2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題20 直線與拋物線的綜合練習(xí) 理.docx

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20　直線與拋物線的綜合 1.過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且x1+x2=43,則弦AB的長(zhǎng)為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.163 C.103 D.83 解析?　拋物線的焦點(diǎn)弦公式為|AB|=x1+x2+p,由拋物線方程可得p=2,則弦AB的長(zhǎng)為x1+x2+p=43+2=103,故選C. 答案?　C 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,若直線AF的斜率k=-3,則線段PF的長(zhǎng)為(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 解析?　因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=6x, 所以焦點(diǎn)為F32,0,準(zhǔn)線方程為x=-32. 因?yàn)橹本€AF的斜率k=-3, 所以直線AF的方程為y=-3x-32. 當(dāng)x=-32時(shí),y=33,即A-32,33. 因?yàn)镻A⊥l,A為垂足,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為33,代入拋物線方程,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為92,33,所以|PF|=|PA|=92--32=6,故選C. 答案?　C 3.已知拋物線C:y2=x,過點(diǎn)P(a,0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OAOB<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　). A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.{1} 解析?　設(shè)直線方程為x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=my+a代入拋物線方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由OAOB=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈(0,1),故選B. 答案?　B 4.已知點(diǎn)P(-1,4),過點(diǎn)P恰好存在兩條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　). A.x2=14y B.x2=4y或y2=-16x C.y2=-16x D.x2=14y或y2=-16x 解析?　∵過點(diǎn)P(-1,4)恰好存在兩條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn), ∴點(diǎn)P一定在拋物線C上,兩條直線分別為一條切線,一條與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線. 若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)拋物線方程為y2=2px, 將P(-1,4)代入方程可得2p=-16, 則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-16x; 若拋物線焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)拋物線方程為x2=2py, 將P(-1,4)代入方程可得2p=14, 則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=14y.故選D. 答案?　D 能力1 ?　會(huì)用“設(shè)而不解”的思想求直線與拋物線中的弦長(zhǎng)、面積 【例1】　直線y=k(x-1)與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=163,則k=　　　　. 解析?　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)橹本€經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),所以|AB|=x1+x2+2=163,所以x1+x2=103.聯(lián)立y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2=103,所以k=3. 答案?　3 凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理.若P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn),由定義易得|PF|=x0+p2;若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出;若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程,則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到. 已知過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=16,且|AF|<|BF|,則|AF|=　　　　. 解析?　由題意可設(shè)過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線方程為y=k(x-2). 聯(lián)立y2=8x,y=k(x-2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2. ∵|AB|=16,∴x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12. ∴k2=1,則x2-12x+4=0,∴x=642. ∵|AF|<|BF|,∴x2=6+42,x1=6-42, ∴|AF|=6-42+2=8-42. 答案?　8-42 能力2 ?　會(huì)用方程的思想求直線與拋物線中的有關(guān)幾何量 【例2】　已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且拋物線上有一點(diǎn)P(4,y0)到焦點(diǎn)的距離為5. (1)求拋物線C的方程; (2)已知拋物線上一點(diǎn)M(n,4),過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,判斷直線DE是否過定點(diǎn),并說明理由. 解析?　(1)由題意設(shè)拋物線的方程為y2=2px, 其準(zhǔn)線方程為x=-p2, ∵P(4,y0)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離, ∴4+p2=5,∴p=2. ∴拋物線C的方程為y2=4x. (2)由(1)可得點(diǎn)M(4,4),直線DE的斜率不為0, 設(shè)直線DE的方程為x=my+t, 聯(lián)立x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0, 則Δ=16m2+16t>0.　① 設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2), 則y1+y2=4m,y1y2=-4t. ∵M(jìn)DME=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4) =(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4) =x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16 =(y1y2)216-4y124+y224+16+y1y2-4(y1+y2)+16 =t2-16m2-12t+32-16m=0, 即t2-12t+32=16m2+16m, 得(t-6)2=4(2m+1)2, ∴t-6=2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4. 