2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專(zhuān)題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc

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專(zhuān)題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，一直是命題的熱點(diǎn)，較多的考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題；有時(shí)，先求軌跡方程，再進(jìn)一步研究直線與曲線的位置關(guān)系.命題的主要特點(diǎn)有：一是以過(guò)特殊點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題等.本專(zhuān)題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說(shuō)明直線與橢圓、直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的解法與技巧. （一）直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)），相切（一個(gè)公共點(diǎn)），相離（無(wú)公共點(diǎn)） 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定， 下面以直線和橢圓：為例 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程： （2）確定主變量（或）并通過(guò)直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得： （3）通過(guò)計(jì)算判別式的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與橢圓相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交 （二）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離 1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例 聯(lián)立方程：，整理后可得： （1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個(gè)實(shí)根.此時(shí)直線為水平線，與拋物線相交 （2）當(dāng)時(shí)，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過(guò)判別式進(jìn)行判定 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與拋物線相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與拋物線相離 2、焦點(diǎn)弦問(wèn)題：設(shè)拋物線方程：， 過(guò)焦點(diǎn)的直線（斜率存在且），對(duì)應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于 聯(lián)立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （三）直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定 以直線和橢圓：為例： （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得： （2）與橢圓不同，在橢圓中，因?yàn)?，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項(xiàng)系數(shù)為，有可能為零.所以要分情況進(jìn)行討論 當(dāng)且時(shí)，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個(gè)根.此時(shí)直線與雙曲線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，所以恒成立，此時(shí)直線與雙曲線相交 當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)需要用判斷： ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與雙曲線相離 注：對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡(jiǎn)單的憑公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定位置.尤其是直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如果是通過(guò)一次方程解出，則為相交；如果是通過(guò)二次方程解出相同的根，則為相切 （3）直線與雙曲線交點(diǎn)的位置判定：因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為，所以通過(guò)橫坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷交點(diǎn)位于哪一支上：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的左支.對(duì)于方程： ，設(shè)兩個(gè)根為 ① 當(dāng)時(shí)，則，所以異號(hào)，即交點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支 ② 當(dāng)或，且時(shí)，，所以同號(hào)，即交點(diǎn)位于同一支上 （4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋?zhuān)和ㄟ^(guò)（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點(diǎn)剛好與雙曲線的漸近線斜率相同.所以可通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時(shí)，此時(shí)直線與漸近線平行，可視為漸近線進(jìn)行平移，則在平移過(guò)程中與雙曲線的一支相交的同時(shí)，也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支，所以只有一個(gè)交點(diǎn) ② 時(shí)，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過(guò)圖像可得無(wú)論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支上. ③ 或時(shí)，此時(shí)直線比漸近線“更陡”，通過(guò)平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點(diǎn)（與的符號(hào)對(duì)應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點(diǎn)位于雙曲線同一支上. （四）圓錐曲線問(wèn)題的解決思路與常用公式： 1、直線與圓錐曲線問(wèn)題的特點(diǎn)： （1）題目貫穿一至兩個(gè)核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）， （2）條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜 （3）通過(guò)聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問(wèn)題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”） （4）有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，注重?cái)?shù)形幾何，注重整體代入.則可簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程 這幾點(diǎn)歸納起來(lái)就是“以一個(gè)（或兩個(gè)）核心變量為中心，以交點(diǎn)為兩個(gè)基本點(diǎn)，堅(jiān)持韋達(dá)定理四個(gè)基本公式（，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅(jiān)持整體代入.直至解決解析幾何問(wèn)題“ 2、韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來(lái)表示兩個(gè)根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè)：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來(lái)的實(shí)根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運(yùn)算；二是解析幾何的一些問(wèn)題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系.進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開(kāi)繁雜的求根結(jié)果，通過(guò)整體代入的方式得到答案.所以說(shuō)，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方.如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點(diǎn)，以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的運(yùn)算），或者所求的問(wèn)題與兩根和，乘積無(wú)關(guān)，則韋達(dá)定理毫無(wú)用武之地. 3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式： （1）斜截式：，此直線不能表示豎直線.聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問(wèn)題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合條件 （2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線.經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時(shí)使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡(jiǎn)單）.此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時(shí)，斜率 4、弦長(zhǎng)公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線，上兩點(diǎn)，所以或 （1）證明：因?yàn)樵谥本€上，所以 ，代入可得： 同理可證得 （2）弦長(zhǎng)公式的適用范圍為直線上的任意兩點(diǎn)，但如果為直線與曲線的交點(diǎn)（即為曲線上的弦），則（或）可進(jìn)行變形：，從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入. 5、點(diǎn)差法：這是處理圓錐曲線問(wèn)題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線.不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)滿足橢圓方程，有： 考慮兩個(gè)方程左右分別作差，并利用平方差公式進(jìn)行分解，則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系： ① ② 由等式可知：其中直線的斜率，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn).所以通過(guò)“點(diǎn)差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點(diǎn)的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點(diǎn)問(wèn)題時(shí).同時(shí)由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問(wèn)題中也可使用點(diǎn)差法 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年天津卷理】已知雙曲線的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn). 設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 不妨設(shè)： ， 雙曲線的一條漸近線方程為： ， 據(jù)此可得： ， ， 則，則， 雙曲線的離心率： ， 據(jù)此可得： ，則雙曲線的方程為. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 例2.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 從而可以求得，故選D. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果. 例3.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 思路二：線段為橢圓的弦，且問(wèn)題圍繞著弦中點(diǎn)展開(kāi)，在圓錐曲線中處理弦中點(diǎn)問(wèn)題可用“點(diǎn)差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點(diǎn)和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以 答案：D 點(diǎn)睛：兩類(lèi)問(wèn)題適用于點(diǎn)差法，都是圍繞著點(diǎn)差后式子出現(xiàn)平方差的特點(diǎn). （1）涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題，此時(shí)點(diǎn)差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系 （2）涉及到運(yùn)用兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點(diǎn)差法 例4.【2018年北京卷文】已知直線l過(guò)點(diǎn)（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________. 【答案】 焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 例5. 【2018年浙江卷】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 【答案】5 與對(duì)應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值. 例6.【2018年浙江卷】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上． （Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸； （Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析 （Ⅱ） 【解析】分析: （Ⅰ）設(shè)P,A,B的縱坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PA,PB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得，即得結(jié)論，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面積為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可表示為的函數(shù)，根據(jù)半橢圓范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)確定面積取值范圍. 詳解：（Ⅰ）設(shè)，，． 因?yàn)?，的中點(diǎn)在拋物線上，所以，為方程 即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根． 因?yàn)?，所以? 因此，面積的取值范圍是． 例7.【2018年天津卷理】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l： 與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若 (O為原點(diǎn)) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或 【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或 詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ， 由，可得ab=6，從而a=3，b=2． 所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 兩邊平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值為或 例8.【2018年北京卷理】已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值． 【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)證明過(guò)程見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA， 又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3． 所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為． 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為． 由，得，． 所以． 所以為定值． 例9. 已知拋物線的焦點(diǎn)為. (1)若斜率為的直線過(guò)點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn),求的值; (2)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,求的取值范圍. 【答案】(1)8；(2) . . ∵, ∴ . 又∵,∴恒成立,∴恒成立. ∵,∴只需即可,解得. ∴所求的取值范圍為. 例10.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)模擬一】已知圓，點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）已知，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，線段的中垂線為，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，記與軸的交點(diǎn)為，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 詳解：（1）. （2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)：. 聯(lián)立直線與橢圓，消去得. ， 又，解得， ， 所以 所以，即. 所以. 【精選精練】 1.【2018屆峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試】已知雙曲線的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，可以求出雙曲線的，根據(jù)雙曲線的漸近線可以得到，再由雙曲線中 的等量關(guān)系可以通過(guò)方程組求出的值。 詳解：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以 由漸近線方程，得 所以 ，可解得 所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以選A 2．