10、的面積S△ABC＝acsinB＝.
構(gòu)建解題程序 第一步：運(yùn)用正弦定理，將邊化為角的關(guān)系，進(jìn)而由角的范圍及tanC＝1，求角C.
第二步：化三角函數(shù)為sin(x＋φ)的形式．
第三步：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，求出A，B.
第四步：利用余弦定理與面積公式求S△ABC.
第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟．
批閱筆記 1.①本題第(1)、(3)問的求解關(guān)鍵充分運(yùn)用條件特征，靈活運(yùn)用正余弦定理，完成邊角的轉(zhuǎn)化．
②第(2)問注意到A、B關(guān)系，逆用兩角和的正弦公式．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：①第(2)問中，忽視角的取值范圍，推理計(jì)算不嚴(yán)謹(jǐn)；
②不會(huì)將cos轉(zhuǎn)化為cos(π－A)，導(dǎo)
11、致求解復(fù)雜化，使得求錯(cuò)結(jié)論；
③抓不住第(3)問的條件特征，盲目代入，無果而終.
模板三 數(shù)列的通項(xiàng)與求和
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數(shù)列{bn}中，bn>0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.
審題視角 (1)→→→
(2)→→
→
解 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)．
∵an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)
12、，即an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)．而a2＝2a1＋1＝3，
∴a2＝3a1.
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴an＝3n－1(n∈N*)．
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.
在等差數(shù)列{bn}中，
∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
則有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.
∵bn>0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2.
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1
13、(n∈N*)．
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n.②
∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n.
構(gòu)建解題程序 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.
第二步：令n≥2，構(gòu)造an＝Sn－Sn－1，用an代換Sn－Sn－1(或用Sn
14、－Sn－1代換an，這要結(jié)合題目特點(diǎn))，由遞推關(guān)系求通項(xiàng)．
第三步：驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)n≥2時(shí)的結(jié)論．如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示．
第四步：寫出明確規(guī)范的答案．
第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．本題的易錯(cuò)點(diǎn)，易忽略對(duì)n＝1和n≥2分兩類進(jìn)行討論，同時(shí)忽視結(jié)論中對(duì)二者的合并．
批閱筆記 1.本題第(1)問利用Sn與an的關(guān)系，根據(jù)遞推關(guān)系式可得an與an＋1的關(guān)系，從而判斷{an}是等比數(shù)列可求其通項(xiàng)公式；而{bn}中可設(shè)出公差d利用題中條件解方程組得b1，d，即知{bn}的通項(xiàng)公式．第(2)問根據(jù){an，bn}的通項(xiàng)公式特點(diǎn)可知求其和
15、Tn時(shí)用錯(cuò)位相減法．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：①第(1)問求an時(shí)忘記檢驗(yàn)a2與a1的關(guān)系即n＝1時(shí)的情況，且求{bn}的公差d時(shí)忽略bn>0從而導(dǎo)致多解．②第(2)問用錯(cuò)位相減法時(shí)容易發(fā)生計(jì)算失誤，尤其是項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的符號(hào).
模板四 概率與統(tǒng)計(jì)
某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組．為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：
(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)
其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失??；b，分別表示乙組研發(fā)成功和失敗．
(1)若某組成功研發(fā)
16、一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分．試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率．
審題視角 第(1)問，直接利用方差的公式求解；第(2)問，利用古典概型的概率公式求解．
解 (1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?
1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.
其平均數(shù)為甲＝＝；
方差為s＝＝.
乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1.
其平均數(shù)為乙＝＝；
方差為s＝＝.
因?yàn)榧?乙，s
17、優(yōu)于乙組．
(2)記E為事件：恰有一組研發(fā)成功，
在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是
(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，
共7個(gè)，故事件E發(fā)生的頻率為.
將頻率視為概率，即得所求概率為P(E)＝.
構(gòu)建解題程序 第一步：統(tǒng)計(jì)成績，計(jì)算平均數(shù)甲、乙，方差s，s.