把t=4m+8代入①式檢驗(yàn),滿足Δ>0,把t=-4m+4代入①式檢驗(yàn),得m≠2(不合題意). ∴直線DE的方程為x=my+4m+8=m(y+4)+8. ∴直線DE過定點(diǎn)(8,-4). 根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中弦的中點(diǎn)、平面向量、線段的平行與垂直、距離等概念,可建立關(guān)于變量的方程來求解. 過點(diǎn)(2,1)的直線交拋物線y2=52x于A,B兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),若|OA+OB|=|OA-OB|,則該直線的方程為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0 C.2x-y+5=0 D.x-2y=0 解析?　設(shè)直線AB的方程為x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立y2=52x,x-2=m(y-1),得2y2-5my+5m-10=0. 則Δ=5(5m2-8m+16)>0.　(*) 又y1+y2=5m2,y1y2=5m-102, ∴x1x2=(my1-m+2)(my2-m+2) =m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2 =m25m-102+m(2-m)5m2+(2-m)2 =(2-m)2. ∵|OA+OB|=|OA-OB|,∴OA⊥OB, ∴OAOB=x1x2+y1y2=0, ∴(2-m)2+5m-102=0, ∴m=2或m=-12,滿足(*), 但是當(dāng)m=2,直線方程為x-2y=0時(shí),與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn),不滿足OA⊥OB,應(yīng)該舍去. ∴該直線的方程為x-2=-12(y-1),即2x+y-5=0.故選B. 答案?　B 能力3 ?　會(huì)用方程恒成立的思想解曲線過定點(diǎn)問題 【例3】　已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓M:(x-3)2+(y-1)2=3相切. (1)求橢圓C的方程; (2)若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且APAQ=0,求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解析?　(1)由題意知,圓M的圓心為(3,1),半徑r=3,A(0,1),F(c,0), 直線AF的方程為xc+y=1,即x+cy-c=0. 由直線AF與圓M相切,得|3+c-c|c2+1=3, 解得c2=2,a2=c2+1=3, 故橢圓C的方程為x23+y2=1. (2)由APAQ=0知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-1kx+1. 聯(lián)立方程組y=kx+1,x23+y2=1, 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0或x=-6k1+3k2, 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為-6k1+3k2,1-3k21+3k2, 同理可得,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為6kk2+3,k2-3k2+3. 所以直線l的斜率為k2-3k2+3-1-3k21+3k26kk2+3--6k1+3k2=k2-14k, 所以直線l的方程為y=k2-14kx-6kk2+3+k2-3k2+3, 即y=k2-14kx-12. 所以直線l過定點(diǎn)0,-12. 證明直線過定點(diǎn),一般有兩種方法:(1)特殊探求,一般證明,即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況,找出定點(diǎn)的位置,然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上(將定點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線或曲線的方程后等式恒成立). (2)分離參數(shù)法,一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)λ∈R,結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式f1(x,y)λ2+f2(x,y)λ+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)為關(guān)于x,y的二元一次關(guān)系式),由上述原理可得方程組f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,從而求得該定點(diǎn). 已知拋物線C:x2=2py(p>0)過點(diǎn)(2,1),直線l過點(diǎn)P(0,-1)與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接AB. (1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)直線AB是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由. 解析?　(1)將點(diǎn)(2,1)代入拋物線的方程x2=2py中,得p=2. 所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y. (2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),則A(-x1,y1). 由y=kx-1,x2=4y,得x2-4kx+4=0. 則Δ=16k2-16>0,x1+x2=4k,x1x2=4, 所以kAB=y2-y1x2-(-x1)=x224-x124x2+x1=x2-x14. 所以直線AB的方程為y-x224=x2-x14(x-x2), 所以y=x2-x14(x-x2)+x224=x2-x14x+1, 當(dāng)x=0時(shí),y=1, 所以直線AB過定點(diǎn)(0,1). 能力4 ?　會(huì)建立目標(biāo)函數(shù),并轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值等問題求解 【例4】　已知△ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B(1,0),D為斜邊BC的中點(diǎn),且AD平行于x軸. (1)求點(diǎn)C的軌跡方程. (2)設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線Γ,直線BC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為E.以CE為直徑的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),記此圓的圓心為P,∠MPN=α,求α的最大值. 解析?　(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為x+12,y2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,y2. 所以AB=1,-y2,AC=x,y2. 由AB⊥AC,得ABAC=x-y24=0,即y2=4x, 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)時(shí),A與C重合,不合題意,舍去. 