2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 2 圓的參數(shù)方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

2圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程(1)在t時刻，圓周上某點M轉(zhuǎn)過的角度是，點M的坐標是(x，y)，那么t(為角速度)設(shè)|OM|r，那么由三角函數(shù)定義，有cos t，sin t，即圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(t為參數(shù))其中參數(shù)t的物理意義是：質(zhì)點做勻速圓周運動的時刻 (2)若取為參數(shù)，因為t，于是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))其中參數(shù)的幾何意義是：OM0(M0為t0時的位置)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度(3)若圓心在點M0(x0，y0)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為(02)求圓的參數(shù)方程例1根據(jù)下列要求，分別寫出圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程(1)在y軸左側(cè)的半圓(不包括y軸上的點)；(2)在第四象限的圓弧解(1)由題意，圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0,2)，在y軸左側(cè)半圓上點的橫坐標小于零，即xrcos <0，所以有<<，故其參數(shù)方程為.(2)由題意，得解得<<2.故在第四象限的圓弧的參數(shù)方程為.(1)確定圓的參數(shù)方程，必須仔細閱讀題目所給條件，否則，就會出現(xiàn)錯誤，如本題易忽視的范圍而致誤(2)由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程1已知圓的方程為x2y22x，寫出它的參數(shù)方程解：x2y22x的標準方程為(x1)2y21，設(shè)x1cos ，ysin ，則參數(shù)方程為(02)2已知點P(2,0)，點Q是圓上一動點，求PQ中點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解：設(shè)中點M(x，y)則即(為參數(shù))這就是所求的軌跡方程它是以(1,0)為圓心，為半徑的圓.圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例2若x，y滿足(x1)2(y2)24，求2xy的最值思路點撥(x1)2(y2)24表示圓，可考慮利用圓的參數(shù)方程將求2xy的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題解令x12cos ，y22sin ，則有x2cos 1，y2sin 2，故2xy4cos 22sin 24cos 2sin 2sin()，22xy2，即2xy的最大值為2，最小值為2.圓的參數(shù)方程突出了工具性作用，應(yīng)用時，把圓上的點的坐標設(shè)為參數(shù)方程形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識解決問題3已知圓C與直線xya0有公共點，求實數(shù)a的取值范圍解：將圓C的方程代入直線方程，得cos 1sin a0，即a1(sin cos )1sin.1sin1，1a1.故實數(shù)a的取值范圍為1，1一、選擇題1已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則圓的圓心坐標為()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)解析：選D將化為(x2)2y24，其圓心坐標為(2,0)2已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則圓心到直線yx3的距離為()A1 B.C2 D2解析：選B圓的參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為(x1)2y22，圓心(1,0)到直線yx3的距離d，故選B.3若直線yaxb經(jīng)過第二、三、四象限，則圓(為參數(shù))的圓心在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限解析：選B根據(jù)題意，若直線yaxb經(jīng)過第二、三、四象限，則有a<0，b<0.圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，圓心坐標為(a，b)，又由a<0，b<0，得該圓的圓心在第三象限，故選B.4P(x，y)是曲線(為參數(shù))上任意一點，則(x5)2(y4)2的最大值為()A36 B6C26 D25解析：選A設(shè)P(2cos ，sin )，代入得，(2cos 5)2(sin 4)225sin2cos26cos 8sin 2610sin()，所以其最大值為36.二、填空題5x1與圓x2y24的交點坐標是_解析：圓x2y24的參數(shù)方程為(為參數(shù))令2cos 1，得cos ，sin .交點坐標為(1，)和(1，)答案：(1，)，(1，)6曲線(為參數(shù))與直線xy10相交于A，B兩點，則|AB|_.解析：根據(jù)題意，曲線(為參數(shù))的普通方程為x2(y1)21，表示圓心坐標為(0,1)，半徑r1的圓，而直線的方程為xy10，易知圓心在直線上，則AB為圓的直徑，故|AB|2r2.答案：27在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l的極坐標方程為sin 1，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則直線l與圓C相交所得的弦長為_解析：直線l的極坐標方程為sin1，展開可得sin cos 1，化為直角坐標方程為xy20，圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為(x2)2(y)24，可得圓心坐標為(2，)，半徑r2.圓心C到直線l的距離d.直線l與圓C相交所得弦長22 .答案：三、解答題8將參數(shù)方程(t為參數(shù)，0t)化為普通方程，并說明方程表示的曲線解：因為0t，所以3x5，2y2.因為所以(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，所以曲線的普通方程為(x1)2(y2)216(3x5，2y2)它表示的曲線是以點(1，2)為圓心，4為半徑的上半圓9在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標為，即.10在極坐標系中，已知三點O(0,0)，A，B.(1)求經(jīng)過點O，A，B的圓C1的極坐標方程；(2)以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓C2的參數(shù)方程為(是參數(shù))，若圓C1與圓C2外切，求實數(shù)a的值解：(1)O(0,0)，A，B對應(yīng)的直角坐標分別為O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，則過點O，A，B的圓的普通方程為x2y22x2y0，將代入可求得經(jīng)過點O，A，B的圓C1的極坐標方程為2cos.(2)圓C2：(是參數(shù))對應(yīng)的普通方程為(x1)2(y1)2a2，圓心為(1，1)，半徑為|a|，由(1)知圓C1的圓心為(1,1)，半徑為，所以當圓C1與圓C2外切時，有|a|，解得a.