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1、
第三講 分類討論思想
思想方法解讀
考點 由概念、法則、公式引起的分類討論
典例1 (1)20xx·福建高考]若函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析] 因為f(x)=所以當x≤2時,f(x)≥4;又函數(shù)f(x)的值域為4,+∞),所以解得10
2、,因為Sn=(+)2(n≥2),所以=+,即數(shù)列{}是以=為首項,以為公差的等差數(shù)列,所以=n,所以Sn=n2a1,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當n=1時,適合上式,
所以bn=+=+=1++1-=2+2,
所以Tn=2n+2=2n+2=2n+=.
答案]
四步解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題
第一步:確定需分類的目標與對象.即確定需要分類的目標,一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標.
第二步:根據公式、定理確定分類標準.運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分.
第三步:分類解決“分目標”問題.對分類出
3、來的“分目標”分別進行處理.
第四步:匯總“分目標”.將“分目標”問題進行匯總,并作進一步處理.
【針對訓練1】 在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解 (1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,
即5(a1+2d)·a1=(2a1+2d+2)2
d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,
所以an=-n+11或an=4n+6.
(2)設數(shù)列{an}前n項和為Sn,
因為d<0,所以d=-1,an=-n+11,則
由an≥0,即-
4、n+11≥0得n≤11.
所以當n≤11時,an≥0,n≥12時,an<0.
所以n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;
n≥12時,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11=n2-n+110.
綜上所述,|a1|+|a2|+…+|an|
=
考點 由參數(shù)變化引起的分類討論
典例2 20xx·江蘇高考]已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)試討論f(x)的單調性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關的常數(shù)),
5、當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時,a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值.
解] (1)f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-.
當a=0時,因為f′(x)=3x2>0(x≠0),所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;
當a>0時,x∈∪(0,+∞)時,f′(x)>0,x∈時,f′(x)<0,
所以函數(shù)f(x)在,(0,+∞)上單調遞增,在上單調遞減;
當a<0時,x∈(-∞,0)∪時,f′(x)>0,x∈時,f′(x)<0,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,0),上單調遞增,在上單調遞減.
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)
6、=b,f=a3+b,則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·f=b<0,
從而或
又b=c-a,所以或
設g(a)=a3-a+c,因為函數(shù)f(x)有三個零點時,a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪∪,
則在(-∞,-3)上g(a)<0,
且在∪上g(a)>0均恒成立,
從而g(-3)=c-1≤0,
且g=c-1≥0,因此c=1.
此時,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a],
因函數(shù)有三個零點,則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根,
所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0
7、,
解得a∈(-∞,-3)∪∪.
綜上c=1.
1.變量或參數(shù)變化時常見的分類討論
(1)解含參數(shù)的不等式時,常按參數(shù)的取值不同分類討論.
(2)平面解析幾何中,直線點斜式中按斜率k存在和不存在,直線截距式中按截距b=0和b≠0分類討論.
2.利用分類討論思想的注意點
(1)分類討論要標準統(tǒng)一,層次分明,分類要做到“不重不漏”.
(2)分類討論時要根據題設條件確定討論的級別,再確定每級討論的對象與標準,每級討論中所分類別應做到與前面所述不重不漏,最后將討論結果歸類合并,其中級別與級別之間有嚴格的先后順序、類別和類別之間沒有先后;最后整合時要注意是取交集、并集,還是既不取交集
8、也不取并集只是分條列出.
【針對訓練2】 20xx·四川高考]設函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)確定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在區(qū)間(1,+∞)內恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).
解 (1)f′(x)=2ax-=(x>0).
當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)內單調遞減.
當a>0時,由f′(x)=0,有x=.
此時,當x∈時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;
當x∈時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.
(2)令g(x)=-,s(x)=ex-1-x.
則s′(x)=ex
9、-1-1.
而當x>1時,s′(x)>0,
所以s(x)在區(qū)間(1,+∞)內單調遞增.
又由s(1)=0,有s(x)>0,
從而當x>1時,g(x)>0.
當a≤0,x>1時,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.
故當f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立時,必有a>0.
當01.
由(1)有f0,
所以此時f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內不恒成立.
當a≥時,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).
當x>1時,h′(x)=2ax-+-e1-x>x-+-=>>0.
因此,h(x)在區(qū)間(1,+∞)內單調遞增.
又h
10、(1)=0,所以當x>1時,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.
綜上,a∈.
考點 根據圖形位置或形狀分類討論
典例3 20xx·廣東高考]已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標;
(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
解] (1)圓C1的標準方程為(x-3)2+y2=4,圓心坐標為C1(3,0).
(2)由垂徑定理知,C1M⊥AB,故點M在以OC1為直徑的
11、圓上,即2+y2=.
故線段AB的中點M的軌跡C的方程是2+y2=在圓C1:(x-3)2+y2=4內部的部分,設AB方程為y=k1x,當AB與圓C1相切時?(k+1)x2-6x+5=0,
由Δ=36-4×5×(k+1)=0得k1=±,
代入方程組得x=,因此x∈.
即2+y2=.
(3)聯(lián)立解得
不妨設其交點為P1,P2,
設直線L:y=k(x-4)所過定點為P(4,0),
則kPP1=-,kPP2=.
當直線L與圓C相切時,=,解得k=±.
故當k∈∪時,直線L與曲線C只有一個交點.
六類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論
(1)二次函數(shù)對稱軸的變化;
12、(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖象形狀的變化;(4)直線由斜率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點、線、面的位置變化等.
【針對訓練3】 (1)設圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,若曲線C上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,則曲線C的離心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
答案 A
解析 不妨設|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中t≠0,若該曲線為橢圓,則有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c,e====.
若該曲線為雙曲線,則有|PF1|-|PF2|=2t=2a,
|F1F2|=3t=2c,e====.
(2)已知變量x,y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實數(shù)k=( )
A.- B.
C.0 D.-或0
答案 D
解析 不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示,由圖可知,若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形,只有當直線y=kx+1與直線x=0或y=2x垂直時才滿足.
結合圖形可知斜率k的值為0或-.