2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)16 空間向量及其線性運(yùn)算 共面向量定理 蘇教版必修4.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十六)　空間向量及其線性運(yùn)算　共面向量定理 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．下列命題中，假命題是________(填序號(hào))． ①若與共線，則A，B，C，D不一定在同一直線上； ②只有零向量的模等于0； ③共線的單位向量都相等． [解析]?、佗谡_．共線的單位向量方向不一定相同，③錯(cuò)誤． [答案]?、? 2．下列結(jié)論中，正確的是________(填序號(hào))． ①若a，b，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ②若a，b，c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ③若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc. [解析]　要注意共面向量定理給出的是一個(gè)充要條件．所以第②個(gè)命題正確．但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提；b，c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a，b，c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③正確． [答案]?、冖? 3．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量＝＋＋λ確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么λ＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392161】 [解析]　∵P與A，B，C共面，∴＝α＋β， ∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，∵1－α－β＋α＋β＝1.∴＋＋λ＝1，解得λ＝. [答案]　 4．如圖318，已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則＝________(用向量a，b，c表示)． 圖318 [解析]　設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，則 ＝＋＝＋ ＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. [答案]　3a＋3b－5c 5．如圖319，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 圖319 [解析]?。剑剑?＋)＝＋－－＝－＋，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝. [答案]　 6．如圖3110，在三棱錐ABCD中，若△BCD是正三角形，E為其重心，則＋－－化簡(jiǎn)的結(jié)果為________． 圖3110 [解析]　∵E為△BCD的重心， ∴DE＝DF，＝. ∴＋－－＝＋－－ ＝－－＝－＝0. [答案]　0 7．i，j，k是三個(gè)不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，則λ的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392162】 [解析]　若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則向量，，共面，故存在不全為零的實(shí)數(shù)a，b，c， 使得a＋b＋c＝0， 即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0， ∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. ∵i，j，k不共面， ∴ ∴ [答案]　1 8．有四個(gè)命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，則P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題是________(填序號(hào))． [解析]　由共面向量定理知，①正確；若p與a，b共面，當(dāng)a與b共線且p與a和b不共線時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)組(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②錯(cuò)誤；同理③正確，④錯(cuò)誤． [答案]?、佗? 二、解答題 9．如圖3111所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，試用a，b，c表示. 圖3111 [解]　如圖，連接AF，則＝＋.由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c. 由已知，＝2，∴＝＋＝－＝－＝c－(c－a)＝(a＋2c)， 又＝－＝－(b＋c)，∴＝＋ ＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)． 10．如圖3112所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392163】 圖3112 [證明]　∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)， ∴＝，＝， 則＝－ ＝－＝ ＝(－)＝ ＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠|(zhì)|. 又F不在直線EH上， ∴四邊形EFGH是梯形． [能力提升練] 1．平面α內(nèi)有點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無(wú)三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，則x＋3y＝________. [解析]　由點(diǎn)A，B，C，D共面得x＋y＝，又由點(diǎn)B，C，D，E共面得2x＋y＝，聯(lián)立方程組解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. [答案]　 2．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任一點(diǎn)，若＋＋＝λ，則λ＝________. [解析]　如圖，取AB的中點(diǎn)D， ＝＋ ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋. ∴＋＋＝3. [答案]　3 3．在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； ③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； ④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392164】 [解析]　a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②不正確；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確．綜上可知，四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0. [答案]　0 4.如圖3113所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，在面對(duì)角線AC1上和棱BC上分別取點(diǎn)M，N，使＝k，＝k(0≤k≤1)． 圖3113 求證：MN∥平面ABB1A1. [證明]?。絢＝k(＋)＝kb＋kc， 又＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb， ∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 又a與c不共線， ∴與向量a，c是共面向量． ∵M(jìn)N?平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A1.