新編高考數(shù)學浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第3講 三角函數(shù)的圖象與性質

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第3講 三角函數(shù)的圖象與性質 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝2sin xcos x是(　　)． A．最小正周期為2 π的奇函數(shù) B．最小正周期為2 π的偶函數(shù) C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù) 解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)． 答案　C 2．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的值為 (　　)． A．0 B. C. D. 解析　據(jù)已知可得f(x)＝2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ

2、＋＝，解得θ＝，經(jīng)代入檢驗符合題意． 答案　B 3．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 (　　)． A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ 解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2－. 答案　A 4．函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期為(　　)． A．2π B. C．π D. 解析　依題意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期為2π.

3、答案　A 5．函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域為(　　)． A．[－1,1] B. C. D. 解析　(數(shù)形結合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，畫出函數(shù)圖像如圖所示，從圖像可以看出，當t＝－及t＝1時，函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈. 答案　C 6．已知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝ (　　)． A. B. C. D. 解析　由題意可知函數(shù)f(x)的周期T＝2×＝2π，故

4、ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，將x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝. 答案　A 二、填空題 7．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當x∈時，f(x)＝sin x，則f的值為________． 解析　f＝f＝f＝sin ＝. 答案　 8．函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________. 解析　(構造法)根據(jù)分子和分母同次的特點，把分子展開，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1為奇函數(shù)，則m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2. 答案　2 9．已知函數(shù)f(x

5、)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是________． 解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x| ＝ 畫出函數(shù)f(x)的圖象，可得函數(shù)的最小值為－1，最大值為，故值域為. 答案　 10．下列命題中： ①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要條件； ②函數(shù)f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π； ③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，則△ABC為鈍角三角形； ④若a＋b＝0，則函數(shù)y＝asin x－bcos x的圖象的一條對稱軸方程為x＝. 其中是真命題的序號

6、為________． 解析　①∵α＝2kπ＋(k∈Z)?tan α＝， 而tan α＝?/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正確． ②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1| ＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②錯誤． ③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0， 即cos(A＋B)>0，∵0

7、 三、解答題 11. 已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及值域； (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin， 則函數(shù)f(x)的最小正周期是π， 函數(shù)f(x)的值域是. (2)依題意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 則kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 12．已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sinsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域． 解　(1)f(x)＝cos＋2sin

8、sin ＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) ＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin. ∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)． ∴函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)． (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴－≤sin≤1. 即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為. 13．已知函數(shù)f(x)＝coscos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x

9、的集合． 解　(1)∵f(x)＝coscos ＝· ＝cos2x－sin2x＝－ ＝cos 2x－， ∴f(x)的最小正周期為＝π. (2)由(1)知 h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos， 當2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)時，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值時，對應的x的集合為 . 14．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin∈，又∵a

10、>0， ∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1， ∴4sin－1＞1，∴sin＞， ∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. 又∵當2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞減，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z. ∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z. 綜上，g(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)；遞減區(qū)間為(k∈Z)．