新編高考數(shù)學文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題4 突破點10 空間中的平行與垂直關系 Word版含答案

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1、 突破點10　空間中的平行與垂直關系 [核心知識提煉] 提煉1 異面直線的性質(zhì) (1)異面直線不具有傳遞性．注意不能把異面直線誤解為分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線． (2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直． (3)求異面直線所成角的一般步驟為：①找出(或作出)適合題設的角——用平移法；②求——轉化為在三角形中求解；③結論——由②所求得的角或其補角即為所求. 提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì) (1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等． (2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． (

2、3)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行． (4)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面. 提煉3 證明線面位置關系的方法 (1)證明線線平行的方法：①三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理；④線面垂直的性質(zhì)定理． (2)證明線面平行的方法：①尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；②尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)． (3)證明線面垂直的方法：①線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理． (4)證明面面垂直的方法：①定義法，即證明兩個平面所成的二面

3、角為直二面角；②面面垂直的判定定理，即證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線． [高考真題回訪] 回訪1　異面直線所成的角 1．(20xx·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A　[A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交． B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. C項

4、，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ. 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. 故選A.] 2．(20xx·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D. A　[設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

5、 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 回訪2　線面位置關系的性質(zhì)與判斷 3．(20xx·全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α

6、∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l D　[根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示． 由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) ②③④　[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯

7、誤． 對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 熱點題型1　空間位置關系的判斷與證明 題型分析：空間中平行與垂直關系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關判定定理和性質(zhì)定理的應用，同時也考查了學生的空間想象能力及轉化與化歸的思想．

8、 【例1】(1)(20xx·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[法一：如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，

9、而D1E不與DC1垂直，故A錯． 故選C. 法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(0,1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，∴·≠0，·≠0，·＝0，·≠0，∴A1E⊥BC1. 故選C.] (2)(20xx·全國卷Ⅰ)如圖10-1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. ①證明：平面PAB⊥平面PAD； ②若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱

10、錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積． 圖10-1 [解]　①證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD． 1分 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 3分 又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD． 4分 ②如圖，取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD. 由①知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD． 6分 設AB＝x，則由已知可得 AD＝x，PE＝x. 故四棱錐P-ABCD的體積 VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x3. 由題設得x3＝，故x＝2． 8分 從而

11、結合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2． 10分 可得四棱錐P-ABCD的側面積為 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2． 12分 [方法指津] 在解答空間中線線、線面和面面的位置關系問題時，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學會找特例、反例和構建幾何模型．判斷兩直線是異面直線是難點，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)判定．而反證法是證明兩直線異面的有效方法． 提醒：判斷直線和平面的位置關系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關系中易忽視兩個平

12、面平行．此類問題可以結合長方體中的線面關系找出假命題中的反例． [變式訓練1] (1)(20xx·石家莊二模)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中真命題的個數(shù)為(　　) 【導學號：04024094】 A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 B　[若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?

13、α或m?β，③錯誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或相交，④錯誤，故選B.] (2)(20xx·全國卷Ⅱ)如圖10-2，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. 圖10-2 ①證明：直線BC∥平面PAD； ②若△PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積． [解]　①證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD. ②如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABC

14、M為正方形，則CM⊥AD. 因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 設BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD， 所以PN＝x. 因為△PCD的面積為2，所以×x×x＝2. 解得x＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐P-ABCD的體積V＝××2＝4. 熱點題型2　平面圖形的翻折問題 題型分析：(1)解決翻折問題的關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置

15、關系和度量關系的變化情況． (2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化． 【例2】　(20xx·全國卷Ⅱ)如圖10-3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． 圖10-3 (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′-ABCFE的體積． [解] (1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD． 1分 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF． 2分 由此得EF⊥HD，

16、故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. 3分 (2)由EF∥AC得＝＝． 4分 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 5分 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH． 6分 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′． 8分 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝． 10分 五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝. 11分 所以五棱錐D′-ABCFE的體積V＝××2＝． 12分 [方法指津

17、] 翻折問題的注意事項 1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖． 2．把握關系：即比較翻折前后的圖形，準確把握平面圖形翻折前后的線線關系，哪些平行與垂直的關系不變，哪些平行與垂直的關系發(fā)生變化，這是準確把握幾何體結構特征，進行空間線面關系邏輯推理的基礎． 3．準確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關數(shù)量轉化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準確進行計算的基礎． [變式訓練2]　如圖10-4，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M為AB的三等分點，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC. (1)在AB邊上是否存

18、在點P，使AD∥平面MPC，請說明理由； (2)當點P為AB邊中點時，求點B到平面MPC的距離． 【導學號：04024095】 圖10-4 [解] (1)當AP＝AB時，有AD∥平面MPC. 理由如下： 連接BD交MC于點N，連接NP． 2分 在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝. ∵在△ADB中，＝，∴AD∥PN． 4分 ∵AD?平面MPC，PN?平面MPC， ∴AD∥平面MPC． 6分 (2)∵平面AMD⊥平面MBCD， 平面AMD∩平面MBCD＝DM， 由題易知，在△AMD中，AM⊥DM， ∴AM⊥平面MBCD，又P為AB中點， ∴VP-MBC＝×S△MBC× ＝××2×1× ＝. 9分 在△MPC中，MP＝AB＝， MC＝，PC＝＝， ∴S△MPC＝××＝. 11分 ∴點B到平面MPC的距離為＝＝． 12分