新編高中一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時達(dá)標(biāo)檢測三十 數(shù)列的綜合問題 Word版含解析

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1、課時達(dá)標(biāo)檢測（三十）課時達(dá)標(biāo)檢測（三十）數(shù)列的綜合問題數(shù)列的綜合問題小題?？碱}點小題常考題點準(zhǔn)解快解準(zhǔn)解快解1(20 xx安徽六安一中月考安徽六安一中月考)已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式為的通項公式為 an5n，其前，其前 n 項和為項和為 Sn，將數(shù)列將數(shù)列an的的前前 4 項抽去其中一項后項抽去其中一項后， 剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列bn的的前前 3 項項， 記記bn的前的前 n 項和為項和為 Tn.若存在若存在 mN*，使對任意使對任意 nN*，SnTm恒成立恒成立，則實數(shù)則實數(shù)的取值范圍是的取值范圍是()A2，)B(3，)C3，)D(2，)解析：解析：

2、選選 D依題意得依題意得 Sn 45n n2n 9n 2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，n4,5 時，時，Sn取得最大值為取得最大值為 10.另外另外，根據(jù)通項公式得數(shù)列根據(jù)通項公式得數(shù)列an的前的前 4 項為項為 a14，a23，a32，a41，觀察易知抽掉第二項后觀察易知抽掉第二項后，余下的三項可組成等比數(shù)列余下的三項可組成等比數(shù)列所以數(shù)列所以數(shù)列bn中中，b14，公比公比 q12，所以所以 Tn4112n1128112n，所以所以 4Tn8.因為存在因為存在 mN*，對任意對任意 nN*，SnTm恒恒成立，所以成立，所以 102.故選故選 D.2(20 xx北京景山學(xué)校段測北京

3、景山學(xué)校段測)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，P(an，an1)(nN*)在直線在直線 xy10 上，如果函數(shù)上，如果函數(shù) f(n)1na11na21nan(nN*，n2)，那么函數(shù)，那么函數(shù) f(n)的最小的最小值為值為()A.13B14C.712D512解析解析：選選 C將點將點 P 的坐標(biāo)代入直線方程的坐標(biāo)代入直線方程，得得 an1an1，所以所以an是首項為是首項為 1，公差公差為為 1 的等差數(shù)列的等差數(shù)列， 所以所以 ann， 所以所以 f(n)1n11n21nn， f(n1)1n21n31nn2，所以，所以 f(n1)f(n)1nn11nn21n112n212n21n10，

4、所，所以以 f(n)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，故 f(n)的最小值為的最小值為 f(2)712，故選，故選 C.3(20 xx江西金溪一中月考江西金溪一中月考)據(jù)統(tǒng)計測量，已知某養(yǎng)魚場，第一年魚的質(zhì)量增長率據(jù)統(tǒng)計測量，已知某養(yǎng)魚場，第一年魚的質(zhì)量增長率為為200%， 以后每年的增長率為前一年的一半以后每年的增長率為前一年的一半若飼養(yǎng)若飼養(yǎng) 5 年后年后， 魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的 t 倍倍下下列選項中，與列選項中，與 t 值最接近的是值最接近的是()A11B13C15D17解析：解析：選選 B設(shè)魚原來的質(zhì)量為設(shè)魚原來的質(zhì)量為 a，飼養(yǎng)，飼養(yǎng) n 年后魚的質(zhì)量為年后魚的質(zhì)量為 an，

5、q200%2，則，則 a1a(1q)， a2a11q2 a(1q)1q2 ， ， a5a(12)(11)112 1122112340532a12.7a，即，即 5 年后，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的年后，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的 12.7 倍，故選倍，故選 B.4(20 xx湖北襄陽四校聯(lián)考湖北襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)九章算術(shù)中中，有已知長方形面積求有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列第一步：構(gòu)造數(shù)列 1，12，13，14，1n.第二步：將數(shù)列第二步：將數(shù)列的各項乘以的各項乘以n2，得到一個新數(shù)列，得到一個新數(shù)列 a1

6、，a2，a3，an.則則 a1a2a2a3a3a4an1an()A.n24B n1 24C.n n1 4Dn n1 4解析：解析：選選 C由題意知所得新數(shù)列為由題意知所得新數(shù)列為 1n2，12n2，13n2，1nn2，所以，所以 a1a2a2a3a3a4an1ann241121231341 n1 nn24112 1213 1314 1n11nn2411n n n1 4，故選，故選 C.5(20 xx遼寧盤錦高中月考遼寧盤錦高中月考)數(shù)列數(shù)列an滿足滿足 a114，an1144an，若不等式若不等式a2a1a3a2an2an1n對任何正整數(shù)對任何正整數(shù) n 恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為

