新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第8章 第9節(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 第九節(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法.2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.3.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0， 由消去y得到關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點； Δ＝0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點； Δ＜0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點． (2)當(dāng)a＝0時，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線． 當(dāng)C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線

2、平行或重合，它們的公共點有1個或0個． 當(dāng)C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個． 2．圓錐曲線的弦長公式 設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點．(　　) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點．(　　) (3)過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.(　　) (4)若拋物線

3、上存在關(guān)于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點．(　　) [解析]　(1)對．橢圓是個封閉圖形，直線與橢圓只有一個公共點時，一定相切． (2)錯．當(dāng)直線l與漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點，但不相切． (3)對．可轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離來證明(3)正確． (4)錯．當(dāng)直線l為對稱軸時，l與拋物線有一個交點． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)直線y＝k(x－1)＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　 B．相切 C．相離 D．不確定 A　[直線y＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．

4、] 3．(20xx·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 B　[拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴橢圓中c＝2， 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 從而橢圓方程為＋＝1. ∵拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3， 由圖像可知|AB|＝2|yA|＝6.故選B.] 4．已知一條過點P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的

5、方程為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962422】 x－y－1＝0　[依題意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有y＝2x1，y＝2x2， 兩式相減得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1， 直線AB的斜率為1， 直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.] 5．(20xx·濟南質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點．若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為__________． 　[設(shè)P(x，y)(x≥1)，因為直線x－y＋1＝0平行于漸近線x－y＝0，所以c的最大值為直線x－y＋1＝0與漸近線

6、x－y＝0之間的距離，由兩平行線間的距離公式知，該距離為＝.] 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－1,0)，且點P(0,1)在C1上． (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：57962423】 [解]　(1)橢圓C1的左焦點為F1(－1,0)， 所以c＝1， 2分 又點P(0,1)在曲線C1上， 所以＋＝1，得b＝1，則a2＝b2＋c2＝2， 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. 5分 (2)由題意可知，直線

7、l的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 由 6分 消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因為直線l與橢圓C1相切， 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0， 整理得2k2－m2＋1＝0.?、?8分 由消去y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. 因為直線l與拋物線C2相切， 所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.② 綜合①②，解得或 10分 所以直線l的方程為y＝x＋或y＝－x－. 12分 [規(guī)律方法]　1.判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x(或y)，判定該

8、方程組解的個數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點．但應(yīng)注意兩點： (1)消元后需要討論含x2(或y2)項的系數(shù)是否為0； (2)重視“判別式Δ”起的限制作用． 2．對于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解題過程． [變式訓(xùn)練1]　(20xx·江蘇高考改編)如圖8-9-1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)． 圖8-9-1 (1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； (2)當(dāng)p＝1時，若拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.求線段PQ的中點M的坐標(biāo)． [解]

9、　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為. 2分 由點在直線l：x－y－2＝0上， 得－0－2＝0，即p＝4. 所以拋物線C的方程為y2＝8x. 5分 (2)當(dāng)p＝1時，曲線C：y2＝2x. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0). 7分 因為點P和Q關(guān)于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ， 于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b. 由消去x，得y2＋2y－2b＝0.(*) 9分 因為P和Q是拋物線l的兩相異點，則y1≠y2. 從而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－

10、1. 又M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 所以點M(1，－1)，此時b＝0滿足(**)式． 故線段PQ的中點M的坐標(biāo)為(1，－1). 12分 直線與圓錐曲線中弦長問題 　(20xx·西安模擬)如圖8-9-2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且右焦點F(1,0)，且已知直線l的方程為x＝－2. 圖8-9-2 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|＝2|AB|，求直線AB的方程． [解]　(1)由題意＝且c＝1，知a＝，則b＝1， 3分 所以

11、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 5分 (2)當(dāng)AB⊥x軸時，AB＝，又CP＝3，不合題意． 當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 6分 將AB的方程代入橢圓方程，得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 則x1,2＝， C的坐標(biāo)為， 且AB＝＝＝. 8分 若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意． 從而k≠0，故直線PC的方程為 y＋＝－， 則P點的坐標(biāo)為， 從而PC＝. 10分 因為PC＝2AB，所以＝， 解得k＝±1. 此時直線AB方程為y＝x－1或y＝－x＋1. 12

12、分 [規(guī)律方法]　1.求弦長時可利用弦長公式，由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進行整體代入弦長公式求解． 2．當(dāng)涉及過焦點的弦的問題，可靈活利用圓錐曲線的定義求解． [變式訓(xùn)練2]　設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點，若·＋·＝8，求k的值. 【導(dǎo)學(xué)號：57962424】 [解]　(1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c. 過點F且與x軸垂直

13、的直線為x＝－c， 代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝±， 于是＝，解得b＝. 3分 又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1， 所以橢圓的方程為＋＝1. 5分 (2)設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)， 6分 由方程組消去y， 整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由于Δ＝48k2＋48>0恒成立， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 8分 因為A(－，0)，B(，0)， 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝ 6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k

14、2(x1＋1)(x2＋1)＝ 6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝ 6＋. 10分 由已知得6＋＝8，解得k＝±. 12分 有關(guān)弦的中點問題 　橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是AB的中點．若AB＝2，O為坐標(biāo)原點，OC的斜率為，求橢圓的方程． [解]　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3分 依題意得ax＋by＝1，且ax＋by＝1， 兩式相減，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 5分 又＝－1，＝kOC＝， 代入上式可得b＝a. 8

15、分 再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2， 得(x1＋x2)2－4x1x2＝4， 其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的兩根， 故－4·＝4， 10分 將b＝a代入得a＝， ∴b＝. ∴所求橢圓的方程是＋＝1. 12分 [規(guī)律方法]　涉及弦的中點與直線的斜率問題，可考慮“點差法”，構(gòu)造出kAB＝和x1＋x2，y1＋y2，整體代換，求出中點或斜率，體現(xiàn)“設(shè)而不求”的思想． [變式訓(xùn)練3]　已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點，則l的方程是__________． x＋2y－8＝0　[設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y

16、2)． 則＋＝1，且＋＝1， 兩式相減得＝－. 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以＝－，故直線l的方程為y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.] [思想與方法] 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長計算，定點、最值問題很好地滲透函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點題型． 2．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)． 3．涉及弦中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化． [易錯與防范] 1．直線與圓錐曲線有一個公共點，易誤認為直線與曲線一定相切，也可能是直線與雙曲線，直線與拋物線相交于一點． 2．“點差法”具有不等價性，要考慮判別式“Δ”是否為正數(shù)． 3．涉及定點、定值問題，切忌“特殊代替一般”，盲目簡單化．