2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第三章3.1《空間向量及其運算》單元測試 理 新人教B版選修2-1.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第三章3.1《空間向量及其運算》單元測試 理 新人教B版選修2-1 說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時間120分鐘． 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)（每小題5分，共50分）． 圖 1．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若=，=，=.則下列向量中與相等的向量是（ ） A． B． C． D． 2．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是 （ ） A． B． C． D． 3．已知平行六面體中，AB=4，AD=3，，，，則等于 （ ） A．85 B． C． D．50 4．與向量平行的一個向量的坐標(biāo)是 （ ） A．（，1，1） B．（－1，－3，2） C．（－，，－1） D．（，－3，－2） 5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O為坐標(biāo)原點，則向量的夾角是（ ） A．0 B． C． D． 6．已知空間四邊形ABCD中，，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則= （ ） A． B． C． D． 7．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，則DBCD是 （ ） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定 8．空間四邊形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，則cos= （ ） A． B． C．- D．0 9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），則ABC的面積為 （ ） A． B． C． D． 10． 已知，則的最小值為 （ ） A． B． C． D． 二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）． 11．若，，則為鄰邊的平行四邊形的面積為 ． 12．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是對邊OA、BC的中點，點G在線段MN上，且，現(xiàn)用基組表示向量，有=x，則x、y、z的值分別為 ． 13．已知點A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，則DABC的形狀是 ． 14．已知向量，，若成1200的角，則k= ． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分)． 15．（12分）如圖，已知正方體的棱長為a，M為的中點，點N在上，且，試求MN的長． 16．（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是（，0），點D在平面yOz上，且∠BDC=90，∠DCB=30. 圖 （1）求向量的坐標(biāo)； （2）設(shè)向量和的夾角為θ，求cosθ的值 17．（12分）若四面體對應(yīng)棱的中點間的距離都相等，證明這個四面體的對棱兩兩垂直． 18．（12分）四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}. （1）求證：PA⊥底面ABCD； （2）求四棱錐P—ABCD的體積； （3）對于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定義一種運算： （）=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，試計算（）的絕對值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算（）的絕對值的幾何意義.． 19．（14分）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點. （1）求的長； （2）求cos< >的值； （3）求證：A1B⊥C1M. 20．（14分）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60. （1）證明：C1C⊥BD； （2）假定CD=2，CC1=，記面C1BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； （3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明. 參考答案 一、1．A；解析：=+（－）=－++．評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力. 2．A；解析：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足且既可．只有選項A． 3．B；解析：只需將，運用向量的內(nèi)即運算即可，． 4．C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式．即． 5．C；解析：，計算結(jié)果為－1． 6．B；解析：顯然． 7．B；解析：過點A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形． 8．D；解析：建立一組基向量，再來處理的值． 9．D；解析：應(yīng)用向量的運算，顯然，從而得． 10．C； 二、 11．；解析：，得，可得結(jié)果． 12． ； 解析： 13．直角三角形；解析：利用兩點間距離公式得：． 14．；解析：，得． 三、 15．解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．因為正方體棱長為a，所以B（a，a，0），A（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）． 由于M為的中點，取中點O，所以M（，，），O（，，a）．因為，所以N為的四等分，從而N為的中點，故N（，，a）． 根據(jù)空間兩點距離公式，可得 ． 16．解：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90,∠DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CDsin30=. OE=OB－BE=OB－BDcos60=1－. ∴D點坐標(biāo)為（0，－），即向量OD[TX→]的坐標(biāo)為{0，－}. （2）依題意：， 所以. 設(shè)向量和的夾角為θ，則 cosθ=. 17． 證：如圖設(shè)，則分別為，，，，，，由條件EH=GH=MN得： 展開得 ∴，∵≠，≠， ∴⊥（）即SA⊥BC． 同理可證SB⊥AC，SC⊥AB． 18． （1）證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB. 又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD. ∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD. （2）解：設(shè)與的夾角為θ，則 cosθ= V=||||sinθ||= （3）解：|（）|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P—ABCD體積的3倍. 猜測：|（）|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）. 評述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運算能力，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能力. 圖 19．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz. （1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴| |=. （2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2） ∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，=3，||=，||= ∴cos<，>=. （3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M. 評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件. 20．（1）證明：設(shè)=，=，=，則| |=||，∵=－， ∴=（－）=－=||||cos60－||||cos60=0， ∴C1C⊥BD. （2）解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC1，則∠C1OC為二面角α—BD—β的平面角. ∵（+），（+）－ ∴（+）［（+）－］ =（2+2+2）－－ =（4+222cos60+4）－2cos60－2cos60=. 則||=，||=，∴cosC1OC= （3）解：設(shè)=x，CD=2， 則CC1=. ∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C ∴只須求滿足：=0即可. 設(shè)=，=，=， ∵=++，=－， ∴=（++）（－）=2+－－2=－6， 令6－=0，得x=1或x=－（舍去）. 評述：本題蘊涵著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.