2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

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3.1二維形式的柯西不等式 預習案 一、預習目標及范圍 1．認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 2．通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 二、預習要點 教材整理　二維形式的柯西不等式 內容 等號成立的條件 代數(shù)形式 若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ 當且僅當 時，等號成立 向量形式 設α，β是兩個向量，則|αβ|≤|α||β| 當且僅當 ，或，等號成立 三角形式 設x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 當且僅當時，等號成立 三、預習檢測 1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A. B. C. D. 2．已知x，y＞0，的最小值為4，則xy＝________. 3．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值． 探究案 一、合作探究 題型一、二維柯西不等式的向量形式及應 例1已知p，q均為正數(shù)，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2. 【精彩點撥】　為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構造兩個向量． [再練一題] 1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結論是否仍然成立？ 題型二、運用柯西不等式求最值 例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 【精彩點撥】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構造(12＋12)作為一個因式而解決問題． [再練一題] 2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點. 題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應用 例3已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1. 【精彩點撥】　探求已知條件與待證不等式之間的關系，設法構造柯西不等式進行證明． [再練一題] 3．設a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：＋≥2. 二、隨堂檢測 1．設x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為(　　) A. B．169 C．13 D.0 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D.12 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且ab＝5，則向量b＝________.  參考答案 預習檢測： 1.【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)≥ ＝(x＋y)2＝. 【答案】　B 2.【解析】　∵≥ ＝， ∴＝4. 又＞0， ∴＝1，∴xy＝1. 【答案】　1 3.【解】　構造兩組實數(shù)，；，. ∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1， ∴x＋y＝[()2＋()2][＋]≥(＋)2， 當且僅當∶＝∶，即＝時取等號，∴(x＋y)min＝(＋)2. 隨堂檢測： 1.【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. 【答案】　C 2.【解析】　(＋)2 ＝(1＋1)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2(41＋2)＝12， 當且僅當＝， 即a＝b＝時等號成立．故選D. 【答案】　D 3.【解析】　|a|＝＝5，且 |b|＝1， ∴ab＝|a||b|， 因此，b與a共線，且方向相同， ∴b＝. 【答案】