所以點(diǎn)C的軌跡方程為y2=4x(x≠0). (2)依題意,可知直線CE不與x軸重合,設(shè)直線CE的方程為x=my+1,點(diǎn)C,E的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),圓心P的坐標(biāo)為(x0,y0). 由y2=4x,x=my+1可得y2-4my-4=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x0=x1+x22=2m2+1, 所以圓P的半徑r=12|CE|=12(x1+x2+2)=12(4m2+4)=2m2+2. 過圓心P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q,則∠MPQ=α2. 在Rt△PQM中,cosα2=|PQ|r=x0r=2m2+12m2+2=1-12m2+2, 當(dāng)m2=0,即CE垂直于 x軸時(shí),cosα2取得最小值12,α2取得最大值π3, 所以α的最大值為2π3. 1.拋物線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是代數(shù)法,從代數(shù)的角度考慮,通過建立函數(shù)、不等式等模型,利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法求解;二是數(shù)形結(jié)合法,利用拋物線的圖象和幾何性質(zhì)來進(jìn)行求解. 2.拋物線中取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用拋物線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍. (2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的取值范圍,解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系. (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)并求該函數(shù)的值域,從而確定參數(shù)的取值范圍. 已知拋物線M:y2=4x,圓N:(x-1)2+y2=r2(r>0).過點(diǎn)(1,0)的直線l交圓N于C,D兩點(diǎn),交拋物線M于A,B兩點(diǎn),且滿足|AC|=|BD|的直線l恰好有三條,則r的取值范圍為(　　). A.0,32 B.(1,2] C.(2,+∞) D.32,+∞ 解析?　由題意可知,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),|AC|=|BD|成立; 當(dāng)直線斜率存在時(shí),此時(shí)存在兩條直線滿足|AC|=|BD|. 設(shè)直線l:x=my+1(m≠0), 由y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0. 由x=my+1,(x-1)2+y2=r2,可得y2=r2m2+1. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由|AC|=|BD|,得y1-y3=y2-y4, 則y1-y2=y3-y4, 所以4m2+1=2rm2+1, 故r=2(m2+1)>2,故選C. 答案?　C 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1y2x1x2的值一定等于(　　). A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 解析?　若焦點(diǎn)弦AB⊥x軸,則x1=x2=p2,不妨設(shè)y1>0,y2<0,∴y1=p,y2=-p. ∴x1x2=p24,y1y2=-p2,故y1y2x1x2=-4. 若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸, 可設(shè)直線AB的方程為y=kx-p2, 聯(lián)立y2=2px,y=kx-p2, 得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0, 則x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2=p4, 又y1y2<0,∴y1y2=-p2. 故y1y2x1x2=-4,故選A. 答案?　A 2.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則拋物線的方程為(　　). A.x2=32y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y 解析?　設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的拋物線方程為x2=3y,故選D. 答案?　D 3.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M,N,與y軸交于點(diǎn)(0,3),與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P,點(diǎn)M在線段PF上,若|PM|=2|MF|,則|MN|=(　　). A.94 B.254 C.83 D.163 解析?　由題意可得Mp6,233,則2pp6=43,所以p=2,所以直線MN的方程為y=-3(x-1).由y2=4x,y=-3(x-1),得M13,233,N(3,-23),故|MN|=163,故選D. 答案?　D 4.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(5,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,|BF|=3,則S△BCFS△ACF=(　　). A.34 B.45 C.56 D.67 解析?　畫出拋物線y2=4x的圖象如圖所示. 由拋物線方程y2=4x,得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為E,N. 設(shè)直線AC的方程為y=k(x-5), 由y2=4x,y=k(x-5)消去y, 得k2x2-(25k2+4)x+5k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=5. 由條件知|BF|=|BN|=1+x2=3, ∴x2=2,∴x1=52,∴|AE|=x1+1=72. ∵在△CBN中,BN∥AE, ∴S△BCFS△ACF=|BC||AC|=|BN||AE|=67.故選D. 答案?　D 5.斜率為k的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)為AB的中點(diǎn),作OQ⊥AB,垂足為Q,則下列結(jié)論中不正確的是(　　). A.ky0為定值 B.OAOB為定值 C.點(diǎn)P的軌跡為圓的一部分 D.點(diǎn)Q的軌跡為圓的一部分 解析?　由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為Fp2,0, 所以直線l的方程為y=kx-p2(k≠0). 由y2=2px,y=kx-p2消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24, 所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,y0=y1+y22=pk. 選項(xiàng)A中,ky0=p,為定值.故A正確. 選項(xiàng)B中,OAOB=x1x2+y1y2=p24-p2=-3p24,為定值,故B正確. 選項(xiàng)C中,由x0=k2p+2p2k2,y0=pk消去k,得x0=p2+y02p,所以點(diǎn)的軌跡不是圓的一部分,故C不正確. 選項(xiàng)D中,由于OQ⊥AB,直線AB過定點(diǎn)Fp2,0,所以點(diǎn)Q在以O(shè)F為直徑的圓上,故D正確.故選C. 答案?　C 6.已知拋物線C:y2=4x,過焦點(diǎn)F且斜率為3的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn),且P,Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為M,N,則S△MFN=(　　). A.83 B.833 C.163 D.1633 解析?　