合具體情況進行取舍．在△ABC中A>B?sinA>sinB.
(2)余弦
43、定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀．
7解三角形的實際應用問題注意區(qū)分俯角和仰角，方位角和方向角的不同．
8數(shù)0與零向量有區(qū)別，0的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書寫時要注意，否則有質的不同．
9平面向量的基本概念及線性運算
(1)加、減法的平行四邊形與三角形法則：＋＝；－＝.
(2)向量滿足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(3)實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記為λa，其長度和方向規(guī)定如下：
①|λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa與a
44、同向；λ<0，λa與a反向；λ＝0或a＝0，λa＝0.
(4)平面向量的兩個重要定理
①向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．
10向量的平行與垂直
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
0看成與任意向量平行，特別在書寫時要注意，否則有質的不同．
11
45、當a·b＝0時，不一定得到a⊥b，當a⊥b時，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行．
12向量的數(shù)量積
|a|2＝a2＝a·a，
a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，
cosθ＝＝，
a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.
注意：〈a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向；
〈a，b〉為直角?a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向．
13兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價．
14向量a
46、在向量b上的投影|a|cosθ是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以是零．
15幾個向量常用結論
(1)＋＋＝0?P為△ABC的重心；
(2)·＝·＝·?P為△ABC的垂心；
(3)向量λ(λ≠0)所在直線過△ABC的內心；
(4)||＝||＝||?P為△ABC的外心．
忽視角的范圍致誤
已知sinα＝，sinβ＝，且α，β為銳角，則α＋β＝________.
[錯解] ∵α、β為銳角，
∴cosα＝＝，cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π.
[錯因分析] 錯
47、解中沒有注意到0<α＋β<π，對于正弦值可能會有兩個解，而利用余弦求解，利用正負關系即可判斷．
[正解] 因為α，β為銳角，
所以cosα＝＝，
cosβ＝＝.
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
又因為0<α＋β<π，所以α＋β＝.
[答案]
[防范措施] 對三角函數(shù)的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍；本題中(0，π)中角和余弦值一一對應，最好在求角時選擇計算cos(α＋β)來避免增解.
補救訓練1 [2016·嘉興測試]已知α為鈍角，sin＝，則sin＝________.
答案?。?
48、
解析 cos＝sin＝?cos－α＝，因為α為鈍角，即<α<π?－<－α<－，所以sin<0，
則sin＝－＝－.
三角函數(shù)圖象平移致誤
函數(shù)y＝3sin的圖象可由函數(shù)y＝3sin2x的圖象( )
A.向左平移個單位長度得到
B.向右平移個單位長度得到
C.向左平移個單位長度得到
D.向右平移個單位長度得到
[錯解] A
[錯因分析] 在三角函數(shù)圖象變換時，對于先進行伸縮變換再進行平移變換的平移量搞錯．
[正解] y＝3sin＝3sin，
∴只需將y＝3sin2x的x換成x＋即可．
∴y＝3sin2x的圖象向左平移個單位長度，
得到y(tǒng)＝3sin的圖象．
[
49、答案] C
[防范措施] 三角函數(shù)圖象變換時，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右減，即x＋a是f(x)向左平移a個單位，x－a是f(x)向右平移a個單位．我們所說的平移多少是對x說的，即“對x說話”．解決此類問題的辦法一般是先平移后伸縮．在平移時，如x有系數(shù)ω，則先寫成ω(x＋φ)的形式．
補救訓練2 將函數(shù)h(x)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象( )
A.關于直線x＝0對稱
B.關于直線x＝1對稱
C.關于(1,0)點對稱
D.關于(0,1)點對稱
答案 D
解析 依題意，將h(x
50、)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位后得y＝2sin2x－＋＋2，即f(x)＝2sin＋2的圖象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象關于點(0,1)對稱.
三角函數(shù)的單調性判斷致誤
函數(shù)y＝sin的單調區(qū)間是________．
[錯解] 函數(shù)y＝sin的單調遞增區(qū)間為2kπ－≤－x≤2kπ＋，解得3kπ＋≤x≤3kπ＋π；單調遞減區(qū)間為2kπ＋≤－≤2kπ＋，解得3kπ－π≤x≤3kπ－，其中k∈Z.
[錯因分析] 受思維定勢，按函數(shù)y＝sin的單調區(qū)間的判斷方法求解．
[正解] 原函數(shù)變形為y＝－sin，令u＝－，則只需求y
51、＝sinu的單調區(qū)間即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上單調遞增；y＝sinu在2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上單調遞減．
故y＝sin＝－sinu的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)，單調遞增區(qū)間為，(k∈Z)．
[答案] 單調增區(qū)間為(k∈Z)，單調減區(qū)間為(k∈Z)
[防范措施] 當題目涉及f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性質時，要將ωx＋φ視為整體，再與y＝sinx的相關性質對應，同時注意ω與零的大小.
補救訓練3 [2016·?？谡{研]已知函數(shù)f(x)＝sin2(ωx)－(ω>0)的最小正
52、周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a個單位(a>0)，所得圖象關于原點對稱，則實數(shù)a的最小值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依題意得f(x)＝－＝－cos2ωx，最小正周期T＝＝，ω＝2，f(x)＝－cos4x，將f(x)＝－cos4x的圖象向右平移a個單位后得到的是函數(shù)g(x)＝－cos[4(x－a)]的圖象. 又函數(shù)g(x)的圖象關于原點對稱，因此有g(0)＝－cos4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正實數(shù)a的最小值是，選D.
解三角形多解、漏解致誤
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝.
(1)
53、若C＝，求A；
(2)若A＝，求b.
[錯解] (1)在△ABC中，＝，
∴sinA＝＝，∴A＝或.
(2)由＝，得sinC＝＝.
