2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 專題2 三角函數(shù)與解三角形知識整合學(xué)案 理.docx

專題2三角函數(shù)與解三角形一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是什么?函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖象遞增區(qū)間2k-2,2k+2,kZ2k-,2k,kZk-2,k+2,kZ遞減區(qū)間2k+2,2k+32,kZ2k,2k+,kZ無奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(k,0),kZk+2,0,kZk2,0,kZ對稱軸x=k+2,kZx=k,kZ無周期性222.求函數(shù)y=Asin(x+)的單調(diào)區(qū)間時應(yīng)注意什么?(1)注意的符號,不要把單調(diào)性或區(qū)間左右的值弄反;(2)不要忘記寫“+2k”或“+k”等,特別注意不要忘掉寫“kZ”;(3)書寫單調(diào)區(qū)間時,不要把弧度和角度混在一起.3.三角函數(shù)的常用結(jié)論有哪些?(1)對于y=Asin(x+),當(dāng)=k(kZ)時,其為奇函數(shù);當(dāng)=k+2(kZ)時,其為偶函數(shù);對稱軸方程可由x+=k+2(kZ)求得.(2)對于y=Acos(x+),當(dāng)=k+2(kZ)時,其為奇函數(shù);當(dāng)=k(kZ)時,其為偶函數(shù);對稱軸方程可由x+=k(kZ)求得.(3)對于y=Atan(x+),當(dāng)=k(kZ)時,其為奇函數(shù).4.三角函數(shù)圖象的兩種常見變換是什么?(1)y=sin xy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).(A>0,>0)(2)y=sin xy=sin xy=sin(x+)y=Asin(x+).(A>0,>0)二、三角恒等變換與解三角形1.同角關(guān)系公式有哪些?如何記憶誘導(dǎo)公式?(1)同角關(guān)系:sin2+cos2=1,sincos=tan .(2)誘導(dǎo)公式,對于“k2,kZ的三角函數(shù)值”與“角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶:奇變偶不變,符號看象限.2.你能寫出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角、輔助角公式嗎?(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:sin()=sin cos cos sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()=tantan1tantan.(2)二倍角公式:sin 2=2sin cos ,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.(3)輔助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba.3.在三角恒等變換中,常見的拆角、拼角技巧有哪些?=(+)-,2=(+)+(-),=12(+)+(-),+4=(+)-4,=+4-4.4.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是什么?在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.(1)正弦定理:在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R為ABC的外接圓半徑).變形:a=2Rsin A,sin A=a2R,abc=sin Asin Bsin C.(2)余弦定理:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A.變形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+c2-a22bc.(3)三角形面積公式:SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B.5.已知三角形兩邊及其一邊的對角,用正弦定理解三角形時要注意什么?若運用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解,要結(jié)合具體情況進行取舍.在ABC中,A>Bsin A>sin B.三角函數(shù)與解三角形是高考考查的重點和熱點.三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及簡單的化簡與求值主要以選擇題、填空題的形式考查.其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式是解決化簡、計算問題的工具,“角”的變換是三角恒等變換的核心.解三角形多以解答題的形式考查,常與三角恒等變換結(jié)合,主要考查邊、角、面積的計算及有關(guān)的范圍問題.一、選擇題和填空題的命題特點(一)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點,考查主要從以下兩個方面進行:(1)三角函數(shù)的圖象,主要涉及圖象變換以及由圖象確定解析式;(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)中有關(guān)值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等問題.1.(2018全國卷文T8改編)已知函數(shù)f(x)=2cos22x+5,則().A.f(x)的最小正周期為,最大值為7B.f(x)的最小正周期為2,最小值為5C.f(x)的最小正周期為2,最大值為7D.f(x)的最小正周期為2,最小值為5解析f(x)=cos222x+5=cos 4x+6,故f(x)的最小正周期為2,最大值為7,最小值為5.答案D2.(2016全國卷理T7改編)若將函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象向右平移12個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)圖象的一個對稱中心是().A.24,0B.-6,0C.6,0D.12,0解析由題意可知函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象向右平移12個單位長度,得到函數(shù)g(x)=sin2x-12=sin2x-6的圖象.令2x-6=k(kZ),得x=12+k2(kZ),由此可得y=g(x)圖象的一個對稱中心是12,0,故選D.答案D(二)三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點,其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決問題的工具,三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換.“角”的變換是三角恒等變換的核心.3.(2018全國卷理T15改編)已知sin +cos =63,sin -cos =1,則sin(-)=().A.-112B.-16C.16D.112解析將sin +cos =63的等式兩邊平方得sin2cos+2+2sin cos =23,將sin -cos =1的等式兩邊平方得sin2+cos2-2sin cos =1.+得sin(-)=-16,故選B.答案B4.(2018全國卷文T4改編)已知tan =12,則sin 2-2cos2=().A.-1B.-45C.45D.-34解析sin 2-cos22=sin2-2cos21=2sincos-2cos2sin2+cos2=2tan-2tan2+1=-45,故選B.答案B(三)正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容,主要考查邊、角、面積的計算及有關(guān)的范圍問題.5.(2018全國卷文T16改編)在銳角ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若3bsin C+3csin B=4asin Bsin C,且2bsin B+2csin C=bc+3a,則ABC面積的最大值為().A.332B.32C.334D.34解析根據(jù)題意,結(jié)合正弦定理可得3sin Bsin C+3sin Csin B=4sin Asin Bsin C,即sin A=32.2bsin B+2csin C=bc+3a,bsin B+csin C=12bc+32a,bsin B+csin C=33bcsin A+asin A,則b2+c2=33abc+a2.由余弦定理可得2bccos A=33abc,解得a=23cos A=3.由b2+c2=bc+32bc,得bc3,從而SABC=12bcsin A334,故選C.答案C6.(2018全國卷文T11改編)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C=().A.-34B.-43C.34D.43解析2S=(a+b)2-c2,absin C=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,sin C=2cos C+2,sin2C=(2cos C+2)2=1-cos2C,即5cos2C+8cos C+3=0,cos C=-35(cos C=-1舍去),sin C=45,tan C=sinCcosC=-43,故選B.答案B二、解答題的命題特點高考全國卷中有關(guān)解三角形的解答題,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等基本計算,兩個定理與三角恒等變換的結(jié)合.這類試題一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì).(2018全國卷理T17改編)如圖,在四邊形ABCD中,cosDAB=-14,ADAB=23,BD=4,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD=4,求CD的長.解析(1)因為ADAB=23,所以設(shè)AD=2k,AB=3k,其中k>0.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosDAB,所以16=9k2+4k2-23k2k-14,解得k=1,則AD=2,而sinDAB=1-142=154.在ABD中,由正弦定理得sinABD=ADBDsinDAB=24154=158.(2)由(1)可知,sinABD=158,而ABBC,則sinCBD=sin2-ABD=cosABD=1-1582=78.在BCD中,BCD=4,由正弦定理得CD=sinCBDsinBCDBD=78224=722.關(guān)于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見的三角恒等變換方法和原則都適用,同時要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.