2020高考數(shù)學刷題首選卷 專題突破練（3）三角函數(shù)與其他知識的綜合應用（理）（含解析）.docx

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專題突破練(3)　三角函數(shù)與其他知識的綜合應用 一、選擇題 1．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin15)＝(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　C 解析　f(sin15)＝f(cos75)＝cos150＝－cos30＝－．故選C． 2．點P從(2，0)點出發(fā)，沿圓x2＋y2＝4按逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為(　　) A．(－1，) B．(－，－1) C．(－1，－) D．(－，1) 答案　A 解析　弧長所對的圓心角為α＝＝，設點Q的坐標為(x，y)，∴x＝2cos＝－1，y＝2sin＝．故選A． 3．有四個關于三角函數(shù)的命題： p1：?x0∈R，sin2＋cos2＝； p2：?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0； p3：?x∈[0，π]，＝sinx； p4：sinx＝cosy?x＋y＝． 其中是假命題的是(　　) A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4 答案　A 解析　p1是假命題，∵?x∈R，sin2＋cos2＝1；p2是真命題，如x＝y(tǒng)＝0時成立；p3是真命題，∵?x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝＝|sinx|＝sinx；p4是假命題，x＝，y＝2π時，sinx＝cosy，但x＋y≠．故選A． 4．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量p＝(1，－)，q＝(cosB，sinB)，p∥q且bcosC＋ccosB＝2asinA，則C＝(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 答案　A 解析　∵p∥q，∴－cosB＝sinB，即得tanB＝－， ∴B＝120，∵bcosC＋ccosB＝2asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝2sin2A，即sinA＝sin(B＋C)＝2sin2A，sinA≠0得sinA＝，∴A＝30，C＝180－A－B＝30．故選A． 5．(2018福州五校聯(lián)考二)已知a＝2－，b＝(2log23)－，c＝cos50cos10＋cos140sin170，則實數(shù)a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)>c>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．c>b>a 答案　C 解析　因為a＝2－＝＝，b＝(2log23)－＝3－＝＝，所以a>b，排除B，D；c＝cos50cos10＋cos140sin170＝sin40cos10－cos40sin10＝sin30＝＝，所以b>c，所以a>b>c．選C． 6．(2018河北保定一模)國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)．如果小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10，直角三角形中較小的銳角為θ，則sinθ＋－cosθ＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　設直角三角形中較小的直角邊長為a，則a2＋(a＋2)2＝102，解得a＝6，所以sinθ＝＝，cosθ＝＝，sinθ＋－cosθ＋＝cosθ－cosθ＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝＋＝．故選A． 7．(2018河南十所名校測試)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx＋的兩個極值點為α，β，且|α－β|min＝，則函數(shù)f(x)在0，上的最大值為(　　) A．－ B．1 C． D．2 答案　D 解析　由題意得f(x)的最小正周期為T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin2x＋，因為x∈0，，所以2x＋∈，，所以f(x)的最大值為2．故選D． 8．(2018江西吉安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ 則函數(shù)g(x)＝sin的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵f＝f＝f＝πcos－＝，∴g(x)＝sin＝sin2x－＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，求得kπ≤x≤kπ＋，可得g(x)的增區(qū)間為，k∈Z，令k＝0，可得增區(qū)間為．故選A． 9．(2018山東濟南二模)如圖，半徑為1的圓O中，A，B為直徑的兩個端點，點P在圓上運動，設∠BOP＝x，將動點P到A，B兩點的距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，2π]上的圖象大致為(　　) 答案　A 解析　由余弦定理，當0≤x≤π時，PB＝＝＝＝2sin， PA＝＝＝2cos， ∴PB＋PA＝2sin＋2cos＝2sin＋， 當π≤x≤2π時，PB＝ ＝＝2sin，PA＝＝ ＝－2cos，∴PB＋PA＝2sin－2cos＝2sin－．故選A． 10．(2018南昌一模)函數(shù)f(x)＝(－π≤x≤π)的圖象大致為(　　) 答案　A 解析　由f(－x)＝＝－f(x)，知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除B；由于ex＋e－x＞0，0≤x≤π時，sinx≥0，所以f(x)≥0，排除D；考查函數(shù)g(x)＝ex＋e－x，則g′(x)＝ex－e－x＝，當x＞0時，g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g＜g，且y＝sinx在0，上單調(diào)遞增，所以f＜f，排除C．故選A． 11．(2019湖南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x＋sinx(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，則當y≥1時，的取值范圍是(　　) A．