∴C＝，由C＝知B＝，
∴b＝＝2.
[錯因分析] 在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.這樣就出現(xiàn)丟解的錯誤．
[正解] (1)由正弦定理得＝，
即sinA＝＝.
又a
54、，∴b＝2；當C＝時，B＝，∴b＝1.
綜上所述，b＝2或b＝1.
[防范措施] 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論，討論的根據(jù)一是所求的正弦值是否合理，當正弦值小于等于1時，還應判斷各角之和與180°的關系；二是兩邊的大小關系.
補救訓練4 [2016·鄭州質檢]在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sinsin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范圍．
解 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，
化簡得sinA＝，故A＝或.
(2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sinB
55、，c＝2sinC，
故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝
3sinB－cosB＝2sin.
因為b≥a，所以≤B<，≤B－<.
所以2b－c＝2sin∈[，2).
向量夾角定義不明致誤
已知等邊△ABC的邊長為1，則·＋·＋·＝________.
[錯解] ∵△ABC為等邊三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、間的夾角均為60°.
∴·＝·＝·＝.
∴·＋·＋·＝.
[錯因分析] 數(shù)量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，這里θ是a與b的夾角，本題中與夾角不是∠C.兩向量的夾角應為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應
56、是∠ACD.
[正解] 如圖與的夾角應是∠ACB的補角∠ACD，
即180°－∠ACB＝120°.
又||＝||＝||＝1，
所以·＝||||cos120°＝－.同理得·＝·＝－.
故·＋·＋·＝－.
[答案]?。?
[防范措施] 在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤.平面向量與三角函數(shù)的結合，主要是指題設條件設置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實質變成純三角問題.
補救訓練5 [2016·南昌一模]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，＝3，若P是BC邊上的動點，則·的取值范圍是________．
答案 [2,6]
57、
解析 因為AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，AB＝2.又因為＝3，所以＝，設＝t，則0≤t≤1，＝＋＝＋t，＝＋＝＋，所以·＝(＋t)·＝2＋t·＋·＋t2＝8＋t×4×2cos135°＋×4×2cos135°＋t×42＝2＋4t.因為0≤t≤1，所以2≤2＋4t≤6，即·的取值范圍是[2,6].
忽略向量共線致誤
已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________．
[錯解] ∵cosθ＝＝，
因θ為銳角，有cosθ>0，∴>0?2λ＋1>0，
得λ>－，λ的取值范圍是.
[錯因分析
58、] 當向量a，b同向時，θ＝0，cosθ＝1滿足cosθ>0，但不是銳角．
[正解] 因θ為銳角，有00且a，b不同向；②θ為直角?a·b＝0；③θ為鈍角?a·b<0且a，b不反向.
補救訓練6 設兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為.若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍．
解 ∵2te1＋7e2與e1＋te2的夾角
59、為鈍角，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0
且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)．
由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0，
∴－7
60、數(shù)列的有關概念
(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差數(shù)列的通項：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差數(shù)列的前n項和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
(4)等差中項：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A＝.
3等差數(shù)列的性質
(1)當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.
(2)若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則
61、為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列．
(3)當m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.
4等比數(shù)列的有關概念
(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．
(2)等比數(shù)列的通項：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比數(shù)列的前n項和：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
易錯警示：由于等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要分q＝1和q≠1兩種情形討
62、論求解．
(4)等比中項：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，即為±.
5等比數(shù)列的性質
當m＋n＝p＋q時，則有am·an＝ap·aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am·an＝a.
6數(shù)列求和的方法
(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法．
如：＝－；＝.
7在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示．
8不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正
63、負，從而出錯．
9兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進行．
10含參數(shù)不等式求解的通法是“定義域是前提，函數(shù)增減性是基礎，分類討論是關鍵”．注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是……”．注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集．
11利用基本不等式a＋b≥2以及變式ab≤2等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b∈R＋(或a，b非負)，ab或a＋b應是定值，特別要注意等號成立的條件．
12解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解．
數(shù)列an與Sn的關系不清致誤
已知數(shù)列{an}的前n項之和為S
64、n＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
[錯解] an＝2n
[錯因分析] 若an＝2n，則a1＝2，事實上a1＝S1＝3.
[正解] 當n＝1時，a1＝S1＝3；
當n≥2時，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
∴an＝
[答案] an＝
[防范措施] 本題的失分原因是沒有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下才能成立．這是由于對數(shù)列概念理解不透徹所致．在解關于由Sn求an的題目時，按兩步進行討論，可避免出錯．①當n＝1時，a1＝S1；②當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.檢驗a1是否適合由②求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符
65、合，則用分段函數(shù)：
an＝來表達．
補救訓練1 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
解 (1)證明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，
得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，
所以－＝2(n≥2，n∈N*)，故是等差數(shù)列．
(2)由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，
所以an＝
忽視等比數(shù)列中q的分類討論致誤
設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是___
66、_____．
[錯解] 由S3＋S6＝S9得
＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q6－1)(q3－1)＝0
∵q≠1，∴q6＝1，q＝－1.
[錯因分析] 當q＝1時，符合要求．很多考生在做本題時都想當然地認為q≠1.
[正解]?、佼攓＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②當q≠1時，由S3＋S6＝S9，
得＋＝.
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
[答案] 1或－1
[防范措施] 在表示等比數(shù)列{an}的前n項和時，考生只想到Sn＝，把q＝1的情況不自覺地排除在外，這是對前n項和公式理解不透徹所致．解等比數(shù)列的問題，一定要注意對公比的分類討論，這是防止出錯的一個很好方法．
補救訓練2 [2016·湖北八校聯(lián)考]在等比數(shù)列{an}中，a3＝，S3＝.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解 (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，
則由題意得S3＝
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