由題意可得直線PQ的方程為y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立可得3x2-10x+3=0.設(shè)點(diǎn)P在第一象限,所以P(3,23),Q13,-233,則MN=23+233=833. 在△MFN 中,MN邊上的高h(yuǎn)=2, 則S△MNF=122833=833, 故選B. 答案?　B 7.過拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=10,則原點(diǎn)到直線l的距離為(　　). A.255 B.355 C.455 D.435 解析?　由題意知,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),|AB|=2p=8,不合題意; 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-2), 由y=k(x-2),y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 所以x1+x2=4k2+8k2. 根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x1+x2+p=4k2+8k2+4=10,解得k=2, 當(dāng)k=2時(shí),直線l的方程為2x-y-4=0,所以原點(diǎn)到直線l的距離d=422+1=455, 當(dāng)k=-2時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,所以原點(diǎn)到直線l的距離d=422+1=455, 綜上所述,原點(diǎn)到直線l的距離為455,故選C. 答案?　C 8.若過拋物線x2=4y焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)(不重合),則OAOB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值是(　　). A.34 B.-34 C.3 D.-3 解析?　由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1). 設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=(x1x2)216=1,故OAOB=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故選D. 答案?　D 9.如圖,過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l,l與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于A,B,C點(diǎn),令|AF||BF|=λ1,|AC||CF|=λ2,則當(dāng)α=π3時(shí),λ1+λ2的值為(　　). A.3 B.4 C.5 D.6 解析?　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則|AB|=x1+x2+2=4sin260=163. ∵x1+x2=103,又x1x2=p24=1, ∴x1=3,x2=13,∴|AF||BF|=λ1=3+11+13=3, 同理可得|AC||CF|=λ2=3-(-1)1-(-1)=2, ∴λ1+λ2=5,故選C. 答案?　C 10.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,B1兩點(diǎn),以A1,B1為直徑的圓C過點(diǎn)M(-2,3),則圓C的方程為(　　). A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=17 C.(x+1)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+2)2=26 解析?　拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)為F(1,0). 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),易得圓C的方程為(x+1)2+y2=4,不過點(diǎn)M,不合題意. 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立方程組y2=4x,y=k(x-1), ∴y2-4ky-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4k,y1y2=-4. ∴|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=41k2+1. ∴以AB為直徑的圓C的圓心為-1,2k,半徑為21k2+1. ∴圓C的方程為(x+1)2+y-2k2=41k2+1. 把(-2,3)代入圓的方程得1+3-2k2=41k2+1,解得k=2. ∴圓C的方程為(x+1)2+(y-1)2=5.故選C. 答案?　C 二、填空題 11.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則直線y=x+1截拋物線所得的弦長(zhǎng)等于　　　. 解析?　由題意知p=12a=2,∴a=14,∴拋物線的方程為y=14x2,焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為y=-1.聯(lián)立y=14x2,y=x+1,消去x,整理得y2-6y+1=0. 設(shè)直線y=x+1與拋物線交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=6. ∵直線y=x+1過焦點(diǎn)F, ∴所求弦長(zhǎng)|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8. 答案?　8 12.過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn),與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,且FM=3FP,則|FP|=　　　　. 解析?　由題意可得交點(diǎn)P在點(diǎn)M,F之間,|PM|=2|PF|,由拋物線的定義和平面幾何知識(shí)可得,直線l的傾斜角為60或120.設(shè)直線l的方程為y=3(x-1),聯(lián)立y2=4x,y=3(x-1),解得xP=13,所以|FP|=43. 答案?　43 三、解答題 13.已知拋物線C:y2=2px(1>p>0)上的點(diǎn)P(m,1)到其焦點(diǎn)F的距離為54. (1)求拋物線C的方程; (2)已知直線l不過點(diǎn)P且與C相交于A,B兩點(diǎn),且直線PA與直線PB的斜率之積為1,證明:直線l過定點(diǎn). 解析?　(1)由題意得1=2pm,即m=12p. 由拋物線的定義,得|PF|=m--p2=12p+p2. 由題意知,12p+p2=54,解得p=12或p=2(舍去). 所以拋物線C的方程為y2=x. (2)設(shè)直線PA的斜率為k(顯然k≠0),則直線PA的方程為y-1=k(x-1),即y=k(x-1)+1. 由y2=x,y=k(x-1)+1消去y,并整理得k2x2+[2k(1-k)-1]x+(1-k)2=0. 設(shè)A(x1,y1),由韋達(dá)定理,得1x1=(1-k)2k2, 所以x1=(1-k)2k2, y1=k(x1-1)+1=k(1-k)2k2-1+1=-1+1k,所以A(1-k)2k2,-1+1k. 由題意知,直線PB的斜率為1k. 同理可得B1-1k21k2,-1+11k, 即B((k-1)2,-1+k). 若直線l的斜率不存在,則(1-k)2k2=(k-1)2,解得k=1或k=-1. 當(dāng)k=1時(shí),直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點(diǎn)重合,與題意不符; 當(dāng)k=-1時(shí),直線PA與直線PB的斜率均為-1,A,B兩點(diǎn)重合,與題意不符. 所以直線l的斜率必存在. 所以直線l的方程為y-(-1+k)=k(k-1)2[x-(k-1)2],即y=k(k-1)2x-1. 所以直線l過定點(diǎn)(0,-1).