2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 2 圓的參數(shù)方程講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 2 圓的參數(shù)方程講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
2圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程(1)在t時刻,圓周上某點M轉(zhuǎn)過的角度是,點M的坐標是(x,y),那么t(為角速度)設(shè)|OM|r,那么由三角函數(shù)定義,有cos t,sin t,即圓心在原點O,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(t為參數(shù))其中參數(shù)t的物理意義是:質(zhì)點做勻速圓周運動的時刻 (2)若取為參數(shù),因為t,于是圓心在原點O,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))其中參數(shù)的幾何意義是:OM0(M0為t0時的位置)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時,OM0轉(zhuǎn)過的角度(3)若圓心在點M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(02)求圓的參數(shù)方程例1根據(jù)下列要求,分別寫出圓心在原點,半徑為r的圓的參數(shù)方程(1)在y軸左側(cè)的半圓(不包括y軸上的點);(2)在第四象限的圓弧解(1)由題意,圓心在原點,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0,2),在y軸左側(cè)半圓上點的橫坐標小于零,即xrcos <0,所以有<<,故其參數(shù)方程為.(2)由題意,得解得<<2.故在第四象限的圓弧的參數(shù)方程為.(1)確定圓的參數(shù)方程,必須仔細閱讀題目所給條件,否則,就會出現(xiàn)錯誤,如本題易忽視的范圍而致誤(2)由于選取的參數(shù)不同,圓有不同的參數(shù)方程1已知圓的方程為x2y22x,寫出它的參數(shù)方程解:x2y22x的標準方程為(x1)2y21,設(shè)x1cos ,ysin ,則參數(shù)方程為(02)2已知點P(2,0),點Q是圓上一動點,求PQ中點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線解:設(shè)中點M(x,y)則即(為參數(shù))這就是所求的軌跡方程它是以(1,0)為圓心,為半徑的圓.圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例2若x,y滿足(x1)2(y2)24,求2xy的最值思路點撥(x1)2(y2)24表示圓,可考慮利用圓的參數(shù)方程將求2xy的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題解令x12cos ,y22sin ,則有x2cos 1,y2sin 2,故2xy4cos 22sin 24cos 2sin 2sin(),22xy2,即2xy的最大值為2,最小值為2.圓的參數(shù)方程突出了工具性作用,應(yīng)用時,把圓上的點的坐標設(shè)為參數(shù)方程形式,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)知識解決問題3已知圓C與直線xya0有公共點,求實數(shù)a的取值范圍解:將圓C的方程代入直線方程,得cos 1sin a0,即a1(sin cos )1sin.1sin1,1a1.故實數(shù)a的取值范圍為1,1一、選擇題1已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則圓的圓心坐標為()A(0,2)B(0,2)C(2,0) D(2,0)解析:選D將化為(x2)2y24,其圓心坐標為(2,0)2已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則圓心到直線yx3的距離為()A1 B.C2 D2解析:選B圓的參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為(x1)2y22,圓心(1,0)到直線yx3的距離d,故選B.3若直線yaxb經(jīng)過第二、三、四象限,則圓(為參數(shù))的圓心在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限解析:選B根據(jù)題意,若直線yaxb經(jīng)過第二、三、四象限,則有a<0,b<0.圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓心坐標為(a,b),又由a<0,b<0,得該圓的圓心在第三象限,故選B.4P(x,y)是曲線(為參數(shù))上任意一點,則(x5)2(y4)2的最大值為()A36 B6C26 D25解析:選A設(shè)P(2cos ,sin ),代入得,(2cos 5)2(sin 4)225sin2cos26cos 8sin 2610sin(),所以其最大值為36.二、填空題5x1與圓x2y24的交點坐標是_解析:圓x2y24的參數(shù)方程為(為參數(shù))令2cos 1,得cos ,sin .交點坐標為(1,)和(1,)答案:(1,),(1,)6曲線(為參數(shù))與直線xy10相交于A,B兩點,則|AB|_.解析:根據(jù)題意,曲線(為參數(shù))的普通方程為x2(y1)21,表示圓心坐標為(0,1),半徑r1的圓,而直線的方程為xy10,易知圓心在直線上,則AB為圓的直徑,故|AB|2r2.答案:27在平面直角坐標系中,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l的極坐標方程為sin 1,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則直線l與圓C相交所得的弦長為_解析:直線l的極坐標方程為sin1,展開可得sin cos 1,化為直角坐標方程為xy20,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為(x2)2(y)24,可得圓心坐標為(2,),半徑r2.圓心C到直線l的距離d.直線l與圓C相交所得弦長22 .答案:三、解答題8將參數(shù)方程(t為參數(shù),0t)化為普通方程,并說明方程表示的曲線解:因為0t,所以3x5,2y2.因為所以(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16,所以曲線的普通方程為(x1)2(y2)216(3x5,2y2)它表示的曲線是以點(1,2)為圓心,4為半徑的上半圓9在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為2cos ,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:yx2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標解:(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t)(2)設(shè)D(1cos t,sin t)由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan t,t.故D的直角坐標為,即.10在極坐標系中,已知三點O(0,0),A,B.(1)求經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標方程;(2)以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,圓C2的參數(shù)方程為(是參數(shù)),若圓C1與圓C2外切,求實數(shù)a的值解:(1)O(0,0),A,B對應(yīng)的直角坐標分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過點O,A,B的圓的普通方程為x2y22x2y0,將代入可求得經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標方程為2cos.(2)圓C2:(是參數(shù))對應(yīng)的普通方程為(x1)2(y1)2a2,圓心為(1,1),半徑為|a|,由(1)知圓C1的圓心為(1,1),半徑為,所以當圓C1與圓C2外切時,有|a|,解得a.