7、的最小值為()A.74B34C.78D38解析：解析：選選 A因為數(shù)列因為數(shù)列an滿足滿足 a114，an1144an，所以反復(fù)代入計算可得，所以反復(fù)代入計算可得 a226，a338，a4410，a5512，由此可歸納出通項公式由此可歸納出通項公式 ann2 n1 ，經(jīng)驗證經(jīng)驗證，成立成立所以所以an1an11n n2 1121n1n2 ，所以所以a2a1a3a2an2an1n1121121n21n3 n74121n21n3 .因為要求因為要求a2a1a3a2an2an11，a11，且，且 2a2，a4,3a3成等差數(shù)成等差數(shù)列列(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)記記 bn2

8、nan，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項和項和 Tn.解：解：(1)由由 2a2，a4,3a3成等差數(shù)列可得成等差數(shù)列可得 2a42a23a3，即即 2a1q32a1q3a1q2，又又 q1，a11，故，故 2q223q，即即 2q23q20，得，得 q2，因此數(shù)列因此數(shù)列an的通項公式為的通項公式為 an2n1.(2)bn2n2n1n2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1.得得Tn222232nn2n1，Tn2 2n1 21n2n1，Tn(n1)2n12.2(20 xx山東高考山東高考)已知已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 x1x

9、23，x3x22.(1)求數(shù)列求數(shù)列xn的通項公式；的通項公式；(2)如圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中，依次連接點依次連接點 P1(x1，1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折線得到折線 P1P2Pn1，求由該折線求由該折線與直線與直線 y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積所圍成的區(qū)域的面積 Tn.解解：(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列xn的公比為的公比為 q，由已知得由已知得 q0.由題意得由題意得x1x1q3，x1q2x1q2.所以所以 3q25q20.因為因為 q0，所以，所以 q2，x11，因此數(shù)列，因此數(shù)列xn的通項公式為的通項公式為 xn2n1.(2)過

10、過 P1，P2，Pn1向向 x 軸作垂線軸作垂線，垂足分別為垂足分別為 Q1，Q2，Qn1.由由(1)得得 xn1xn2n2n12n1，記梯形，記梯形 PnPn1Qn1Qn的面積為的面積為 bn，由題意得，由題意得 bn nn1 22n1(2n1)2n2，所以，所以 Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又又 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得得Tn321(2222n1)(2n1)2n1322 12n1 12(2n1)2n1.所以所以 Tn 2n1 2n12.3(20 xx河北二市聯(lián)考河北二市聯(lián)考)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，an0(

11、nN*)，a1a34，且，且 a31 是是 a2和和 a4的等差中項，若的等差中項，若 bnlog2an1.(1)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列cn滿足滿足 cnan11b2n1b2n1，求數(shù)列，求數(shù)列cn的前的前 n 項和項和解：解：(1)設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，且，且 q0，在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，由中，由 an0，a1a34 得，得，a22，又又 a31 是是 a2和和 a4的等差中項，的等差中項，所以所以 2(a31)a2a4，把把代入代入得，得，2(2q1)22q2，解得解得 q2 或或 q0(舍去舍去)，所以所以 ana2qn2

12、2n1，則則 bnlog2an1log22nn.(2)由由(1)得，得，cnan11b2n1b2n12n1 2n1 2n1 2n1212n112n1 ，所以數(shù)列所以數(shù)列cn的的前前n項項和和Sn2222n12 113 1315 12n112n12 12n 1212112n12n12n2n1.4(20 xx河北定州中學(xué)階段性檢測河北定州中學(xué)階段性檢測)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 Sn，且，且 Snn223n2.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足 bnan2an1an2an，且數(shù)列，且數(shù)列bn的前的前 n 項和為項和為 Tn，求證：，求證：Tn2n512.解：解：(1)因為因為 Snn223n2，所以當(dāng)所以當(dāng) n2 時，時，Sn1 n1 223 n1 2，所以由所以由兩式相減得兩式相減得 anSnSn1n223n2 n1 223 n1 2n1.又因為又因為 n1 時，時，a1S12 適合適合 ann1，所以所以 ann1.(2)證明：由證明：由(1)知知 bnn3(n1)1 n3 n1 2121n11n3 ，所以所以 Tnb1b2b3bn2n12121413151n11n32n1212131n21n32n512121n21n3 2n512.