2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題22 不等式選講練習 理.docx

22不等式選講1.已知函數(shù)f(x)=m-|x-3|,mR,不等式f(x)>2的解集為x|2<x<4.(1)求實數(shù)m的值;(2)若關于x的不等式|x-a|f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)因為f(x)=m-|x-3|,所以由f(x)>2,得m-|x-3|>2,所以5-m<x<m+1.因為不等式f(x)>2的解集為(2,4),所以5-m=2且m+1=4,解得m=3.(2)關于x的不等式|x-a|f(x)恒成立,等價于|x-a|+|x-3|3恒成立,即|a-3|3恒成立,解得a6或a0.2.已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)當m=-1時,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含34,2,求m的取值范圍.解析(1)當m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|,當x1時,f(x)=3x-22,解得1x43;當12<x<1時,f(x)=x2,解得12<x<1;當x12時,f(x)=2-3x2,解得0x12.綜上可知,原不等式的解集為x|0x43.(2)當x34,2時,f(x)=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1|2x+1|=2x+1.從而可得|x+m|2,即-2x+m2,即-2-mx2-m.由題意知f(x)|2x+1|在34,2上恒成立,所以-2-m34且2-m2,解得-114m0,因此m的取值范圍為-114,0.3.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=2時,求不等式f(x)>1的解集;(2)當x(0,1)時,不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=2時,f(x)=|x+1|-|2x-1|,即f(x)=x-2,x-1,3x,-1<x<12,2-x,x12,由f(x)>1得x-2>1,x-1或3x>1,-1<x<12或2-x>1,x12,解得13<x<12或12x<1.故不等式f(x)>1的解集為x|13<x<1.(2)當x(0,1)時,|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x(0,1)時,|ax-1|<1成立.若a0,則當x(0,1)時,|ax-1|1,不合題意;若a>0,由|ax-1|<1,解得0<x<2a,所以2a1,故0<a2.綜上,a的取值范圍為(0,2.4.已知a>0,b>0,a2+b2=a+b.證明:(1)(a+b)22(a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4.解析(1)因為(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20,所以(a+b)22(a2+b2).(2)由(1)及a2+b2=a+b,得0<a+b2.因為(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)22=a+b+2224,當且僅當a=b=1時等號成立,所以(a+1)(b+1)4.能力1會解絕對值不等式【例1】已知函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)若a=1,求不等式f(2x)-f(x+1)2的解集;(2)若f(2x)-x2的解集為R,求a的取值范圍.解析(1)當a=1時,f(x)=|x-1|,則f(2x)-f(x+1)2,即|2x-1|-|x|2.當x0時,原不等式等價于-(2x-1)+x2,解得x-1;當0<x<12時,原不等式等價于-(2x-1)-x2,解得x-13,原不等式無解;當x12時,原不等式等價于2x-1-x2,解得x3.綜上,原不等式的解集為(-,-13,+).(2)由f(2x)-x2,即|2x-a|x+2,可得2x-ax+2或2x-a-(x+2).由2x-ax+2,解得xa+2;由2x-a-(x+2),解得xa-23.要使f(2x)-x2的解集為R,則a-23a+2,解得a-4,故a的取值范圍為(-,-4.解絕對值不等式的關鍵是去絕對值符號,零點分段法是常用的方法,其一般步驟:求零點;劃分區(qū)間,去絕對值符號;分段解不等式;求各段的并集.此外,還常用絕對值的幾何意義,結(jié)合數(shù)軸直觀求解.已知函數(shù)f(x)=|2x+a|-|x-1|.(1)當a=1時,解不等式f(x)>2;(2)當a=0時,不等式f(x)>t2-t-7對xR恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.解析(1)當a=1時,由f(x)>2得|2x+1|-|x-1|>2,故有x<-12,-2x-1+x-1>2或-12x1,2x+1+x-1>2或x>1,2x+1-(x-1)>2,即x<-4或23<x1或x>1,即x<-4或x>23,故原不等式的解集為x|x<-4或x>23.