橢圓的離心率為，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則橢圓的方程為 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 3．【2018屆安徽省合肥市第一中學(xué)最后1卷】點(diǎn)在直線上，若存在過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱(chēng)點(diǎn)為“點(diǎn)”.下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B. 直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C. 直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D. 直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 【答案】A 【解析】分析：設(shè)，由，可得，由在上，可得關(guān)于的方程，證明方程恒有解即可得結(jié)論 詳解： 如圖所示，設(shè)， 方程恒有實(shí)數(shù)解， 點(diǎn)在直線上，總存在過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)， 且，所以，直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”，故選A. 點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.本題定義“點(diǎn)”達(dá)到考查共線向量、直線與拋物線的位置關(guān)系的目. 4．【2018屆安徽亳州市渦陽(yáng)一中最后一卷】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線：相切于，兩點(diǎn)，則面積的最小值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】分析：求出以為切點(diǎn)的切線方程為，為切點(diǎn)的切線方程為，代入，可得， 同理為切點(diǎn)的切線方程為，代入， 可得， 過(guò)的直線方程為，聯(lián)立， 可得，， 又到直線的距離為， ， 當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為. 點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解. 5．【2018屆安徽省宿州市第三次檢測(cè)】拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，，則__________． 【答案】1或3 結(jié)合可得：， 直線的方程為：， 與拋物線方程整理可得：， 則：，結(jié)合可得： ，則； 當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A下方時(shí)，由幾何關(guān)系可知：， 代入拋物線方程可得：， 綜上可得，p的值為1或3. 6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓形成的弦長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若點(diǎn)，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】（1）聯(lián)立解得，故. 又， ，解得， ， 整理得，所以， ， 故 . 綜上所述， 的最小值為，此時(shí)直線的方程為. 7.【2018屆江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體第二次聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，短軸為.點(diǎn)滿足. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)、，是否存在常數(shù)使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析. 【解析】分析：（1）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得的方程為. （2）當(dāng)不為軸時(shí)，設(shè)：，、.聯(lián)立與的方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得.當(dāng)為軸時(shí)，也滿足上述結(jié)論.則存在使得 . 因?yàn)闉槎ㄖ?，所以? 解得.此時(shí)定值為. 當(dāng)為軸時(shí)，，.. 綜上，存在使得為定值. 8．【2018年天津卷文】設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限.若的面積是面積的2倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而． 所以，橢圓的方程為． （II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為．由的面積是面積的2倍，可得， 從而，即． 易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或． 當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意． 所以，的值為． 點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題． 9．【2018年北京卷文】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）若，求 的最大值； （Ⅲ）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線，求k. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） （Ⅱ）設(shè)直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設(shè)， ，則， ， 則， 易得當(dāng)時(shí)， ，故的最大值為． （Ⅲ）設(shè)， ， ， ， 則 ①， ②， 又，所以可設(shè)，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故， ， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即． 10.【2018年新課標(biāo)I卷文】設(shè)拋物線，點(diǎn)， ，過(guò)點(diǎn)的直線與交于， 兩點(diǎn)． （1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程； （2）證明： ． 【答案】(1) y=或． (2)見(jiàn)解析. （2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN． 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0． 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4． 綜上，∠ABM=∠ABN． 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與拋物線相交的綜合問(wèn)題、關(guān)于角的大小用斜率來(lái)衡量，在解題的過(guò)程中，第一問(wèn)求直線方程的時(shí)候，需要注意方法比較簡(jiǎn)單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問(wèn)，在做題的時(shí)候需要先將特殊情況說(shuō)明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫(xiě)出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來(lái)得到角是相等的結(jié)論. 11.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. （1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：. 【答案】(1) AM的方程為或. (2)證明見(jiàn)解析. 【解析】分析：(1)首先根據(jù)與軸垂直，且過(guò)點(diǎn)，求得直線l的方程為x=1，代入橢圓方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程； (2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過(guò)直線的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，從而證得結(jié)果. 詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，. 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以. 綜上，. 12.如圖，設(shè)為拋物線上不同的四點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，平行于該拋物線在點(diǎn)處的切線. （1）求證：直線與直線的傾斜角互補(bǔ)； （2）若，且的面積為16，求直線的方程. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】分析：（1）設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，于是可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)斜率公式和根與系數(shù)的關(guān)系證得，即證得直線與直線的傾斜角互補(bǔ)．（2）由可得，由 由消去y整理得， 因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)， 所以． 設(shè)， 則． 因?yàn)椋? 所以直線與直線的傾斜角互補(bǔ)． （2）因?yàn)椋? 所以， 即，． 解得． 所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為．