， B．，1 C．[1，3－3] D．，＋∞ 答案　A 解析　函數(shù)f(x)＝x＋sinx(x∈R)為奇函數(shù)，又f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函數(shù)f(x)在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x2－4x＋1)≤f(－y2＋2y－3)，即(x－2)2＋(y－1)2≤1，當y≥1時表示的區(qū)域為半圓及其內(nèi)部，令k＝＝，其幾何意義為過點(－1，0)與半圓相交或相切的直線的斜率，斜率最小時直線過點(3，1)，此時kmin＝＝，斜率最大時直線剛好與半圓相切，圓心到直線的距離d＝＝1(k>0)，解得kmax＝．故選A． 12．(2018邯鄲摸底)若函數(shù)f(x)＝ 恰有4個零點，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．－，－∪， B．－，－∪－，－∪， C．－，－∪， D．－，－∪－，－∪， 答案　B 解析　令g(x)＝sin2x－，h(x)＝cos2x－，在同一坐標系中作出g(x)，h(x)在－π，上的圖象，如圖所示． g(x)在－π，上的零點為－，－，； h(x)在－π，上的零點為－，－，． 由題f(x)在－π，上恰有4個零點，結合圖象可知，當m∈－，－∪－，－∪，時，滿足題意．故選B． 二、填空題 13．(2019湖南衡陽模擬)如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，－，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos－的值為________． 答案　 解析　由2＋－2＝1及點B在圓O上，知圓O為單位圓，所以△OCB為正三角形，所以∠BOC＝，∠AOB＝－α，由三角函數(shù)定義知sin－α＝，所以cos2－sincos－＝cosα－sinα＝sin－α＝． 14．(2018南昌二模)如圖，有一塊半徑為20 m，圓心角∠AOB＝的扇形展示臺，展示臺分成了四個區(qū)域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC＝∠BOD)，某次菊花展分別在這四個區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜．預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是50元/m2、30元/m2、40元/m2．為使預計日總效益最大，∠COD的余弦值應等于________． 答案　 解析　由題知半徑r＝ 20，設∠COD＝α，則日總效益為f(α)＝r2sinα50＋πr2－r2sinα30＋πr240＝4000sinα－2000α＋π，而f′(α)＝4000cosα－2000，令f′(α)＝0，可得cosα＝，易知此時日總效益f(α)取得最大值． 15．(2018河北唐山摸底)△ABC的垂心H在其內(nèi)部，∠A＝60，AH＝1，則BH＋CH的取值范圍是________． 答案　(，2] 解析　因為△ABC為銳角三角形，設∠BAH＝θ，且θ∈(0，60)，所以BH＝2AHsinθ＝2sinθ，CH＝2AHsin(60－θ)＝2sin(60－θ)， 所以BH＋CH＝2sinθ＋2sin(60－θ)＝2sinθ＋cosθ－sinθ＝2sin(θ＋60)，又由θ∈(0，60)，則θ＋60∈(60，120)，所以2sin(θ＋60)∈(，2]，即BH＋CH的取值范圍是(，2]． 16．(2018河南一模)如圖，OA，OB為扇形湖面OAB的湖岸，現(xiàn)欲利用漁網(wǎng)和湖岸在湖中隔出兩個養(yǎng)殖區(qū)——區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，點C在上，∠COA＝θ，CD∥OA，其中，半徑OC及線段CD需要用漁網(wǎng)制成．若∠AOB＝，OA＝1，則所需漁網(wǎng)的最大長度為________． 答案　 解析　由CD∥OA，∠AOB＝，∠COA＝θ可得∠OCD＝θ，∠ODC＝，∠COD＝－θ，在△OCD中利用正弦定理可得CD＝sin－θ，θ∈0，，設漁網(wǎng)的長度為f(θ)，則f(θ)＝θ＋1＋sin－θ， ∴f′(θ)＝1－cos－θ，∵θ∈0，，則－θ∈0，，令f′(θ)＝0，則cos－θ＝，－θ＝，θ＝． θ 0， ， f′(θ) ＋ 0 － f(θ) 　 極大值 　 則f(θ)∈2，，故所需漁網(wǎng)的最大長度為． 三、解答題 17．(2018河北石家莊質(zhì)檢一)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac． (1)求cosB的值； (2)若b＝，且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，求△ABC的面積． 解　(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac．∴＝，即cosB＝． (2)∵b＝，cosB＝， ∴b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac， 又sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，由正弦定理，得a＋c＝2b＝2，∴13＝52－ac，∴ac＝12． 由cosB＝，得sinB＝， ∴△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝12＝． 18．(2018湖北八市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．將y＝f(x)的圖象先向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，所得到的圖象對應的函數(shù)記為g(x)． (1)求g(x)的解析式； (2)設△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對角為x，若關于x的方程g(x)＝k有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝， 且＝－＝，則T＝π，∴ω＝2， 又sin2＋φ＝1，|φ|<，∴φ＝－． ∴f(x)＝sin2x－，∴g(x)＝sin4x＋． (2)∵cosx＝≥＝(當且僅當a＝c時，取等號)，∴0BC＝10， 由余弦定理知cos60＝， 整理知(AB＋AC)2－100＝3ABAC， 由基本不等式知ABAC≤2． ≤2， 解得AB＋AC≤20． 故AB＋AC的取值范圍為(10，20]．