(2)當a=0時,f(x)=|2x|-|x-1|=-x-1,x<0,3x-1,0x1,x+1,x>1,由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)知,f(x)min=f(0)=-1.由-1>t2-t-7得t2-t-6<0,解得-2<t<3,t的取值范圍為(-2,3).能力2會證明不等式【例2】已知實數(shù)a,b,c滿足a(b+c)=4,證明:(1)a2(b2+c2)8;(2)2a2+b2+c28.解析(1)由a(b+c)=4可知a0,兩邊同時平方得a2(b+c)2=16,所以a2(b2+2bc+c2)=16,即b2+2bc+c2=16a2.因為b2+2bc+c22(b2+c2),當且僅當b=c時取等號,所以16a22(b2+c2),所以8a2(b2+c2),即a2(b2+c2)8.(2)因為a(b+c)=4,所以ab+ac=4.因為aba2+b22,aca2+c22,所以ab+aca2+b22+a2+c22,即ab+ac2a2+b2+c22,即42a2+b2+c22,所以2a2+b2+c28,當且僅當a=b=c=2時取等號.所以原命題得證.(1)證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法,其中比較法和綜合法是基礎,且綜合法證明的關鍵是找到證明的切入點.(2)當較難發(fā)現(xiàn)要證的不等式的條件和結(jié)論之間的關系時,可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆.如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的命題,那么考慮用反證法.已知a>0,b>0,且a2+b2=1,證明:(1)4a2+b29a2b2;(2)(a3+b3)2<1.解析(1)a2+b2=1,4a2+b2=(4a2+b2)(a2+b2)=4a4+b4+5a2b24a2b2+5a2b2=9a2b2,當且僅當b2=2a2=23時取得等號,4a2+b29a2b2.(2)a>0,b>0,a,b(0,1),a3<a2,b3<b2,a3+b3<a2+b2,又a2+b2=1,(a3+b3)2<(a2+b2)2=1.能力3會解與絕對值不等式有關的最值問題【例3】設函數(shù)f(x)=|x+2|+|x-1|.(1)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值范圍;(2)若關于x的不等式f(x)+ax-1>0的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)f(x)=|x+2|+|x-1|x+2-(x-1)|=3,函數(shù)f(x)的最小值為3,此時x的取值范圍為-2,1.(2)不等式f(x)+ax-1>0的解集為R,等價于f(x)>-ax+1成立時,即函數(shù)f(x)的圖象恒位于直線y=-ax+1的上方.f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x<-2,3,-2x1,2x+1,x>1,又函數(shù)y=-ax+1表示過點(0,1),斜率為-a的一條直線,如圖所示,由題意可知,3-1-2-0<-a<3-11-0,解得-2<a<1.實數(shù)a的取值范圍為(-2,1).(1)求含絕對值的函數(shù)最值時,常用的方法有三種:利用絕對值的幾何意義;利用絕對值三角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|;利用零點分區(qū)間法.(2)恒成立問題的解決方法:f(x)<m恒成立,須有f(x)max<m;f(x)>m恒成立,須有f(x)min>m;不等式的解集為R,即不等式恒成立;不等式的解集為空集,即不等式無解.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR.(1)若不等式f(x)2-|x-1|有解,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當a<2時,函數(shù)f(x)的最小值為3,求實數(shù)a的值.解析(1)由f(x)2-|x-1|,得x-a2+|x-1|1.由絕對值的幾何意義知x-a2+|x-1|a2-1.不等式f(x)2-|x-1|有解,a2-11,解得0a4.實數(shù)a的取值范圍為0,4.(2)函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|的零點為a2和1,當a<2時,a2<1,f(x)=-3x+a+1x<a2,x-a+1a2x1,3x-a-1(x>1),作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可知f(x)在-,a2上單調(diào)遞減,在a2,+上單調(diào)遞增,f(x)min=fa2=-a2+1=3,解得a=-4<2(符合題意),實數(shù)a的值為-4.1.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2|x|.