第二步：利用古典概型公式求概率．
批閱筆記 1.兩組數(shù)據(jù)的平均值、代表平均水平，方差s2代表穩(wěn)定性．古典概型要明確基本事件是什么．
2．常見錯(cuò)誤：(1)計(jì)算平均值、方差出錯(cuò)．(2)古典概型要保證每個(gè)基本事件發(fā)生概率相等，能列出所有結(jié)果．易列錯(cuò)結(jié)果．
模板五 立體幾何
18、
[2016·全國卷Ⅱ]如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)證明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′－ABCFE的體積．
審題視角 (1)利用平行線的判定和性質(zhì)證明；(2)利用線面垂直的判定定理找到五棱錐的高，利用補(bǔ)形法求五邊形的面積，結(jié)合錐體的體積公式求解．
解 (1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.
由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC得
19、＝＝.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.
由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.
又由＝得EF＝.
五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝.
所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝××2＝.
構(gòu)建解題程序 第一步：弄清折疊前后沒有發(fā)生變化的量．
第二步：明確AC與EF的關(guān)系，利用平行線的判定和性質(zhì)證明．
第三步：找到五棱錐的高，利用割
20、補(bǔ)法求出五邊形的面積．
第四步：利用錐體的體積公式求出結(jié)論．
批閱筆記 1.立體幾何中折疊問題要注意，折疊前后異同；通過數(shù)量運(yùn)算，得到平行、垂直位置關(guān)系；體積的等價(jià)轉(zhuǎn)化．以上體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想．
2．常見錯(cuò)誤：(1)折疊前后關(guān)系判斷錯(cuò)誤．(2)計(jì)算錯(cuò)誤．(3)空間立體感不強(qiáng)．
模板六 直線與圓錐曲線
[2016·天津高考]設(shè)橢圓＋＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知＋＝，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，
21、求直線l的斜率的取值范圍．
審題視角 (1)用待定系數(shù)法求解即可；(2)把幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，得出關(guān)于直線l的斜率的不等式，求之即可．
解 (1)設(shè)F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以，橢圓的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝k(x－2)．設(shè)B(xB，yB)，
由方程組消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2，或x＝，由題意得xB＝，從而yB＝.
由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設(shè)H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由B
22、F⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直線MH的方程為y＝－x＋.
設(shè)M(xM，yM)，由方程組消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化簡得xM≥1，即≥1，解得k≤－，或k≥.
所以，直線l的斜率的取值范圍為∪.
構(gòu)建解題程序 第一步：利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程，利用條件進(jìn)行求解．
第二步：設(shè)出直線方程(注意對(duì)斜率k的討論)，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出B點(diǎn)坐標(biāo)．
第三步：依據(jù)BF⊥HF得出點(diǎn)H坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)出MH的直線方程．
第四步：用k表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將∠MOA≤∠MAO轉(zhuǎn)化出|MA|≤|MO|即
23、可得到關(guān)于k的不等式關(guān)系．
第五步：通過解不等式即可求出直線l斜率的取值范圍．
批閱筆記 1.本題第(1)問的關(guān)鍵是利用＋＝得出a與c的關(guān)系式，再由關(guān)系式a2－c2＝b2可求出a的取值．
第(2)問是設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，順次求出點(diǎn)B、H、M的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化∠MOA≤∠MAO條件構(gòu)建不等式進(jìn)行求解．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：①第(1)問不能正確利用a，b，c的關(guān)系準(zhǔn)確求出橢圓方程造成后繼過程不得分．
②第(2)問的運(yùn)算量較大，涉及到的點(diǎn)比較多，容易造成運(yùn)算上的失誤；此外，對(duì)條件∠MOA≤∠MAO不能轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造不出相應(yīng)的不等式關(guān)系，以至于無法進(jìn)行運(yùn)算求解.
