2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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3.1.3　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法．(重點(diǎn))3.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．空間向量的夾角 (1)夾角的定義 圖3115 已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉． (2)夾角的范圍 空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝時(shí)，兩向量垂直，記作a⊥b. 2．空間向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作ab.即ab＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)數(shù)量積的運(yùn)算律： 數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)b＝λ(ab)＝a(λb) 交換律 ab＝ba 分配律 a(b＋c)＝ab＋ac (3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b?ab＝0 共線 同向：則ab＝|a||b| 反向：則ab＝－|a||b| 模 a a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 |a|＝ |ab|≤|a||b| 夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝ 思考：(1)若ab＝0，則一定有a⊥b嗎？ (2)若ab>0，則〈a，b〉一定是銳角嗎？ [提示]　(1)若ab＝0，則不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0 (2)當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，也有ab>0，故當(dāng)ab>0時(shí)，〈ab〉不一定是銳角． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)在△ABC中，〈，〉＝∠B．(　　) (2)在正方體ABCDA′B′C′D′中，與的夾角為45.(　　) (3)0a＝0.(　　) (4)若ab<0，則〈a，b〉為鈍角．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4) 2．已知正方體ABCDA′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，設(shè)＝a，＝b，＝c，則〈，〉等于(　　) A．30 B．60　　C．90　　D．120 D　[△B′D′C是等邊三角形，〈，〉＝〈，〉＝120.] 3．已知|a|＝3，|b|＝2，ab＝－3，則〈a，b〉＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342138】 π　[cos〈a，b〉＝＝＝－. 所以〈a，b〉＝π.] [合 作 探 究攻 重 難] 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則ab＝(　　) A．1　 B．2　　　C．3　　　D．4 (2)如圖3116所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值： 圖3116 (1)； (2)； (3)； (4). [解析]　(1)由題意知，pq＝0，p2＝q2＝1 所以ab＝(3p－2q)(p＋q)＝3p2－2q2＋pq＝1. [答案]　A (2)＝ ＝||||cos〈，〉 ＝cos 60＝. (2)＝＝||2＝. (3)EF＝＝－＝－cos 60＝－. (4)＝(－) ＝－ ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60－cos 60＝0. [規(guī)律方法]　在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟 (1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式. (2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積. (3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模. (4)代入公式ab＝|a||b|cos〈a，b〉求解. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342139】 a2　[＝ ＝＋＝a2cos 60＝a2.] (2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則(＋＋)＝________. 　[＝＋＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋ ∴(＋＋)＝(＋＋) ＝2＋2＋2 ＝22＋32＋12＝.] 利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系 　已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC． [解]　連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又設(shè)＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)，＝c－b. ∴＝(a＋b＋c)(c－b) ＝(ac－ab＋bc－b2＋c2－bc) ＝(|a|2cos θ－|a|2cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC． [規(guī)律方法]　用向量法證明垂直關(guān)系的步驟 (1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題． (2)用已知向量表示所證向量． (3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0. (4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題． [跟蹤訓(xùn)練] 2．如圖3117，已知正方體ABCDA′B′C′D′，CD′與DC′相交于點(diǎn)O，連接AO，求證： 圖3117 (1)AO⊥CD′； (2)AC′⊥平面B′CD′. [證明]　(1)因?yàn)椋剑剑?＋)， 因?yàn)椋剑? 所以 ＝(＋＋2)(－)＝(－＋－＋2－2)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′. (2)因?yàn)椋?＋＋)(＋) ＝＋＋＋＋＋， 可知＝0，＝0， ＝0，＝||2， ＝－||2，＝0， 所以＝||2－||2＝0， 所以⊥，所以AC′⊥B′C． 同理可證，AC′⊥B′D′. 又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′. 利用數(shù)量積求夾角 　如圖3118，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342140】 圖3118 [思路探究]　求異面直線OA與BC所成的角，首先來(lái)求與的夾角，但要注意異面直線所成角的范圍是，而向量夾角的取值范圍為[0，π]，注意角度的轉(zhuǎn)化． [解]　∵＝－，∴＝－＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝84cos 135－86cos 120＝24－16. ∴cos〈，〉＝＝＝，∴異面直線OA與BC的夾角的余弦值為. [規(guī)律方法]　利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路 1．求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；(2)先求ab，再利用公式cos〈ab〉＝求cos〈a，b〉，最后確定〈a，b〉． 2．我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角，步驟如下： ①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)； ②異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題； ③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小； ④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小． [跟蹤訓(xùn)練] 3.如圖3119，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90，D，E分別為AB，BB′的中點(diǎn)． 圖3119 (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． [解]　(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且ab＝bc＝ca＝0. ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D． (2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|， ∵＝(－a＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. ∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 利用數(shù)量積求距離 [探究問(wèn)題] 1．異面直線AB，CD所成的角為60，則〈，〉的值是多少？ 提示：〈，〉＝60或120 2．如圖3120，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，試求A，D兩點(diǎn)間的距離． 圖3120 提示：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2BC＋2CD＋2＝12＋2(22cos 90＋22cos 120＋22cos 90)＝8， ∴||＝2，即A，D兩點(diǎn)間的距離為2. 　如圖3121所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90，沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60角，求此時(shí)B，D間的距離． 圖3121 [思路探究]　→→ [解]　∵∠ACD＝90，∴CD＝0，同理可得＝0.∵AB與CD成60角，∴〈，〉＝60或〈，〉＝120.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝3＋211cos〈，〉． ∴當(dāng)〈，〉＝60時(shí)，||2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2；當(dāng)〈，〉＝120時(shí)，||2＝2，此時(shí)B，D間的距離為. [規(guī)律方法]　1.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問(wèn)題加以計(jì)算． 2．用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟： (1)用向量表示此距離； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式aa＝|a|2，求|a|； (4)|a|即為所求距離． [跟蹤訓(xùn)練] 4.如圖3122所示，在空間四邊形OABC中，OA，OB，OC兩兩成60角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離． 圖3122 [解]?。剑剑?＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝－＋＋， 所以＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝2. ∴||＝，即E，F(xiàn)間的距離為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A．－6　　　　　　　 B．6 C．3 D．－3 B　[由題意可得ab＝0，e1e2＝0， |e1|＝|e2|＝1， ∴(2e1＋3e2)(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6.] 2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，有下列命題： ①(＋＋)2＝32； ②(－)＝0； ③與的夾角為60. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342141】 A．1　 B．2　　　C．3　　　D．0 B　[對(duì)于①，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正確； 對(duì)于②，(－)＝＝0，故②正確． 對(duì)于③，〈，〉＝120，故③錯(cuò)．] 3．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為(　　) A． B． C．－　　　　D．0 D　[＝(－)＝－＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－|||O|＝0， ∴⊥，∴cos〈，〉＝0.] 4．在空間四邊形ABCD中，＋＋＝________. 0　[原式＝＋＋(－)＝(－)＋(＋) ＝＋＝0.] 5．如圖3123，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)＝a，＝b，＝C． 圖3123 (1)試用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90，∠BAA1＝∠CAA1＝60，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342142】 [解]　(1)＝＋＋ ＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a) ＝a＋b＋C． (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝1＋1＋1＋0＋211＋211＝5， ∴|a＋b＋c|＝， ∴||＝|a＋b＋c|＝， 即MN＝.