新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題七 第2講 不等式選講選修45

考 點(diǎn) 考 情 絕對值不等式的求解高考對本講內(nèi)容的考查主要有：(1)不等式性質(zhì)的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，如陜西T15A.(2)不等式的證明，如江蘇T21D.(3)與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)問題的求解.與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題不等式的證明與綜合應(yīng)用1(20xx·福建高考)設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)因?yàn)锳，且A，所以<a，且a，解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號所以f(x)的最小值為3.2(20xx·江蘇高考)已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3(20xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又因?yàn)閒(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.1絕對值不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號成立2|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|c(c>0)caxbc.(2)|axb|c(c>0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想(2)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想(3)通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖像求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想4證明不等式的基本方法(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法5二維形式的柯西不等式若a，b，c，dR，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號成立.熱點(diǎn)一絕對值不等式的求解例1(20xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值自主解答(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.規(guī)律·總結(jié)絕對值不等式的求解方法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c>0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可；(2)若c<0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.2.|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(1)令每個(gè)絕對值符號里的一次式為0，求出相應(yīng)的根；(2)把這些根由小到大排序，它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間；(3)在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集；(4)這些解集的并集就是原不等式的解集.1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)證明：當(dāng)x2時(shí)，f(x)2x(5x)3；當(dāng)2<x<5時(shí)，f(x)x2(5x)2x7，所以3<f(x)<3；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x2(x5)3.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15x28x180(x4)220，無解，所以f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2<x<5時(shí)，f(x)x28x15x210x2205x5，所以f(x)x28x15的解集為x|5x<5；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x28x15x28x1202x6，所以f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6熱點(diǎn)二與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題例2(20xx·新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍自主解答(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y<0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.規(guī)律·總結(jié)1解決含參數(shù)的絕對值不等式問題，常用以下兩種方法：(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決；(2)借助于絕對值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍2解答此類問題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.2已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)>5的解集為x|x>2或x<3(1)求a的值；(2)若不等式f(x)fk在R上有解，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|>5得ax>4或ax<6.又f(x)>5的解集為x|x>2或x<3，當(dāng)a>0時(shí)，解得x>或x<，則a2；當(dāng)a0時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證不合題意綜上，a2.(2)設(shè)g(x)f(x)f，則g(x)則函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖像可知，g(x)，故原不等式在R上有解時(shí)，k.即k的取值范圍是.熱點(diǎn)三不等式的證明例3(20xx·新課標(biāo)全國卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1) abbcac；(2) 1.自主解答(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcac.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ac1.所以3(abbcac)1，即abbcac.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.規(guī)律·總結(jié)不等式證明的常用方法是：比較法、綜合法與分析法其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，主要是運(yùn)用基本不等式與柯西不等式證明，與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等式證明過程中一方面要注意不等式成立的條件，另一方面要善于對式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形3(1)設(shè)ab0，證明：3a32b33a2b2ab2；(2)證明：a68b6c62a2b2c2；(3)若a，b，c為正實(shí)數(shù)，證明：a24b29c22ab3ac6bc.證明：(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b2>0.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c63 3×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.熱點(diǎn)四不等式的綜合應(yīng)用例4已知a，b為正實(shí)數(shù)(1)求證：ab；(2)利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)y(0<x<1)的最小值自主解答(1)證明：法一：a>0，b>0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立法二：(ab)，又a>0，b>0，0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立ab.(2)0<x<1，1x>0，由(1)的結(jié)論，得函數(shù)y(1x)x1，當(dāng)且僅當(dāng)1xx，即x時(shí)等號成立函數(shù)y(0<x<1)的最小值為1.規(guī)律·總結(jié)基本不等式和柯西不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意其條件“一正、二定、三相等”；運(yùn)用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行巧妙的拼湊，構(gòu)造出柯西不等式的形式4已知函數(shù)f(x)2.(1)求證：f(x)5，并說明等號成立的條件；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)證明：由柯西不等式得(2)2(2212)·()2()225，所以f(x)25，當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)等號成立(2)由(1)知f(x)5，又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3，故m的取值范圍是(，37，)