模板七 解析幾何中
24、的探索性問題
已知定點(diǎn)C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，求直線AB的方程；
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
審題視角 設(shè)AB的方程y＝k(x＋1)→待定系數(shù)法求k→寫出方程；設(shè)M存在即為(m,0)→求·→在·為常數(shù)的條件下求m.
解 (1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，
將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
25、
則
由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，
得＝－＝－，解得k＝±，適合①.
所以直線AB的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使·為常數(shù)．
(ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.③
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)·(x1＋x2)＋k2＋m2.
將③代入，整理得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.
注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，
從而有6m＋14＝0，m＝－，
此時(shí)·＝.
(ⅱ)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)
26、A、B的坐標(biāo)分別為、，當(dāng)m＝－時(shí)，也有·＝.
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使·為常數(shù)．
構(gòu)建解題程序 第一步：假設(shè)結(jié)論存在．
第二步：以存在為條件，進(jìn)行推理求解．
第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論．若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)．
第四步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．
如本題中第(1)問容易忽略Δ>0這一隱含條件．第(2)問易忽略直線AB與x軸垂直的情況．
批閱筆記 1.第(1)問設(shè)出直線AB的斜率k，寫出AB的方程與橢圓聯(lián)立，通過韋達(dá)定理可得出AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求出k.即得AB方程．第(2)問先假設(shè)存在M，再利用·為常數(shù)，探索M點(diǎn)的坐標(biāo)，
27、所謂·為常數(shù)，是指與AB的位置無關(guān)的定值．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：①第(1)問利用＝－求出k未檢驗(yàn)Δ>0.
②第(2)問未對(duì)AB的斜率存在與否進(jìn)行討論，或不能正確理解·為常數(shù)這一條件.
模板八 圓錐曲線中的定值(定點(diǎn))問題
橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M(m，0)，求m的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
28、設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個(gè)定值．
審題視角 (1)依據(jù)題意可建立關(guān)于a與b的方程組；(2)利用角平分線上的點(diǎn)滿足的性質(zhì)，將m用P點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行表示，然后依據(jù)P點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍求出m的范圍；也可利用角平分線定理求解；(3)采用直接推理的方法，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示，并在計(jì)算過程中消去，得出所求定值．
解 (1)由于c2＝a2－b2，
將x＝－c代入橢圓方程＋＝1，得y＝±.
由題意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)解法一：設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F(xiàn)2(
29、，0)，
所以直線PF1，PF2的方程分別為
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由題意知＝
由于點(diǎn)P在橢圓上，所以＋y＝1.
所以＝ .
因?yàn)椋?m<，－2
30、由題意知＝，
所以＝.因?yàn)椋珁＝1，
并且k1＝，k2＝，
所以＝
＝＝，
即＝.
因?yàn)椋?m<，0≤x0<2且x0≠，
所以＝，整理得m＝，
故0≤m<且m≠.
綜合①②可得0≤m<.
當(dāng)－2
31、
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8.
因此＋為定值，這個(gè)定值為－8.
構(gòu)建解題程序 第一步：引進(jìn)參數(shù)，從目標(biāo)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，設(shè)出相關(guān)的參數(shù)．(一般所引入量為斜率、截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等)．
第二步：列出所需要的關(guān)系式：
(1)如果涉及定點(diǎn)，則根據(jù)題設(shè)條件表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線方程求曲線方程；
(2)如果涉及定值，則可直接進(jìn)行運(yùn)算推理．
第三步：(1)探求直線過定點(diǎn)．將直線方程化為y－y0＝k(x－x0)的形式．若是曲線方程，則將方程化為f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式；
(2)探求定值問題則在運(yùn)算過程中可消掉參數(shù)得到定值．
第四步：下結(jié)論．
第五步：回顧反思．在解
32、決圓錐曲線問題中的定點(diǎn)、定值問題時(shí)，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個(gè)參數(shù)為中介，通過證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無關(guān)，達(dá)到解決問題的目的．
批閱筆記 1.第(1)問利用橢圓中a，b，c的關(guān)系求出其值，得到橢圓的方程；第(2)問利用解分線的性質(zhì)建立關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系求出其范圍；第(3)問設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與＋的關(guān)系，可證得結(jié)論．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：第(2)問不能正確利用角平分線的性質(zhì)而得不出m的關(guān)系式；第(3)問在聯(lián)立方程后不能正確利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示k與＋而求不出定值.
