2019版高考數學二輪復習 第1篇 專題3 數列 第1講 小題考法——等差數列與等比數列學案.doc

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第1講　小題考法——等差數列與等比數列 一、主干知識要記牢 1．等差數列、等比數列 等差數列 等比數列 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項 和公式 Sn＝＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝； (2)q＝1，Sn＝na1 2.判斷等差數列的常用方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數)(n∈N*)?{an}是等差數列． (2)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數，n∈N*)?{an}是等差數列． (3)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數列． (4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數，n∈N*)?{an}是等差數列． 3．判斷等比數列的常用方法 (1)定義法：＝q(q是不為0的常數，n∈N*)?{an}是等比數列． (2)通項公式法：an＝cqn(c，q均是不為0的常數，n∈N*)?{an}是等比數列． (3)中項公式法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數列． 二、二級結論要用好 1．等差數列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an． (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd． (3)連續(xù)k項的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)構成的數列是等差數列． (4)若等差數列{an}的項數為偶數2m，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝． (5)若等差數列{an}的項數為奇數2m－1，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝． 2．等比數列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n?apaq＝aman． (2){an}，{bn}成等比數列?{anbn}成等比數列． (3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)構成的數列是等比數列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)． (4)若等比數列有2n項，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則＝q． (5)對于等比數列前n項和Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn；②＝(q≠1)． 三、易錯易混要明了 已知數列的前n項和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1． 考點一　數列的遞推公式 由an與Sn的關系求通項公式的注意事項 (1)應重視分類討論思想的應用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2． (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1不適合，則數列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an＝ 1．(2018濰坊二模)設數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝－n2－n，則數列的前40項的和為(　D　) A． B．－ C． D．－ 解析　根據Sn＝－n2－n，可知當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－n2－n－[－(n－1)2－(n－1)]＝－2n， 當n＝1時，a1＝S1＝－2，上式成立，所以an＝－2n， 所以＝－＝－， 所以其前n項和 Tn＝－ ＝－＝－， 所以其前40項和為T40＝－，故選D． 2．(2018齊齊哈爾二模)已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝4，S4＝30，n≥2時，an＋1＋an－1＝2(an＋1)，則{an}的通項公式an＝__n2__． 解析　由an＋1＋an－1＝2(an＋1)得an＋1－an＝an－an－1＋2(n≥2)．又a3＋a1＝2(a2＋1)＝10， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝14＋a4＝30，∴a4＝16． 又a4＋a2＝2(a3＋1)，∴a3＝9，∴a1＝1，∴a2－a1＝3， ∴數列{an＋1－an}是首項為3，公差為2的等差數列， ∴an－an－1＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)， ∴當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋1＝n2， 又a1＝1滿足上式，∴an＝n2(n∈N*)． 考點二　等差、等比數列的基本運算 等差(比)數列基本運算的解題思路 (1)設基本量：首項a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程(組)：把條件轉化為關于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量． 1．(2018南充三聯(lián))已知等差數列{an}中，a1＝1，a3＝－5，則a1－a2－a3－a4＝(　D　) A．－14 B．－9 C．11 D．16 解析　等差數列{an}中，a1＝1，a3＝－5，所以公差d＝＝－3.所以a1－a2－a3－a4＝a1－(a1＋d)－(a1＋2d)－(a1＋3d)＝－2a1－6d＝－2＋18＝16． 2．已知等比數列{an}滿足a1＝4，a2a6＝a4－，則a2＝(　A　) A．2 B．1 C． D． 解析　因為a2a6＝a4－，所以4q4q5＝4q3－． ∴2＝0.∴4q3－＝0.q3＝，q＝． a2＝4q＝4，選A． 3．(2018河南一模)在等差數列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達到最大值的n是(　B　) A．21 B．20 C．19 D．18 解析　因為a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，所以a3＝35，a4＝33，從而d＝－2，a1＝39，Sn＝39n＋n(n－1)(－2)＝－n2＋40n.所以當n＝20時Sn取最大值，選B． 4．(2018湖南聯(lián)考)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其總重量為W，則W的值為(　C　) A．4 B．12 C．15 D．18 解析　由于粗細是均勻變化的， 所以為等差數列，即a1＝4，a5＝2，所以總重量為S5＝5＝15.故選C． 考點三　等差、等比數列的性質 等差、等比數列性質問題的求解策略 (1)解題關鍵：抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當的性質進行求解． (2)運用函數性質：數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題． 1．(2018蚌埠模擬)設等差數列{an}的前10項和為20，且a5＝1，則{an}的公差為(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　等差數列{an}的前10項和為20，所以S10＝＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝20.所以a6＝4－a5＝3.則{an}的公差為a6－a5＝3－1＝2. 故選B． 2．(2018永州三模)記Sn為正項等比數列{an}的前n項和，若S4－2S2＝2，則S6－S4的最小值為__8__． 解析　在等比數列{an}中，根據等比數列的性質，可得S2，S4－S2，S6－S4構成等比數列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6－S4＝，因為S4－2S2＝2，即S4－S2＝S2＋2，所以S6－S4＝＝＝S2＋＋4≥2＋4＝8，當且僅當S2＝時，等號是成立的，所以S6－S4的最小值為8． 考點四　等差、等比數列的綜合問題 等差、等比數列綜合問題的求解策略 (1)對于等差數列與等比數列交匯的問題，要從兩個數列的特征入手，理清它們的關系，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用等差中項、等比中項等性質，可使運算簡便． (2)數列的通項或前n項和可以看作關于n的函數，然后利用函數的性質求解數列的有關最值問題． 1．(2018株洲二檢)已知等差數列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列，Sn是{an}的前n項和，則S9等于(　C　) A．－8 B．－6 C．0 D．10 解析　∵a1，a3，a4成等比數列，∴a＝a1a4，∴(a1＋22)2＝a1(a1＋32)，化為2a1＝－16.解得a1＝－8.則S9＝－89＋2＝0，故選C． 2．(2018武漢一模)已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，a2＋a5＝4，則a8＝__2__． 解析　因為S3，S9，S6成等差數列，所以公比q≠1， 又2＝＋， 整理得到2q6＝1＋q3，所以q3＝－， 故a2＝4，解得a2＝8，故a8＝8＝2． 3．(2018雅安三診)已知數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，滿足：a1 000＋a1 018＝2π，b6b2 012＝2，則tan ＝__－__． 解析　∵數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列， ∴a1 000＋a1 018＝2a1 009＝2π， 即a1 009＝π； b6b2 012＝b＝2． ∴tan ＝tan ＝tan ＝－．