(2)若f(x)a2+2b2+3c2對任意xR恒成立,求證:ac+2bc78.解析(1) f(x)>2|x|x2+|x-2|>2|x|x2,x2+x-2>2x或0<x<2,x2+2-x>2x或x0,x2+2-x>-2xx>2或0<x<1或x0x>2或x<1,所以不等式f(x)>2|x|的解集為(-,1)(2,+).(2)當x2時,f(x)=x2+x-24;當x<2時,f(x)=x2-x+2=x-122+7474.所以f(x)的最小值為74.因為f(x)a2+2b2+3c2對任意xR恒成立,所以a2+2b2+3c274.又a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)2ac+4bc,當且僅當a=b=c時等號成立,所以ac+2bc78.2.若a>0,b>0,a+b=1.求證:(1)1a+41+b92;(2)2a+1+2b+122.解析(1)a>0,b>0,a+b=1,1=12a+(b+1),1a+41+b=121a+41+ba+(b+1)=125+b+1a+4ab+192,當且僅當b+1=2a,即a=23,b=13時,等號成立.(2)(分析法)要證2a+1+2b+122,只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a>0,b>0,a+b=1,只需證(2a+1)(2b+1)2.由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,由此逆推而上,則不等式2a+1+2b+122成立.3.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|.(1)當a=3時,解不等式f(x)|x+1|;(2)若關于x的不等式f(x)+f(-x)<|m-1|有實數(shù)解,求m的取值范圍.解析(1)當a=3時,f(x)|x+1|化為|3x-1|x+1|,兩邊平方得9x2-6x+1x2+2x+1,即8x(x-1)0,解得x0或x1,所以原不等式的解集為(-,01,+).(2)f(x)+f(-x)<|m-1|等價于|ax-1|+|-ax-1|<|m-1|,因為|ax-1|+|-ax-1|ax-1-ax-1|=2,所以f(x)+f(-x)的最小值為2,因為不等式f(x)+f(-x)<|m-1|有實數(shù)解,所以2<|m-1|,即m-1<-2或m-1>2,解得m<-1或m>3.4.已知函數(shù)f(x)=|tx-3|+|x-1|(t為常數(shù)).(1)當t=4時,求不等式f(x)2的解集;(2)當t=1時,若函數(shù)f(x)的最小值為M,正數(shù)a,b滿足2a+8b=M,證明:a+b9.解析(1)當t=4時,f(x)2等價于|4x-3|+|x-1|2.當x1時,4x-3+x-12,x65;當34<x<1時,4x-3-x+12,3x4,即x43,無解;當x34時,3-4x+1-x2,5x2,x25.綜上,不等式f(x)2的解集為x|x25或x65.(2)當t=1時,f(x)=|x-3|+|x-1|(x-3)-(x-1)|=2,2a+8b=M=2,即1a+4b=1,a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,當且僅當2a=b=6時,等號成立.5.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-1|.(1)求不等式f(x)5的解集;(2)若函數(shù)g(x)=x2-2x+|a2-3|的最小值不小于f(x)的最小值,求a的取值范圍.解析(1)由f(x)5,得|x-2|+|x-1|5,x>2,2x-35或1x2,15或x<1,3-2x5,解得2<x4或1x2或-1x<1,取并集得-1x4,故不等式f(x)5的解集為-1,4.(2)f(x)=|x-2|+|x-1|x-2-(x-1)|=1,f(x)的最小值為1.g(x)min=g(1)=|a2-3|-1,由題意得|a2-3|-11,a2-32或a2-3-2,解得a(-,-5-1,15,+).6.已知函數(shù)f(x)=|2x+4|+|2x-a|.(1)當a=6時,求f(x)12的解集;(2)已知a>-2,g(x)=x2+2ax+74,若對于x-1,a2,都有f(x)g(x)成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=6時,f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)12等價于|x+2|+|x-3|6.因為|x+2|+|x-3|=2x-1,x>3,5,-2x3,-2x+1,x<-2,所以|x+2|+|x-3|6等價于x>3,2x-16或-2x3,56或x<-2,-2x+16,解得x72或x-52,所以不等式f(x)12的解集為x|x-52或x72.(2)當a>-2,且x-1,a2時,f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,所以f(x)g(x),即4+ag(x).又g(x)=x2+2ax+74的最大值必為g(-1),ga2之一,所以4+a114-2a,4+a54a2+74,即3a-54,54a2-a-940,解得-512a95,所以a的取值范圍為-512,95.