模板九 函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題
[2016·蘭州診斷]已知函數(shù)f(x)＝＋ax，x>1.
(1)若f(x)在(1，
33、＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝2，求函數(shù)f(x)的極小值；
(3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
審題視角 (1)求導(dǎo)，由f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立進(jìn)行求解；(2)f′(x)＝0的根進(jìn)行驗(yàn)證確定函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值；(3)將方程根的問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題．
解 (1)f′(x)＝＋a，由題意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤－＝2－.
∵x∈(1，＋∞)，∴l(xiāng)n x∈(0，＋∞)，
∴當(dāng)－＝0時(shí)函數(shù)t＝2－的最小值為－，
∴a≤－.
(2)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝＋
34、2x，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得2ln2 x＋ln x－1＝0，
解得ln x＝或ln x＝－1(舍)，即x＝e.
當(dāng)1e時(shí)，f′(x)>0，
∴f(x)的極小值為f(e)＝＋2e＝4e.
(3)將方程(2x－m)ln x＋x＝0兩邊同除以ln x得(2x－m)＋＝0，
整理得＋2x＝m，
即函數(shù)g(x)＝＋2x的圖象與函數(shù)y＝m的圖象在(1，e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
由(2)可知，g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，e]上單調(diào)遞增，g(e)＝4e，g(e)＝3e，當(dāng)x→1時(shí)，→＋∞，
∴4e
35、e，3e]．
構(gòu)建解題程序 第一步：先確定函數(shù)的定義域，然后對(duì)f(x)求導(dǎo)．
第二步：求方程f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根．
第三步：利用f′(x)＝0的根和區(qū)間端點(diǎn)的x的值，從小到大順次將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列出表格．
第四步：由f′(x)的正負(fù)，確定f(x)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．
第五步：確定結(jié)論．
批閱筆記 1.第(1)問解題時(shí)要注意利用單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)；第(2)問要注意極值滿足的條件，否則易失分；第(3)問要注意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系求解．
2．本題易錯(cuò)點(diǎn)：
①第(1)問易丟掉區(qū)間端點(diǎn)；
②第(2)問易忽略函數(shù)f(x)的定義域而造成失分；
③第(3)問不能
36、進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，造成錯(cuò)解.
模板十 函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式問題
已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex和g(x)＝kx3－x－2.
(1)若函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
解 (1)依題意知，g′(x)＝3kx2－1.
①當(dāng)k≤0時(shí)，g′(x)＝3kx2－1≤0，所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，不滿足題意；
②當(dāng)k>0時(shí)，g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，
所以1<<2，解得
37、
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝(x－2)ex－kx3＋x＋2，
依題意可知h(x)＝(x－2)ex－kx3＋x＋2≥0在[0，＋∞)上恒成立，
h′(x)＝(x－1)ex－3kx2＋1，令φ(x)＝h′(x)＝(x－1)ex－3kx2＋1，
則φ(0)＝h′(0)＝0且φ′(x)＝x(ex－6k)，
①當(dāng)6k≤1，即k≤時(shí)，
因?yàn)閤≥0，ex≥1，所以φ′(x)＝x(ex－6k)≥0，
所以函數(shù)φ(x)即h′(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，h′(x)≥h′(0)＝0，
所以h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)閔(0)＝0，所以h(x
38、)≥0在[0，＋∞)上恒成立，滿足題意；
②當(dāng)6k>1，即k>時(shí)，
當(dāng)x∈(0，ln (6k))時(shí)，φ′(x)＝x(ex－6k)<0，函數(shù)φ(x)即h′(x)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈(0，ln (6k))時(shí)，h′(x)
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