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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼
第2講 平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算
一、選擇題
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b( )．
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線
解析 由題意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y軸．
答案 C
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
2、 D．(－5，－10)
解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案 C
3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為
( )．
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析 設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4
3、b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故選D.
答案 D
4． 已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝ ( )．
A. B. C．1 D．2
解析 依題意得a＋λb＝(1＋λ，2)，
由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.
答案 B
5. 若向量=（1,2），=（3,4），則=( )
A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)
解析 因?yàn)?+=,所以選A.
4、
答案 A
6．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為 ( )．
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
解析 ∵a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2,2)，
即a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)．
答案 D
二、填空題
7．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,
5、0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為_(kāi)_______．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
8．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析 設(shè)a＝λb(λ＜0)，則|a|＝|λ||b|，
∴|λ|＝，
又|b|＝，|a|＝2.
∴|λ|＝2，∴λ＝－2.
∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
9．設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，
6、B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為_(kāi)_______．
解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥.
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.
∴＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)．
∴＋的最小值是8.
答案 8
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點(diǎn)A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析 由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形．設(shè)D(x，y)，則有＝，即(6,8)－(
7、－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．
答案 (0，－2)
三、解答題
11．已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和 的坐標(biāo)．
解析 設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
由題意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因?yàn)椋?，＝－，所以?
和
解得和
所以點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別是(0,4)、(－2,0)，從而＝(－2，－4)．
12．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？
解 法一 k
8、a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
當(dāng)ka＋b與a－3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
∴當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，
這時(shí)ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向．
法二 由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此時(shí)ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴當(dāng)k＝
9、－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且反向．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐標(biāo)；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解 (1)∵＝(cos θ－1，t)，
又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t.①
又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.
當(dāng)t＝1時(shí)，cos θ＝3(舍去)，
當(dāng)t＝－1時(shí)，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)
10、由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋
＝＋＝2－，
∴當(dāng)cos θ＝時(shí)，ymin＝－.
14．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求
(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x軸上，則2＋3t＝0，∴t ＝－；若P在y軸上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，則
∴－＜t＜－.
(2)因?yàn)椋?1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP為平行四邊形，則＝，∵無(wú)解．所以四邊形OABP不能成為平行四邊形．
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高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第五章】平面向量 第2講平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算
