2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.2 事件的相互獨(dú)立性學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.2　事件的相互獨(dú)立性 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念．(難點(diǎn))2.能利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))3.綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式解決一些問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì) (1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么稱事件A與事件B相互獨(dú)立． (2)性質(zhì)：①如果A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立． ②如果A與B相互獨(dú)立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． 思考：互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別是什么？ [提示]　 相互獨(dú)立事件 互斥事件 條件 事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響 不可能同時發(fā)生的兩個事件 符合 相互獨(dú)立事件A，B同時發(fā)生，記作：AB 互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B) 計(jì)算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 2.n個事件相互獨(dú)立 對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立． 3．獨(dú)立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)； (2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． [基礎(chǔ)自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)對事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨(dú)立； (　　) (2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P( )＝P()P()． (　　) (3)如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)． (　　) (4)若事件A與B相互獨(dú)立，則B與相互獨(dú)立． (　　) [解析]　　(1)√　若P(B|A)＝P(B)，則P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B相互獨(dú)立，所以(1)正確； (2)√　若事件A，B相互獨(dú)立，則、也相互獨(dú)立，故(2)正確； (3)√　若事件A，B相互獨(dú)立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故(3)正確； (4)　B與相互對立，不是相互獨(dú)立，故(4)錯誤． [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 2．壇中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032153】 A．相互獨(dú)立事件　　　　 B．不相互獨(dú)立事件 C．互斥事件 D．對立事件 A　[由概率的相關(guān)概念得A1與A2是互不影響的兩個事件，故是相互獨(dú)立的事件．] 3．一個學(xué)生通過一種英語能力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是(　　) A.　　　B.　　　　C.　　　D. C　[由題意知，恰有一次通過的概率為＋＝.] 4．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________． 　[由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為，，.在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為P＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 相互獨(dú)立事件的判斷 　判斷下列各對事件是否是相互獨(dú)立事件． (1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”； (2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”； (3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”． [思路探究]　(1)利用獨(dú)立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷．(2)計(jì)算“從8個球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進(jìn)行判斷．(3)利用事件的獨(dú)立性定義判斷． [解]　(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件． (2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件． (3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝. 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A與B相互獨(dú)立． [規(guī)律方法]　判斷事件是否相互獨(dú)立的方法 1．定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)P(B)． 2．直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響． 3．條件概率法：當(dāng)P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是(　　) A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲” (2)甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B(　　) A．相互獨(dú)立但不互斥　 B．互斥但不相互獨(dú)立 C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥 (1)A　(2)A　[(1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A. (2)對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.] 相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率 　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和.求： (1)兩人都能破譯的概率； (2)兩人都不能破譯的概率； (3)恰有一人能破譯的概率； (4)至多有一人能夠破譯的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032154】 [解]　設(shè)“甲能破譯”為事件A，“乙能破譯”為事件B，則A、B相互獨(dú)立，從而A與、與B、與均相互獨(dú)立． (1)“兩人都能破譯”為事件AB，則 P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)“兩人都不能破譯”為事件 ，則 P( )＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝＝. (3)“恰有一人能破譯”為事件(A)∪(B)， 又A與B互斥， 所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝. (4)“至多一人能破譯”為事件(A)∪(B)∪()，而A、B、 互斥，故P[(A)∪(B)∪()]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝＋＋＝. [規(guī)律方法] 1．求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的步驟： (1)首先確定各事件是相互獨(dú)立的； (2)再確定各事件會同時發(fā)生； (3)先求每個事件發(fā)生的概率，再求其積． 2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推廣到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． [跟蹤訓(xùn)練] 2．一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率； (2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率． [解]　記“第1次取出的2個球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨(dú)立事件． (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝＝＝. 故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是. (2)P(CA)＝P(C)P(A)＝＝＝. 故第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是. 事件的相互獨(dú)立性與互斥性 [探究問題] 1．甲、乙二人各進(jìn)行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標(biāo)”，B＝“乙擊中目標(biāo)”，試問事件A與B是相互獨(dú)立事件，還是互斥事件？事件B與A呢？ [提示]　事件A與B，與B，A與均是相互獨(dú)立事件，而B與A是互斥事件． 2．在探究1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？ [提示]　“甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C，則C＝B＋A. 所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A) ＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.6)0.6＋0.6(1－0.6)＝0.48. 　小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求： (1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率． (2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032155】 [思路探究]　(1)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響，因此本題是相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率問題，注意兩列正點(diǎn)到達(dá)所包含的情況． (2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的對立事件是三列火車都沒正點(diǎn)到達(dá)，這種情況比正面列舉簡單些，因此利用對立事件的概率公式求解． [解]　用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.20.70.9＋0.80.30.9＋0.80.70.1＝0.398. (2)三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P2＝1－P() ＝1－P()P()P() ＝1－0.20.30.1＝0.994. 母題探究：1.(改變問法)本例條件下，求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率． [解]　恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率 P3＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝0.80.30.1＋0.20.70.1＋0.20.30.9＝0.092. 2．(變換條件，改變問法)若一列火車正點(diǎn)到達(dá)計(jì)5分，用ξ表示三列火車的總得分，求P(ξ≤10)． [解]　事件“ξ≤10”表示“至多兩列火車正點(diǎn)到達(dá)”其對立事件為“三列火車都正點(diǎn)到達(dá)”， 所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC) ＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.80.70.9＝0.496. [規(guī)律方法]　與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題求解策略 明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義． 一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件. (4)A，B恰有一個發(fā)生為事件A＋B. (5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件A＋B＋.它們之間的概率關(guān)系如表所示： A，B互斥 A，B相互獨(dú)立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) P(＋A＋B) 1 1－P(A)P(B) [跟蹤訓(xùn)練] 3．某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為，，，若對這三名短跑運(yùn)動員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測，則求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大． [解]　記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨(dú)立，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝. (2)三人都不合格的概率： P0＝P()＝P()P()P()＝＝. (3)恰有兩人合格的概率： P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝＋＋＝. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝. 綜合(1)(2)可知P1最大． 所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是(　　) A．互斥事件　　　　　　　 B．相互獨(dú)立事件 C．對立事件 D．不相互獨(dú)立事件 D　[P(A)＝，P(B)＝，事件A的結(jié)果對事件B有影響．根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．] 2．甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032156】 A．0.64 B．0.32 C．0.56 D．0.48 B　[“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中(即A)，另一種是甲未擊中乙擊中(即B)，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為 P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8(1－0.8)＋(1－0.8)0.8＝0.32.] 3．袋中裝有紅、黃、藍(lán)3種顏色的球各1個，從中每次任取1個，有放回地抽取3次，則3次全是紅球的概率為(　　) A.　　　　B.　　　　　C.　　　　D. D　[有放回地抽取3次，每次可看作一個獨(dú)立事件．每次取出的球?yàn)榧t球的概率為，“3次全是紅球”為三個獨(dú)立事件同時發(fā)生，其概率為＝.] 4．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________． 　[因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，.因此，他們不去北京旅游的概率分別為，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－＝.] 5．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為，乙當(dāng)選的概率為，丙當(dāng)選的概率為. (1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率； (2)求至多有兩人當(dāng)選的概率. 【導(dǎo)學(xué)號：95032157】 [解]　設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A，B，C，則有 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)因?yàn)槭录嗀，B，C相互獨(dú)立，所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋ P()P()P(C) ＝＋＋＝. (2)至多有兩人當(dāng)選的概率為 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－＝.